26.4 实际问题与二次函数(课件PPT)-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦二次函数在实际问题中的应用，涵盖最值计算与抛物线形问题。通过销售利润、几何图形等生活实例导入，衔接二次函数性质，搭建从理论到实践的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于实例丰富且贴近现实，包含中考题及销售、拱桥等场景，结合方法归纳步骤化教学。通过抽象实际问题为函数模型培养数学眼光，推理最值计算过程发展数学思维，用函数表达式描述现实问题强化数学语言。学生能提升应用能力，教师可获得系统教学资源以提高效率。

初中数学 指南针•课堂优化·九年级数学RJ 第二十六章二次高数 26.4实际问题与二次函数 第1课时 实际问题与二次函数（一） A 基础过关公 1.若一种服装的销售盈利为y(万元)与销售件 数为x(万件)之间满足函数y=一2x2+ 4x+5,则销售这种服装盈利的最大值为 ()》 A.5万元 B.6万元 C.7万元 D.8万元 2.某产品进货单价为90元，按100元一件出 售时，能售出500件.若每件涨价1元，则销 售量就减少10件.则该产品能获得的最大 利润为 A.5000元 B.8000元 C.9000元 D.10000元 3.如图，已知：正方形ABCD A H 边长为1，E、F、G、H分别 为各边上的点，且AE= BF=CG=DH,设小正方 B 形EFGH的面积为S,AE为x,则S关于x 的函数图象大致是 4.已知一个直角三角形的两直角边长之和为 20cm,则这个直角三角形的最大面积为 () A.25 cm B.50 cm C.100 cm D.不确定 5.（聊城中考)某食品零售 (个) 20--- A 店新上架一款冷饮产 10---r- 品，每个成本为8元，在 销售过程中，每天的销 1020x(元/个) 售量y(个)与销售价格x(元/个)的关系如 图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段 AB,则该食品零售店每天销售这款冷饮产 品的最大利润为 元（利润=总销售 额一总成本). 6.矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值 是 7.一个旅行社要接一个旅行团去外地旅游，经 计算所获营业额y(元)与旅行团的人数x (人)的函数关系是y=一x2+80x+28400, 旅行社要想获营业额的收益最大，则他接收 此旅行团去旅行的最佳人数应该是 8.(朝阳中考)某商店购进了一种消毒用品，进 价为每件8元，在销售过程中发现，每天的 销售量y(件)与每件售价x(元)之间存在一 次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）. 当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售 量为105件；当每件消毒用品售价为11元 时，每天的销售量为95件. (1)求y与x之间的函数关系式. (2)若该商店销售这种消毒用品每天获得 425元的利润，则每件消毒用品的售价为多 少元？ (3)设该商店销售这种消毒用品每天获利 (元)，当每件消毒用品的售价为多少元时， 每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 解：(1)设每天的销售量y(件)与每件售价x (元)函数关系式为：y=kx十b, 由题意可知： 9k+b=105 (k=-5 ,解得： 11k+b=95 b=150 .y与x之间的函数关系式为：y=一5x +150； (2)(-5x+150)(x-8)=425, 解得：x1=13,x2=25(舍去)， 。'.若该商店销售这种消毒用品每天获得425 元的利润，则每件消毒用品的售价为13元； (3)w=(一5x+150)(x一8)， =-5x2+190x-1200, =一5(x-19)2+605, 8≤x≤15，且为整数， 当x<19时，w随x的增大而增大， ,”.当x=15时，w有最大值，最大值为525. 答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的 销售利润最大，最大利润是525元. 9.(荆门中考)某商场销售一种进价为30元/ 个的商品，当销售价格x(元/个)满足40< x<80时，其销售量y(万个)与x之间的关 系式为y=一0x十9.同时销售过程中的其 它开支为50万元. (1)求出商场销售这种商品的净利润之（万 元)与销售价格x的函数解析式，销售价格x 定为多少时净利润最大，最大净利润是 多少？ (2)若净利润预期不低于17.5万元，试求出 销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量 尽可能大，销售价格x应定为多少元？ 最大利润为一1 10 ×602+12×60-320= 40(万元)； (2)当z=17.5时，17.5=-0r+12x- 320, 解得x1=45,x2=75, ,净利润预期不低于17.5万元，且a<0, ..45≤x75, y=-0 x+9.y随x的增大而减小， ∴.x=45时，销售量最大 8 能力提升E 10.某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室 的一面靠墙（墙长50m),中间用两道墙隔开 (如图).已知计划中的建筑材料可建墙的 总长度为48m,则这三间长方形种牛饲养 室的总占地面积的最大值为 m2. 50米 11.若x、y、之为实数，且 ∫x+2y-x=4 x-y+2x=1' ,则代数 式x2-3y2十2的最大值是· 12.如图，抛物线y=a.x2-3ax-4a的图象经 过点C(0,2),交x轴于点A、B(点A在点 B左侧)，连接BC,直线y=kx+1(k>0)与 y轴交于点D,与BC上方的抛物线交于点 E,与BC交于点F. (1)求抛物线的解析式及点A、B的坐标； R 解：把C(0,2)代入y=a.x2一3ax-4a得 -4a=2. 解得a= 2 六地物线解折式为y=-弓+子x+2. “y=-32+3x+2=-3(x+1D(x- 4), ..A(-1,0),B(4,0); (2) EF 是否存在最大值？若存在，请求出 其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请 说明理由. 设BC所在直线的解析式为y=r+n(m≠0). 4m+n=0 将B(4,0),C(0,2)代入，得 n=2 解得m=一司n=2, ·直线BC的解折式是y=一2x+2. 设E,-2+31+2),则G(t,-)1+ 2),其中0<t<4. “G=(-3+1+2)-(-21+2)= 34-22+2=-21-22+2. :-号0当1=2时票存在最大值， 最大值为2，此时点E的坐标是（2,3). >》》方法归纳 利用二次函数的性质求实际问题中最 值的方法 在实际问题中，求最值的一般步骤 如下： (1)列出二次函数解析式，并根据自变 量的实际意义，确定自变量的取值范围： (2)在自变量的取值范围内，运用公式 法或配方法求出二次函数的最大值 注意：当二次函数图象的顶点的横坐 标不在自变量的取值范围之内时，需结合 二次函数的图象，根据二次函数的增减性， 在自变量的取值范围内求出函数的最值. 第2课时 实际问题与二次函数（二） A基础过关 1.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物 线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其 函数的关系式为y=石，当水面离桥拱 顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为 y B A.-20m B.10m C.20m D.-10m 2.某工厂大门是一个抛物线形水泥建筑物，如 图，AB=4m,顶部C离地面高度为4.4m, 现有一辆载重汽车从大门通过，货物顶部距 地面2.8m,货车宽2.4m.则关于抛物线解 析式及汽车是否能通过大门的说法中正确 的是 A.y=-1.1x2+4.4,能通过 B.y=-2.2x2-2.2x十4.4，能通过 C.y=2.2x2+2.2x-4.4,不能通过 D.y=1.1x2一4.4，不能通过 3.竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时 间t(s)之间的关系可以近似地用公式h= -5t+vot+ho表示，其中ho(m)是物体抛出 时离地面的高度，vo(m/s)是物体抛出时的 速度.某人将一个小球从距地面1.5m的高 处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达 到的离地面的最大高度为 () A.23.5m B.22.5m C.21.5m D.20.5m 4.一枚炮弹射出x秒后的高度为y米，且y与 x之间的关系为y=ax2+bx+c(a≠0)，若 此炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相 等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是 A.第3.3s B.第4.3s C.第5.2s D.第4.6s 5.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当 水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水 面2米，水面上升1米时，水面的宽度为 米. 6.小汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间 的函数关系式为s=0,一辆小汽车速度 为100km/h,在前方80m处停放一辆故障 车，此时刹车 有危险（填“会”或 “不会”). 7.某公园草坪的防护栏形状是抛物线形.为了 牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一 根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部 0.5m(如图)，则其中防护栏支柱A3B3的长 度为 m. B B2 B3 B 0.5 A,A1A,A0.4 8.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 y= 号2+3.5的一部分，如图所示，若球 命中篮圈中心，则他与篮底的距离是 m. 3.05m -3m 9.如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底 部中心点O的正前方10m处起脚射门，足 球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地 面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行 的水平距离为6m.已知球门的横梁高OA 为2.44m. ◆y(m) A 10 x(m) (1)在如图示的平面直角坐标系中，问此 飞行足球能否进球门？（不计其他情况） 当x=0时， y=b×16+3=3-专-32.4米， 故能射中球门； (2)守门员乙站在距离球门2m处，他跳起 时手的最大摸高为2.52m,他能阻止球员甲 的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远 才能阻止球员甲的射门？ 当y=2.52时， y=-2x-42+3=2.52 解得：x1=1.6,x2=6.4(舍去)， 。∴.2-1.6=0.4(m), 答：他至少后退0.4m,才能阻止球员甲的 射门. B 能力提升E 10.一个足球被从地面向上踢出，它距地面的 高度h(m)与足球被踢出后经过的时间t(s) 之间具有函数关系h=at十19.6t,已知足 球被踢出后经过4S落地，则足球距地面的 最大高度是 m. 11.（南充中考)水池中心点O处竖直安装一水 管，水管喷头喷出抛物线形水柱，水柱高度 y(m)与落点x(m)的关系如图所示.喷头 上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下 ↑高度ym 4 平移，水柱落点与点O在同一水平面.安装 2.5 师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点 距点O2.5m;喷头高4m时，水柱落点距 2.534 落点x/m 点O3m.喷头高1 m时，水柱落点距 点O4m. 12.如图所示，某公路隧道横截面为抛物线，其 最大高度为6米，底部宽度OM为12米. 现以O点为原点，OM所在直线为x轴建 立平面直角坐标系. (1)直接写出点M及抛物线顶点P的 坐标； (2)求这条抛物线所对应的函数关系式； 解：(1)M(12,0),P(6,6): (2)设抛物线的函数关系式为 y=a(x-6)2+6. .抛物线y=a(x一6)2+6经过点(0,0)， 0=a0-62+6,即a=-石 地物线的函载关系式为y=一。（一62+6， 即y=-石x+2x: (3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD DCCB,使C,D点在抛物线上，A,B点在 地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大 值是多少米？ =(-名m2+2m）+(12-2m）+(-名m2+2m） =-3m2+2m+12 =-3(m-3)2+15. 此二次函数的图象开口向下， '.当m=3时，AD+DC+CB有最大值为 15米. >》》方法归纳 利用二次函数解决“抛物线”形问题的 一般步骤 (1)建立适当的平面直角坐标系，将 “抛物线”形的图形放在坐标系中. (2)设出函数解析式，结合图象和已知 条件，用待定系数法求函数解析式· (3)利用二次函数的图象与性质求解 实际问题。 注意：同一个问题中，建立平面直角坐 标系的方法有多种，建立适当的平面直角 坐标系能简化函数解析式.通常应使已知 点在坐标轴上.