第13章 培优专练2 三角形的内角与外角的计算(培优训练)-【教与学·学导练】2026-2027学年八年级上册数学同步课件（人教版·新教材）

数学 八年级 上册 配人教版 数学 八年级 上册 配人教版 第十一章　三　角　形 培优专练2 三角形的内角与外角的计算 数学 八年级 上册 配人教版 1. 指示标志在生活中随处可见，无论是带箭头还是没有箭头，导 向标志总是给人们的日常生活带来便利. 如图P13－2－1所示的 “箭头”图形中，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF＝80°，∠E＝∠F＝ 48°，则图中∠EGF的度数是（　C　） 图P13－2－1 A. 78° B. 74° C. 64° D. 58° C 数学 八年级 上册 配人教版 2. 如图P13－2－2，∠ABD，∠ACD的平分线交于点P. 若∠A＝ 48°，∠D＝10°，则∠P的度数为 ⁠. 图P13－2－2 19°　 数学 八年级 上册 配人教版 3. 如图P13－2－3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC 交AC于点D，且∠DBC＝30°. （1）求∠A的度数； 解：（1）∵BD平分∠ABC，∠DBC＝30°， ∴∠ABC＝2∠DBC＝60°. ∵∠ACB＝90°， ∴∠A＝90°－∠ABC＝30°. 　图P13－2－3 数学 八年级 上册 配人教版 （2）过点C作CP交BD于点P，∠CPD＝75°.CP是∠ACB的平分 线吗？请说明理由. 解：（2）CP是∠ACB的平分线. 理由如下： ∵∠CPD＝75°，∠DBC＝30°， ∴∠PCB＝∠CPD－∠DBC＝45°. ∵∠ACB＝90°， ∴∠DCP＝∠ACB－∠PCB＝45°. ∴∠PCB＝∠DCP＝45°. ∴CP是∠ACB的平分线. 　图P13－2－3 数学 八年级 上册 配人教版 4. 如图P13－2－4，D为△ABC的边BC延长线上一点. （1）若∠A∶∠ABC＝3∶5，∠ACD＝136°，求∠ABC的度数； 解：（1）∵∠A∶∠ABC＝3∶5， ∴设∠A＝3k，∠ABC＝5k. ∵∠ACD＝∠A＋∠ABC＝136°， ∴3k＋5k＝136°. 解得k＝17°. ∴∠ABC＝5k＝85°. 　图P13－2－4 数学 八年级 上册 配人教版 （2）若∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点M，过点C作 CP⊥BM于点P. 请探究∠PCM与∠A的数量关系. 解：（2）∵∠MCD是△MBC的外角， ∴∠M＝∠MCD－∠MBC. 同理∠A＝∠ACD－∠ABC. ∵MC，MB分别平分∠ACD，∠ABC， ∴∠MCD＝∠ACD，∠MBC＝∠ABC. ∴∠M＝∠ACD－∠ABC＝（∠ACD－∠ABC）＝∠A. ∵CP⊥BM， ∴∠PCM＝90°－∠M＝90°－∠A. 　图P13－2－4 数学 八年级 上册 配人教版 5. （综合探究）如图P13－2－5①，∠MON＝90°，点A，B分别 在OM，ON上运动（不与点O重合）. 【探究与发现】 （1）若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠BAO的平分 线交于点D. ①当∠BAO＝70°时，∠D＝ °； ②猜想：∠D的度数是否随A，B的运动而发生变化？请说明理 由； 45 图P13－2－5 数学 八年级 上册 配人教版 解：（1）②∠D的度数不发生变化. 理由如下： ∵AD平分∠BAO，BC平分∠ABN， ∴∠BAD＝∠BAO，∠ABC＝∠ABN. ∴∠D＝∠ABC－∠BAD＝（∠ABN－∠BAO）＝∠MON. ∵∠MON＝90°，∴∠D＝45°. ∴∠D的度数不随A，B的运动而发生变化. 数学 八年级 上册 配人教版 （2）如图P13－2－5②，若∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO， 求∠D的度数； 【拓展延伸】 解：（2）∵∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO， ∴∠D＝∠ABC－∠BAD＝（∠ABN －∠BAO）＝∠MON. ∵∠MON＝90°， ∴∠D＝30°. 数学 八年级 上册 配人教版 （3）在图P13－2－5①的基础上，如果∠MON＝α，其余条件不 变，随着点A，B的运动（如图P13－2－5③），∠D＝ . （用含α的式子表示） α 数学 八年级 上册 配人教版 6. 在△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB， 交边BC于点D. （1）如图P13－2－6①，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你 的理由； （1）解：∠AOC＝∠ODC. 理由如下： ∵在△ABC中，三个内角的平分线交于点O， ∴∠OAC＝∠BAC，∠OCA＝∠ACB，∠OBC＝∠ABC. ∴∠AOC＝180°－（∠OAC＋∠OCA） ＝180°－（∠BAC＋ ∠ACB）＝180°－（180°－∠ABC）＝90°＋∠ABC. ∵OD⊥OB，∴∠BOD＝90°. ∴∠ODC＝∠BOD＋∠OBC＝90°＋∠ABC. ∴∠AOC＝∠ODC. 图P13－2－6 数学 八年级 上册 配人教版 （2）如图P13－2－6②，作△ABC的外角∠ABE的平分线交CO的 延长线于点F. ①求证：BF∥OD； ②若∠F＝40°，求∠BAC的度数. 图P13－2－6 数学 八年级 上册 配人教版 （2）①证明：∵BF平分∠ABE，BO平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠ABE，∠ABO＝∠ABC. ∴∠FBO＝∠ABF＋∠ABO＝（∠ABE＋ ∠ABC）＝×180°＝90°. ∵OD⊥OB，∴∠BOD＝90°. ∴∠FBO＝∠BOD. ∴BF∥OD. 数学 八年级 上册 配人教版 ②解：∵BF平分∠ABE， ∴∠FBE＝∠ABE＝（∠BAC＋∠ACB）. ∵OC平分∠ACB，∴∠BCF＝∠ACB. ∴∠F＝∠FBE－∠BCF＝（∠BAC＋ ∠ACB）－∠ACB＝∠BAC. ∵∠F＝40°，∴∠BAC＝2∠F＝80°. 数学 八年级 上册 配人教版 谢 谢 ! 数学 八年级 上册 配人教版 $