第15章 综合与实践（二）(内文)-【教与学·学导练】2026-2027学年八年级上册数学同步课件（人教版·新教材）

数学 八年级 上册 配人教版 返回目录 数学 八年级 上册 配人教版 第一部分　新 课 内 容 第十五章 轴对称 综合与实践（二） 返回目录 数学 八年级 上册 配人教版 1. （RJ八上P94～95综合与实践改编）【提出问题】唐朝诗人李 颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交 河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马. 如图H2－1 ①，将军从山脚下的点A出发，到达河边l饮马后再回到点B宿营， 他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 图H2－1 返回目录 数学 八年级 上册 配人教版 【分析问题】（1）小亮：如图H2－1②，作点B关于直线l的对称 点B'，连接AB'与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走 的路程就是最短的. 小慧：你能详细解释为什么吗？ 图H2－1 返回目录 数学 八年级 上册 配人教版 小亮：如图H2－1③，在直线l上另取任一点C'，连接AC'，BC'， B'C'，我只要证明AC＋BC＜AC'＋BC'. ∵直线l是点B，B'的对称轴，点C，C'在l上， ∴BC＝…… 请完整地写出小亮的证明过程； 图H2－1 返回目录 数学 八年级 上册 配人教版 解：（1）∵直线l是点B，B'的对称轴，点C，C'在l上， ∴BC＝B'C，BC'＝B'C'. ∴AC＋BC＝AC＋B'C＝AB'， AC'＋BC'＝AC'＋B'C'. ∵AB'＜AC'＋B'C'， ∴AC＋BC＜AC'＋BC'. ∴作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'与直线l交于点C，点C就 是饮马的地方. 返回目录 数学 八年级 上册 配人教版 【解决问题】（2）如图H2－1④，将军牵马从军营P处出发，到 河流OA饮马，再到草地OB吃草，最后回到P处，试分别在边OA 和OB上各找一点E，F，使得走过的路程最短. （不要求写作法和 理由，保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线 ） 图H2－1 返回目录 数学 八年级 上册 配人教版 解：（2）如答图H2-1，归短路径为PEFP. 答图H2－1 返回目录 数学 八年级 上册 配人教版 2. （RJ八上P95～96综合与实践改编）【提出问题】如图H2－ 2，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边l饮马， 然后回到B处，要求指出最短路径. 图H2－2 返回目录 数学 八年级 上册 配人教版 【解决问题】（1）同学甲：牧马人从A地出发，把马牵到草地与 河边的交汇处N点，牧马又饮马，然后回到B处. 同学乙：作点A关于直线MN的对称点A'，再作点B关于直线l的对 称点B'，连接A'B'交直线MN于点Q，交直线l于点P，则路径AQPB 为最短路径. 你认为哪位同学指出的最短路径正确？ 画出图形，并说明理由； 图H2－2 返回目录 数学 八年级 上册 配人教版 解：（1）同学乙指出的最短路径正确. 理由如下：如答图H2－2，在直线MN上另任取 一点Q1，在直线l上另任取一点P1，连接P1Q1， AQ1，A'Q1，BP1，B'P1. 答图H2－2 返回目录 数学 八年级 上册 配人教版 由轴对称性质，得AQ＝A'Q，BP＝B'P，AQ1＝A'Q1，BP1＝ B'P1. ∴AQ＋PQ＋BP＝A'Q＋PQ＋B'P＝A'B'. ∵A'Q1＋P1Q1＋B'P1＞A'B'， ∴AQ1＋P1Q1＋BP1＞A'B'. ∴AQ1＋P1Q1＋BP1＞AQ＋PQ＋BP. ∴路径AQPB是最短路径. 答图H2－2 返回目录 数学 八年级 上册 配人教版 【拓展应用】（2）如图H2－3，河的两岸成平行线，A，B是位于 河两岸的两个车间，要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且 使A，B间的路程最短，确定桥的位置的方法是：作从A到河岸的 垂线，分别交河岸PQ，MN于点F，G. 在AG上取AE＝FG，连接 EB，EB交MN于点D. 在D处作到对岸的垂线DC，垂足为C，那么 CD就是造桥的位置. 请说出桥造在CD位置时路程最短的理由，也 就是AC＋CD＋DB最小的理由. 图H2－3 返回目录 数学 八年级 上册 配人教版 （2）∵PQ∥MN，AG⊥MN，CD⊥PQ， ∴FG＝CD，AG∥CD. ∵AE＝FG，∴AE＝CD. ∴ED可看作AC沿垂直河岸的方向平移得到的. ∴ED＝AC. ∴AC＋CD＋DB＝ED＋CD＋DB＝EB＋CD. ∵CD与河岸垂直为定值， ∴AC＋DB最小时，AC＋CD＋DB最小. ∵两点之间，线段最短， ∴当AC＋DB＝EB时，AC＋CD＋DB最小. 返回目录 数学 八年级 上册 配人教版 谢 谢 ! 返回目录 数学 八年级 上册 配人教版 $