29.2.2 圆心角 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“圆心角”核心内容，涵盖概念、圆的中心对称性与旋转不变性，以及同圆或等圆中圆心角、弧、弦的关系定理及推论。通过剪圆形纸片旋转的探究活动导入，衔接圆的基本性质，搭建从直观操作到逻辑推理的学习支架。 其亮点在于以动手探究培养几何直观（数学眼光），如旋转纸片发现圆的旋转不变性，通过例题推理（如例2证明圆心角相等）发展推理能力（数学思维），用“知一求二”归纳结论并结合几何符号表达（数学语言）。助力学生理解知识本质，教师教学逻辑清晰、层次分明。

第二十九章 圆 29.2.2 圆心角 22051 1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性. 2.掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弧、弦之间的关系，并能运用此关系进行相关的证明和计算. 学习目标 22051 下列各图中的角是不是圆心角? 不是 不是 是 不是 我们把顶点在圆心的角叫作圆心角. 新知讲解 22051 填空：如图， 是圆心角，它所对的弧是 ，它所对的弦是 . 所对的圆心角是 ，它所对的弦是 . 弦AB所对的圆心角是 ，它所对的弧是 . ∠AOB AB ∠AOB AB ∠AOB AB AB AB和 ACB C 新知讲解 22051 实际上，圆是中心对称图形， 就是它的对称中心； 把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形 ，即圆是旋转对称图形. 探究：剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗?由此你能得到什么结论?把圆绕圆心旋转任意一个角度呢? 圆心 都与原图形重合 B O A 利用这个性质,可以得到圆心角及其所对的弧、弦之间的关系. 新知讲解 22051 问题1：如图，在⊙O中，当圆心角∠AOB= ∠COD时，它们所对的 弧 和 有什么关系，弦AB和CD呢，为什么？ O A B C D 我们把∠AOB连同 绕圆心O旋转，使射线OA与OC重合. ∵∠AOB=∠COD, ∴射线OB与OD重合. 又∵OA=OC，OB=OD， ∴点A与点C重合，点B与点D重合. 因此 与 重合，AB与CD重合. 即 = ，AB=CD. 新知讲解 22051 问题2： 如图，⊙O和⊙O′是半径相等的圆，当∠AOB＝∠CO′D时，你发现的等量关系是否依然成立？ O A B O ′ C D 我们发现：在等圆中，如果圆心角∠AOB=∠CO′D，那么 = ， AB=CD. 新知讲解 22051 弧、弦、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. ① ∠AOB=∠A′OB′ ③ AB=A′B′ O B′ A′ A B AB=A′B′ ② 归纳小结 22051 思考1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，所对的弦是否也相等呢？ O A B A' B' (A') (B') 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. AB＝A'B' ∠AOB＝∠A'OB' AB＝A'B' ∠AOB＝∠A'OB' 新知讲解 22051 推论1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． ①∠AOB＝∠A'OB' ③AB＝A'B' 推论2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等． · O A B A' B' ①∠AOB＝∠A'OB' ③AB＝A'B' 弧、弦、圆心角之间的关系定理 AB=A′B′ ② AB=A′B′ ② 归纳小结 22051 同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中 有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等． 注意：一条弦对应两条弧，由弦相等得到弧相等时需要区分优弧和劣弧. 圆心角 相等 弧 相等 弦 相等 两个圆心角 两条弦 两条弧 知一求二 思考2：在同圆或等圆中，对于两个圆心角、两条弧、两条弦，如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量有什么关系？ 新知讲解 22051 讨论： “在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.”可否把“在同圆或等圆中”去掉？ B' A' O B A AB＝A'B' ∠AOB＝∠A'OB' 前提条件“在同圆或等圆中”一定不能丢. 如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等. 新知讲解 22051 例1：如图，AB 是⊙O 的直径，BC=CD=DE， ∠COD = 35°， 求∠AOE 的度数． · A O B C D E ∴∠BOC =∠COD =∠DOE = 35°. ∴∠AOE = 180° - 3×35° = 75°. 解：∵ BC=CD=DE， 例题讲解 22051 例2: 如图，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°.求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. 证明：∵在⊙O中，AB=AC， ∴AB=AC，△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°， ∴△ABC是等边三角形，可得AB=BC=AC. ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC. 例题讲解 22051 圆的中心对称性和旋转不变性 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. 顶点在圆心的角叫作圆心角. 圆心角 圆心角 课堂小结 22051 1.下列说法中，正确的是(　　) A．等弦所对的弧相等 B．弧相等，所对的弦相等 C．在同圆中，圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等，所对的圆心角相等 C 当堂检测 基础 22051 2.如图，AO，CO是⊙O的半径，B是的中点，连接AB，BC，点D在BC的延长线上．若∠OCD=130°，则∠AOC的度数为（     ） A．160° B．130° C．100° D．80° A 当堂检测 基础 22051 3.如图，PO是直径所在的直线，且PO平分∠BPD，OE垂直AB，OF垂直CD，则：①AB=CD；②弧AB等于弧CD；③PO=PE；④弧BG等于弧DG；⑤PB=PD；其中结论正确的是______________（填序号） ①②④⑤ 当堂检测 基础 22051 4.如图，OA，OB，OC是⊙O的三条半径，AC=BC，M，N分别是OA，OB的中点，求证MC=NC. O A C B M N 证明：∵M，N是半径OA，OB的中点， ∴OM=OA，ON=OB，∴OM=ON. ∵AC=BC，∴∠AOC=∠BOC. 又OC=OC， ∴△MOC≌△NOC（SAS）. ∴MC=NC. 当堂检测 基础 22051 5.如图，AB是⊙O的直径，AC＝CD，∠COD＝60°. (1)△AOC是等边三角形吗？请说明理由． (2)求证：OC∥BD. ︵ ︵ (1)解：△AOC是等边三角形． 理由如下：∵ AC＝CD ， ∴∠AOC＝∠COD＝60°. 又∵OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形． ︵ ︵ 当堂检测 提升 22051 (2)证明：由(1)，得∠AOC＝∠COD＝60°， ∴∠BOD＝180°－(∠AOC＋∠COD)＝60°. ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝60°， ∴∠ODB＝∠COD＝60°， ∴△ODB为等边三角形． ∴OC∥BD. 当堂检测 提升 22051 $