5.5用含有字母的式子表示探究的规律（同步练习）-2026-2027学年五年级数学上册人教版

**基本信息** 本同步练通过基础、提高、拓展三阶分层设计，以图形与数列规律为载体，从单一规律表示到综合应用再到开放探究，培养抽象能力、推理意识和模型意识，适配新授课分层巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础篇|单一规律（等差、图形拼接）的字母表示|以具体图形（三角形、正方形）和简单数列为主，如摆n个三角形需2n+1根小棒| |提高篇|两步递推规律、代数式求值与实际情境应用|结合实际情境（日历、电影院座位），如n张桌子围坐4n+2人| |拓展篇|规律辨析、开放探究与综合说理|设置开放题（自主设计规律）和辨析题（判断规律正确性），如解释“每增1三角形多2小棒”的理由|

人教版 五年级数学上册 用含有字母的式子表示探究的规律(答案) 基础篇 1. 答案：2n+1　解析：摆 1 个用 3 根，以后每增加 1 个三角形增加 2 根，第 n 个需要 3+2×（n-1）=2n+1 根。 1. 答案：n　解析：自然数从 1 开始，第几个数就是几，所以第 n 个数是 n。 1. 答案：2n　解析：2、4、6、8……都是相差 2 的偶数，第 n 个数是 2 的 n 倍，即 2n。 1. 答案：3n-2　解析：相邻两项都相差 3，首项是 1，第 n 项=1+3×（n-1）=3n-2。 1. 答案：3n+1　解析：摆 1 个用 4 根，每增加 1 个正方形增加 3 根，第 n 个需要 4+3×（n-1）=3n+1 根。 1. 答案：2n-1　解析：圆点个数 1、3、5、7……是连续的奇数，第 n 个图形有 2n-1 个圆点。 1. 答案：4n+1　解析：摆 1 个用 5 根，每增加 1 个五边形增加 4 根，第 n 个需要 5+4×（n-1）=4n+1 根。 1. 答案：3n+2　解析：每排都比前一排多 3 个座位，首排 5 个，第 n 排有 5+3×（n-1）=3n+2 个座位。 1. 答案：5n　解析：5、10、15、20……都是 5 的倍数，第 n 个数是 5 的 n 倍，即 5n。 1. 答案：5n+2　解析：摆 1 个用 7 根，每增加 1 个七边形增加 5 根，第 n 个需要 7+5×（n-1）=5n+2 根。 1. 答案：n×n　解析：1 个奇数和是 1×1，2 个奇数和是 2×2，3 个奇数和是 3×3，所以前 n 个奇数的和是 n×n。 1. 答案：3；19　解析：把 n=1 代入，4×1-1=3 根；把 n=5 代入，4×5-1=19 根。 1. 答案：7n　解析：7、14、21、28……都是 7 的倍数，第 n 个数是 7 的 n 倍，即 7n。 1. 答案：10n　解析：10、20、30、40……都是 10 的倍数，第 n 个数是 10 的 n 倍，即 10n。 1. 答案：4n　解析：每个正方形用 4 根小棒，n 个正方形共用 4×n=4n 根小棒。 提高篇 1. 答案：22；4n+2　解析：每增加 1 张桌子多坐 4 人，第一张坐 6 人，n 张坐 6+4×（n-1）=4n+2 人；把 n=5 代入，4×5+2=22 人。 1. 答案：3n-1；59　解析：相邻两项相差 3，首项 2，第 n 项=2+3×（n-1）=3n-1；把 n=20 代入，3×20-1=59。 1. 答案：36　解析：第 8 堆有 8×（8+1）÷2=8×9÷2=36 个圆片。 1. 答案：n+1；n+7　解析：横着相邻相差 1，第二个日期是 n+1；竖着相邻相差 7，下面的日期是 n+7。 1. 答案：4n-3；77　解析：相邻两项相差 4，首项 1，第 n 项=1+4×（n-1）=4n-3；把 n=20 代入，4×20-3=77。 1. 答案：对　解析：把 n=4 代入，3×4+4=12+4=16 根，与题中说法一致，所以说得对。 1. 答案：4n+8；36　解析：每增加 1 个图形多 4 个点，首图 12 个点，第 n 个有 12+4×（n-1）=4n+8 个点；把 n=7 代入，4×7+8=36 个点。 1. 答案：①　解析：数列相邻两项相差 4，首项 8，第 n 项=8+4×（n-1）=4n+4。 1. 答案：2n+8；32　解析：每排多 2 个座位，首排 10 个，第 n 排有 10+2×（n-1）=2n+8 个；把 n=12 代入，2×12+8=32 个。 1. 答案：①　解析：数列相邻两项相差 5，首项 6，第 n 项=6+5×（n-1）=5n+1。 1. 答案：n×（n+1）；n（n+1）　解析：第 n 个算式是 n×（n+1），省略乘号后结果是 n（n+1）。 1. 答案：6n-1；41　解析：每增加 1 个图形多 6 根，首图 5 根，第 n 个需要 5+6×（n-1）=6n-1 根；把 n=7 代入，6×7-1=41 根。 1. 答案：n-1；14　解析：楼层数与楼梯层数相差 1，到第 n 层要走 n-1 层楼梯；到第 15 层要走 15-1=14 层。 1. 答案：6n-2；46　解析：每增加 1 个图形多 6 个圆片，首图 4 个，第 n 个有 4+6×（n-1）=6n-2 个；把 n=8 代入，6×8-2=46 个。 1. 答案：15n；90　解析：15、30、45……都是 15 的倍数，第 n 个数是 15n；把 n=6 代入，15×6=90。 拓展篇 1. 答案：因为从第 2 个三角形开始，每个新三角形都与前一个三角形共用一条边，所以每增加 1 个只添 2 根小棒；摆 n 个需要 3+2×（n-1）=2n+1 根。　解析：共用边是图形规律的关键，解释清楚“每多 1 个三角形只用补 2 根”即可。 1. 答案：示例：第 1 个图形 4 个圆点，第 2 个 9 个，第 3 个 14 个……第 n 个图形有 5n-1 个圆点。　解析：答案不唯一，前三个数据与字母式一致（相邻差 5、首项 4）即可。 1. 答案：100；10　解析：1 到 19 共有 10 个奇数，它们的和=10×10=100，所以 1+3+5+7+……+19=10²。 1. 答案：256　解析：第 9 个数是（9-1）=8 个 2 相乘，2×2×2×2×2×2×2×2=256。 1. 答案：不对　解析：第 3 个图形按 n+5 计算应是 5+3=8 个点，实际是 9 个点，说明 n+5 只符合前两个图形；找规律要多验证几项，确认每一项都符合才算找到规律。 1. 答案：2、5、8、11　解析：n=1 时 3×1-1=2；n=2 时 3×2-1=5；n=3 时 3×3-1=8；n=4 时 3×4-1=11。相邻两项都相差 3，规律验证正确。 1. 答案：2n+2　解析：每增加 1 个正方形，周长增加 2；n 个拼成一排的周长=4+2×（n-1）=2n+2。 1. 答案：说明 8n 只符合前 4 个图形，不能代表后面所有的图形　解析：仅验证有限的几项不能证明规律一定正确，还要结合图形的变化特点多验证、细观察，才能确定字母式子是否正确。 1. 答案：6；45　解析：4 个小朋友每两人握一次手，共握 3+2+1=6 次；按 n（n-1）÷2，10 个小朋友共握 10×9÷2=45 次。 1. 答案：5n-4；示例：2、7、12、17……第 n 个数是 5n-3　解析：1、6、11、16 相邻两项相差 5，首项 1，第 n 项=1+5×（n-1）=5n-4；自编数列只要相邻差为 5 且式子正确即可。 1 学科网（北京）股份有限公司 $人教版 五年级数学上册 用含有字母的式子表示探究的规律 基础篇 夯实基础：从图形和数列中探索规律，用含有字母的式子表示 1. 用小棒摆三角形，摆 1 个需要 3 根小棒，摆 2 个需要 5 根，摆 3 个需要 7 根。摆 n 个这样的三角形需要（　　）根小棒。 1. 观察数列 1、2、3、4……第 n 个数是（　　）。 1. 观察数列 2、4、6、8……第 n 个数是（　　）。 1. 观察数列 1、4、7、10……第 n 个数是（　　）。 1. 用小棒摆正方形，摆 1 个需要 4 根小棒，摆 2 个需要 7 根，摆 3 个需要 10 根。摆 n 个这样的正方形需要（　　）根小棒。 1. 图形中圆点的个数分别是 1、3、5、7……第 n 个图形有（　　）个圆点。 1. 用小棒摆五边形，摆 1 个需要 5 根小棒，摆 2 个需要 9 根，摆 3 个需要 13 根。摆 n 个这样的五边形需要（　　）根小棒。 1. 会议室第一排有 5 个座位，第二排有 8 个座位，第三排有 11 个座位……第 n 排有（　　）个座位。 1. 观察数列 5、10、15、20……第 n 个数是（　　）。 1. 用小棒摆七边形，摆 1 个需要 7 根小棒，摆 2 个需要 12 根，摆 3 个需要 17 根。摆 n 个这样的七边形需要（　　）根小棒。 1. 观察：1=1×1，1+3=2×2，1+3+5=3×3……前 n 个奇数的和等于（　　）。 1. 已知第 n 个图形需要（4n-1）根小棒。摆 1 个图形需要（　　）根，摆 5 个图形需要（　　）根。 1. 观察数列 7、14、21、28……第 n 个数是（　　）。 1. 观察数列 10、20、30、40……第 n 个数是（　　）。 1. 单独摆 n 个正方形（不共用边），每个正方形需要 4 根小棒，一共需要（　　）根小棒。 提高篇 综合运用：两步递推规律、图形与字母转化、代数式求值 1. 一张桌子可以围坐 6 人，两张桌子拼成一排可以围坐 10 人，三张桌子拼成一排可以围坐 14 人。5 张桌子拼成一排可以坐（　　）人，n 张桌子拼成一排可以坐（　　）人。 1. 观察数列 2、5、8、11……第 n 个数是（　　），第 20 个数是（　　）。 1. 圆片按规律摆放：第 1 堆 1 个，第 2 堆 3 个，第 3 堆 6 个，第 4 堆 10 个……第 n 堆有 n（n+1）÷2 个圆片，第 8 堆有（　　）个圆片。 1. 日历中横着相邻的两个日期相差 1。如果第一个日期是 n，那么第二个日期是（　　）；竖着相邻的两个日期相差 7，如果上面的日期是 n，下面的日期是（　　）。 1. 观察数列 1、5、9、13……第 n 个数是（　　），第 20 个数是（　　）。 1. 判断：小明说“第 n 个图形需要（3n+4）根小棒”，那么第 4 个图形需要 16 根小棒。他说得对吗？ 1. 给正方形棋盘外围摆圆点：第 1 个图形有 12 个点，第 2 个图形有 16 个点，第 3 个图形有 20 个点……第 n 个图形有（　　）个点，第 7 个图形有（　　）个点。 1. 选择：数列 8、12、16、20……第 n 个数是（　　）。① 4n+4　② 4n+8　③ 4n-4 1. 电影院第一排有 10 个座位，第二排有 12 个座位，第三排有 14 个座位……第 n 排有（　　）个座位，第 12 排有（　　）个座位。 1. 选择：数列 6、11、16、21……第 n 个数是（　　）。① 5n+1　② 5n-1　③ 6n 1. 观察算式：1×2=2，2×3=6，3×4=12……第 n 个算式是（　　），它的结果是（　　）。 1. 摆图形：第 1 个图形需要 5 根小棒，第 2 个图形需要 11 根，第 3 个图形需要 17 根……第 n 个图形需要（　　）根小棒，第 7 个图形需要（　　）根小棒。 1. 从一楼走到二楼要走 1 层楼梯，从一楼走到三楼要走 2 层楼梯……从一楼走到第 n 层要走（　　）层楼梯，到第 15 层要走（　　）层楼梯。 1. 圆片按规律摆放：第 1 个图形 4 个，第 2 个 10 个，第 3 个 16 个，第 4 个 22 个……第 n 个图形有（　　）个圆片，第 8 个图形有（　　）个圆片。 1. 观察数列 15、30、45……第 n 个数是（　　），第 6 个数是（　　）。 拓展篇 思维拓展：说理辨析、开放探究、综合求值 1. 用小棒摆三角形，摆 1 个用 3 根，摆 2 个用 5 根。为什么以后每增加 1 个三角形只增加 2 根小棒？请说明理由，并写出摆 n 个三角形需要的小棒根数。 1. 请自己探究一个规律：写出前三个数据，再用含有字母的式子表示第 n 个数据。 1. 观察规律：1+3=2×2，1+3+5=3×3。那么 1+3+5+7+……+19 的和是多少？它等于（　　）²。 1. 观察数列 1、2、4、8、16……第 n 个数等于（n-1）个 2 相乘的积。第 9 个数是（　　）。 1. 小明发现：“第 n 个图形有（n+5）个点。”他观察到第 1 个图形 6 个点、第 2 个图形 7 个点、第 3 个图形却是 9 个点。小明的发现对吗？为什么？ 1. 已知一个规律用式子 3n-1 表示。请写出它的前 4 项，并验证规律。 1. 用相同的正方形拼成一排：1 个正方形的周长是 4，2 个拼成的长方形周长是 6，3 个拼成的周长是 8……n 个正方形拼成的长方形周长是（　　）。 1. 小明说“第 n 个图形需要 8n 根小棒”，小红验证前 4 个图形分别是 8、16、24、32 根，都符合，但第 5 个图形却是 44 根。这说明什么？ 1. 2 个小朋友每两人握一次手，一共握 1 次；3 个小朋友一共握 3 次；4 个小朋友一共握（　　）次。n 个小朋友一共握 n（n-1）÷2 次，10 个小朋友一共握（　　）次。 1. 观察数列 1、6、11、16……第 n 个数是（　　）。请再自己写一串相邻两项差为 5 的数列，并用含有字母的式子表示第 n 个数。 1 学科网（北京）股份有限公司 $