29.2.2 圆心角课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦圆心角概念、圆的旋转不变性及圆心角-弧-弦关系定理，通过剪圆形纸片旋转180°和任意角度的探究，引出圆的中心对称性与旋转不变性，搭建从图形性质到数量关系的学习支架。 其亮点在于以数学眼光引导动手观察（如旋转纸片发现重合），通过数学思维推导定理（利用旋转不变性得出等圆心角对等弧和弦），用数学语言规范表达（几何语言描述定理及推论）。采用“探究-归纳-应用”教学法，小结“知一推二”规律，助学生构建知识体系，提升推理意识与应用能力，为教师提供结构化教学资源。

第二十九章 圆 R·九年级数学上册 29.2 圆的有关性质 29.2.2 圆心角 学习目标 1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性. 2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题. 3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义. 新课导入 探究1：剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？ 圆是中心对称图形. 对称中心是圆心. 探究2：把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？ O A A′ 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性. O A B 1.圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角，如∠AOB. 2.圆心角∠AOB所对的弧为AB. 3.圆心角∠AOB所对的弦为AB. 任意给圆心角，对应出现两个量： 圆心角 弧 弦 探索新知 判断下列各图中的角是不是圆心角，说明理由. ① ② ③ ④ 圆内角 圆外角 圆周角 （后面会学到） 圆心角 思考：如图，在 ⊙O 中，当圆心角∠AOB=∠A′OB′ 时，它们所对的弧 AB 和 A′B′ 有什么关系？弦 AB 和 A′B′ 呢？为什么？ O 点击打开几何画板 B′ A′ A B 根据圆的旋转不变性，我们发现：在⊙O中，如果∠AOB=∠COD，那么AB=CD，AB=CD. 思考：在等圆中，你发现的等量关系是否依然成立？ O′ B′ A′ O B A O′ B′ A′ 通过平移和旋转，我们发现结论依然成立. 弧、弦、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 几何语言： ∠AOB=∠A′OB′ AB=A′B′ AB=A′B′ 思考：如果把定理的结论与题设交换，还成立吗？ O B′ A′ A B 弧、弦、圆心角关系定理的推论 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. O B′ A′ A B 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. AB=A′B′ ∠AOB=∠A′OB′，AB=A′B′ AB=A′B′ ∠AOB=∠A′OB′，AB=A′B′ 思考：“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等” ，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 如图，∠AOB=∠A′OB′， 但AB≠AB，AB≠A′B′. 归纳小结 前提：在同圆或等圆中. O A B B′ A′ O A B B′ A′ O B′ A′ A B 圆心角相等 弧相等 弦相等 知一推二 例2 如图，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°.求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. 证明：∵在⊙O中，AB=AC， ∴AB=AC，△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°， ∴△ABC是等边三角形，可得AB=BC=AC. ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC. 如图，AB，CD是⊙O的两条弦. （1）如果AB=CD，那么__________， _____________. （2）如果AB=CD，那么__________，_____________. （3）如果∠AOB=∠COD，那么___________，_____ ______________. 牛刀小试 AB=CD ∠AOB=∠COD AB=CD ∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD 【选自教材第126页 练习 第1题】 （4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，OE与OF相等吗？为什么？ 解：相等.理由： ∵OE⊥AB，OF⊥CD， ∴AE=AB，CF=CD，∠AEO=∠CFO=90°. ∵AB=CD，∴AE=CF. 又OA=OC，∴Rt△AOE≌Rt△COF（HL）. ∴OE=OF. 随堂练习 1.如果两个圆心角相等，那么（ ） A.这两个圆心角所对的弦相等 B.这两个圆心角所对的弧相等 C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D.以上说法都不对 D 2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于_______. 60° 3.如图，AB，EG是☉O的直径，EF，EB是☉O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF.若∠AOF=20°，则∠F的度数是_______. 40° 4.如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=35°.求∠AOE的度数. 【选自教材第127页 练习 第2题】 解：∵BC=CD=DE， ∴∠BOC=∠COD=∠DOE. 又∠COD=35°， ∴∠BOE=∠BOC+∠COD+∠DOE=3∠COD =105°， ∴∠AOE=180°−∠BOE=75°. 5.如图，OA，OB，OC是⊙O的三条半径，AC=BC，M，N分别是OA，OB的中点，求证MC=NC. 【选自教材第127页 练习 第3题】 O A C B M N 证明：∵M，N是半径OA，OB的中点， ∴OM=OA，ON=OB，∴OM=ON. ∵AC=BC，∴∠AOC=∠BOC. 又OC=OC， ∴△MOC≌△NOC（SAS）. ∴MC=NC. 6.如图，点O是AB所在圆的圆心，C，D是AB的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F.若∠AOB=90°，求证：AE=CD. O A B C D E F 证明：如图，连接AC. ∵C，D是AB的三等分，∴AC=CD=DB. ∴∠AOC=∠COD=∠DOB，AC=CD. 又∠AOB=90°，∴∠AOC=∠AOB=30°. ∵OA=OC，∴∠ACE=(180°−∠AOC)=75°. ∵∠AOB=90°，OA=OB.∴∠OAB=(180°−∠AOB)=45°. ∴∠AEC=∠AOC+∠OAB=30°+45°=75°. ∴ ∠AEC=∠ACE.∴AE=AC.∴AE=CD. O A B C D E F 课堂小结 圆心角 概念 顶点在圆心的角 弦、弧、圆心角的关系定理及推论 前提：在同圆或等圆中. $