2.4.1 利用一元二次方程解决面积问题 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“利用一元二次方程解决几何问题”，以梯子下滑情境导入，通过变式问题衔接勾股定理应用，结合知识归纳构建“审设列解验答”六步解题支架，例题涵盖勾股定理、面积计算等几何问题，形成从具体到抽象的学习脉络。 其亮点在于情境化与模型化结合，以梯子滑动、矩形荒地等实例，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过方程建模培养数学语言表达能力，解题过程强调推理运算发展数学思维，几何画板辅助直观理解，助力学生提升应用能力，为教师提供结构化教学资源。

利用一元二次方程解决几何问题 2.4.1 北师版九年级上册 1 情境导入 你还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？ 如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m.如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？ 教材50页 （1）在这个问题中，梯子顶端下滑 1 米时，梯子底端滑动的距离大于 1 米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ x x 设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米 (8-x)2+(6+x)2 =102 x2-2x = 0 x1= 0（舍），x2 = 2. （2）如果梯子长度是 13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为 12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？ 设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米 (12-x)2+(5+x)2 =132 x2-7x = 0 x1= 0（舍），x2 = 7. 几何画板 新知探究 列一元二次方程解应用题的一般步骤： 知识归纳 (1)“审”，审清题意，找出等量关系； (2)“设”，设出未知数，用所设的未知数表示其他量； (3)“列”，列一元二次方程； (4)“解”，解一元二次方程； (5)“验”，检验所求的解是否符合题意，确定未知数的值； (6)“答”，作答. 探究新知 例1 教材50页如图：某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B，在 B 的正东方向200 海里处有一重要目标C，小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头。小岛 F 位于 BC 中点。一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。 已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里） 解： 连接 DF. ∵AD = CD，BF = CF， ∴DF 是△ABC 的中位线. ∴DF∥AB，且 DF = AB. ∵AB⊥BC，DF = 100 n mile，BF = 100 n mile. 设相遇时补给船航行了 x n mile，那么 DE = x nmile，AB + BE = 2x n mile， EF = AB + BF-（AB + BE）=（300-2x）n mile. 在Rt△DEF 中，根据勾股定理可得方程 x2 = 1002 + (300-2x)2， 整理，得 3x2-1200x + 100 000 = 0. 解这个方程，得 所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 n mile. 探究新知 例2 教材47页第15题 在一块长为 16 m，宽为 12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你能给出设计方案吗？ 方案1 方案2 方案3 方案4 方案5 如何设未知数？怎样列方程？ 解：设小路的宽为x m，由题意得： (16-2x)(12-2x) =16×12× 整理，得：x2-14x+24 = 0 配方，得：x2-14x+72-72+24 = 0 (x-7)2 = 25 开方，得：x1= 2，x2=12（舍） 答：小路的宽为 2 m. 方案6 如何设未知数？怎样列方程？ 解：设扇形的半径为x m，由题意得： πx2 = 16×12× πx2 = 96 x1≈ 5.5，x2≈ -5.5（舍） 面积问题 12. 【选自教材P46 习题2.2】 在一幅长 90 cm、宽 40 cm 的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的 72%，那么金边的宽应该是多少？ 你认为那一幅图是按要求镶上的金色纸边？ √ 12. 【选自教材P46 习题2.2】在一幅长 90 cm、宽 40 cm 的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的 72%，那么金边的宽应该是多少？ 解:设金色纸边的宽度是 x cm． 解得x1＝－70(舍去)，x2＝5 所以，金色纸边的宽度是 5cm． 解: （1）设鸡场的宽为x m．由题意，得 40 - 2x > 0， 40 - 2x ≤ 25， ∴ 7.5 ≤ x ＜ 20． x(40－2x)＝180， 解得 x1＝10＋ ，x2＝10－ (舍去)． 即鸡场宽为 ( 10＋ ) m 时，鸡场面积达到 180 m2． x x 40-2x x(40－2x)＝200， 解得 x1＝x2＝ 10． 即鸡场宽为 10 m 时，鸡场面积达到 200 m2． 13. 【选自教材P47 习题2.2】某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长 25 m)，另三边用木栏围成，木栏长 40 m. （1）鸡场的面积能达到 180 m2 吗？能达到 200 m2 吗？ （2）鸡场的面积能达到 250 m2 吗？ 养鸡场问题 13. 【选自教材P47 习题2.2】某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长 25 m)，另三边用木栏围成，木栏长 40 m. （1）鸡场的面积能达到 180 m2 吗？能达到 200 m2 吗？ （2）鸡场的面积能达到 250 m2 吗？ x x 40-2x （2）x(40－2x) ＝ 250，方程无实根． 即鸡场面积不能达到 250 m2． 14. 【选自教材P47 习题2.2】如图，圆柱的高为 15 cm，全面积（也称表面积) 为 200 π cm2，那么圆柱底面半径为多少？ 解: 设圆柱底面半径为 r cm． 2πr2＋15×2πr ＝ 200π 解得 r1＝－20(舍去)，r2＝5． 所以，圆柱底面半径为 5 cm． 16. 【选自教材P47 习题2.2】如图，由点 P (14, 1)，A(a, 0)，B(0, a) (0 < a < 14) 确定的△PAB 的面积为 18，求 a 的值. 如果 a > 14 呢？ 解: 0＜a＜14 时,设BP 所在直线的表达式为 y＝mx＋b． 将 (0, a), (14, 1)代入, 得 ∴ BP 延长线与 x 轴交点坐标为 ∵ S△PAB = 18， 当 a > 14 时，可求得 a 的值为 . 【选自教材P51 随堂练习】《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何。”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为 3。乙一直向东走，甲先向南走了 10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。那么相遇时，甲、乙各走了多远？ 随堂练习 解：设所行时间为 t，则有 (3t)2 +102 = (7t-10)2， 解得 t1 = 0（舍去），t2 = . ∴甲走了 ×7 = （步），乙走了 ×3 = （步）. 1.【选自教材P53 习题2.4第1题】有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于 20，积等于 96，多的一笔钱被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？ 达标检测 解: 设较多的钱为 x． 由题意,可得 x(20－x)＝96，解得 x1＝12，x2＝8 (舍去)． 所以，赛义德得到的钱数为12. 【选自教材P53 习题2.4第2题】如图：在 Rt△ACB 中，∠C = 90°，点 P、Q 同时由A、B 两点出发分别沿 AC、BC 方向向点 C 匀速移动，它们的速度都是 1 m/s，几秒后△PCQ 的面积为Rt△ACB 面积的一半？ 解: 设经过 t s， △PCQ 面积为 Rt△ACB 面积的一半． (8－t)(6－t)＝ ×6×8× ， 解得 t1＝2，t2＝12 (舍去)． 所以，经过 2 s，△PCQ 面积为 Rt△ACB 面积的一半． 【选自教材P53 习题2.4第3题】如图，一条水渠的断面为梯形，已知断面的面积为 0.78 m2，上口比渠底宽 0.6，渠深比渠底少 0.4 m，求渠深. 解:设渠深为 x m，则渠底为 (x＋0.4) m． S ＝ ·[(x＋0.4＋0.6＋x＋0.4)]·x ＝ 0.78， 解得 x1＝－1.3(舍去)，x2＝0.6． 所以，渠深 0.6 m． 解: 设 t s 后 P ，Q 两点相距 15 cm． 由题意有 t2＋(21－t)2＝152， 解得 t1＝9，t2＝12． 所以，运动 9 s 或12 s 时,P ,Q 两点相距 15 cm． 4. 【选自教材P53 习题2.4第4题】 如图，在Rt△ACB 中，∠C = 90°，AC = 30 cm，BC = 21 cm.动点 P 从点 C 出发，沿 CA 方向运动；动点 Q 同时从点 B 出发，沿 BC 方向运动. 如果动点 P，Q 的运动速度均为 1 cm/s，那么运动几秒时，它们相距 15 cm？. 巩固练习 1.如图，，，，一只蝉从点沿的方向以 的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由点沿方向以 的速度爬行，当螳螂和蝉爬行后，它们分别到达，的位置，此时 的面积恰好为 ，由题意可列方程( ) A.2x·x=24 B.(10−2x)(8−x)=24 C.(10−x)(8−2x)=24 D.(10−2x)(8−x)=48 D 3.如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为              m． 巩固练习 2.用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为                       ． x（20-x）=64 2 4.右图是一个长为30m,宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草。如果要使种植花草的面积为468 m2，那么小道进出口的宽度应为 m。 2 通过这节课的学习活动，你有什么收获？ 课堂小结 完成练习册本课时的习题。 课后作业 $