27.2 反比例函数的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦反比例函数的图象和性质，核心内容为双曲线的绘制及k>0、k<0时的象限分布与增减性。通过温故知新复习一次函数、二次函数的描点法与数形结合思想，类比猜想反比例函数图象，搭建前后知识联系的学习支架。 其亮点是以“画图象-观察特征-归纳性质-应用拓展”为主线，分k>0和k<0分类讨论，结合解析式说理，培养学生数学思维（推理意识）和眼光（几何直观）。即时练习与分层作业强化应用，小结填空梳理知识，助力学生构建体系，教师可高效实施教学。

27.2 反比例函数的图象和性质 人教版 · 数学 · 九年级上册 授课教师：__________ 班级：__________ 课时：1 课时 学习目标 目标 1. 会用描点法画出反比例函数 y＝k/x 的图象，知道它的图象是双曲线，能说出因 x≠0 而由两支曲线组成。 2. 能结合图象与解析式归纳反比例函数的性质：k＞0 时两支位于第一、三象限，在每个象限内 y 随 x 增大而减小；k＜0 时两支位于第二、四象限，在每个象限内 y 随 x 增大而增大。 3. 会运用图象和性质判断点是否在图象上、比较函数值大小、由图象确定 k 的符号，体会数形结合与分类讨论思想。 学习重难点 重难点 重点　反比例函数的图象（双曲线）及其性质——两支所在象限、每个象限内的增减性。 难点　理解性质中“在每一个象限内”这一前提；能由图象结合解析式说理， 　　体会由特殊到一般、分类讨论的方法。 方法主线　画图象（列表→描点→连线）→观察形状、位置、增减性→结合解析式归纳性质。 一、温故知新（3分钟） 复习 【复习提问】 1. 研究一次函数、二次函数的图象和性质时，我们采用了怎样的研究方法？ 2. 用描点法画函数图象，一般要经过哪三步？ → → 。 3. 类比猜想：反比例函数 y＝k/x 的图象可能是什么形状？它与坐标轴会有交点吗？ （提示：x≠0，所以 y≠0） 1. 用“描点法”画出图象，再由图象归纳性质（数形结合思想）。 2. 列表 → 描点 → 连线。 3. 猜想：图象是双曲线；与 x 轴、y 轴都没有交点（因为 x≠0，所以 y≠0）。 二、探究引入（2分钟） 情境 研究方法：先＿＿→再观察图象的＿＿和＿＿（位置、形状）→结合＿＿式归纳性质，体会数形结合。 因为 y＝k/x 中 k≠0，所以要分＿＿＞0 与＿＿＜0 两种情况进行讨论；本课先从 k＞0 的情形开始， 研究具体的反比例函数 y＝3/x 与 y＝6/x。 研究方法：先画图象 → 再观察图象的形状和位置 → 结合解析式归纳性质。 因为 k≠0，所以要分 k ＞ 0 与 k ＜ 0 两种情况进行讨论。 三、新课探究 · 环节1 描点画图 画图 对于反比例函数 y＝3/x 与 y＝6/x： （1）自变量 x 的取值范围是＿＿，函数值 y 的取值范围是＿＿； （2）想一想：它们图象的位置和形状可能是怎样的？ （3）用描点法画出它们的图象：列表 → 描点 → 连线。 【议一议】因为 x≠0，所以图象由＿＿条曲线组成；图象与 x 轴、y 轴＿＿（有/没有）交点。 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 y=3/x -1 3 y=6/x -6 6 x≠0 y≠0 -0.5 -0.6 -0.75 1.5 -3 1.5 1 0.75 0.6 0.5 -1 -1.2 -1.5 -2 -3 3 2 1.5 1.2 1 三、新课探究 · 环节1 描点画图 画图 对于反比例函数 y＝3/x 与 y＝6/x： 2 6 x 2 4 -2 -6 -2 -4 y O -4 4 6 -6 ②描点：以表中各组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点. ③连线：用平滑的曲线顺次连接描出的点，就得到了函数的图象. 三、新课探究 · 环节2 归纳 k＞0 性质 性质 观察 y＝3/x 与 y＝6/x 的图象： （1）每个函数的图象分别位于哪些象限？ （2）在每一个象限内，随着 x 的增大，y 如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？ 一般地，当 k＞0 时： （1）函数图象的两支分别位于第＿＿、＿＿象限； （2）在每一个象限内，y 随 x 的增大而＿＿。 （1）每个函数的图象的两支都位于第一、三象限。 （2）在每一个象限内，y 随 x 增大而减小。 理由：y=3/x与y=6/x，x 越大则 3/x与6/x 越小。 一、三 减小。 三、新课探究 · 即时练习（一） 练习 填空：反比例函数 y＝8/x 的图象位于第＿＿象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而＿＿。 　　若 A(1，y₁)、B(2，y₂) 都在该图象上，则 y₁＿＿y₂。 选择：关于反比例函数 y＝8/x，下列说法正确的是（　　） 　　A．图象是一条直线 　　B．在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 　　C．图象位于第二、四象限 　　D．在每个象限内，y 随 x 的增大而增大 填空：第一、三 象限；减小；y₁＝8，y₂＝4，故 y₁ ＞ y₂。 选择：A、C、D 均错；B 正确（k=8>0，双曲线、位于一三象限、每象限内 y 随 x 增大而减小）。故选 B。 三、新课探究 · 环节3 探究 k＜0 性质 性质 用类似的方法研究 y＝k/x（k＜0）的图象和性质。先画出 y＝－6/x 的图象： （1）它的图象的两支分别位于第＿＿、＿＿象限？ （2）在每一个象限内，y 随 x 的增大而＿＿。 （1）图象的两支分别位于第二、四象限。 （2）在每一个象限内，y 随 x 增大而增大。（k<0 时，x 越大则 k/x 越大，如 y=-6/x） 三、新课探究 · 即时练习（二） 练习 填空：反比例函数 y＝－4/x 的图象位于第＿＿象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而＿＿。 选择：已知反比例函数 y＝k/x 的图象经过点 (2，－3)，则它的图象位于（　　） 　　A．第一、二象限　B．第一、三象限　C．第二、四象限　D．第三、四象限 填空：第二、四 象限；增大。 选择：把 (2,-3) 代入：k=2×(-3)=-6<0，图象在第二、四象限。故选 C。 三、新课探究 · 归纳与易错提醒 总结 【归纳】反比例函数 y＝k/x（k≠0）的图象特征和性质： （1）图象由两条曲线组成，它是＿＿线； （2）k＞0：两支位于第＿＿象限，在每个象限内 y 随 x 增大而＿＿； （3）k＜0：两支位于第＿＿象限，在每个象限内 y 随 x 增大而＿＿。 【易错提醒】 性质（2）（3）中“在每一个象限内”＿＿（能/不能）去掉。 （1）双曲；（2）一、三，减小；（3）二、四，增大。 易错：“不能”去掉。“减小/增大”只在每一象限内成立。 四、课堂练习（课本 P70） 练习 1.（练习1）如图所示的图象对应的函数解析式为（　　） 　　A．y=5x　B．y=2x+3　C．y=4/x　D．y=-2/x 2.（练习2）图象如图所示，则 k＿＿0（填“＞”或“＜”）；每个象限内 y 随 x 增大而＿＿。 3. 填空：y=-6/x 经过点 (-2，＿＿) 和 (＿＿，3)。 4. 选择：A(-1,y₁)、B(2,y₂) 在 y=-4/x 上，则（　　） 　　A．y₁>y₂　B．y₁<y₂　C．y₁=y₂　D．无法确定 1.（练习1）双曲线位于第一、三象限 ⇒ y=4/x。选 C。 2.（练习2）图象在第二、四象限 ⇒ k＜0（填“＜”）；每个象限内增大。 3.（填空）(-2, 3)；(-2, 3)（x=-6/3=-2）。 4.（选择）y₁=4，y₂=-2 ⇒ y₁>y₂。选 A。 1题图 2题图 五、拓展提升（机动） 提升 填空：已知反比例函数 y＝(k－1)/x 的图象位于第一、三象限，则 k 的取值范围是＿＿。 提升：已知反比例函数 y＝k/x 的图象经过点 (-2，5)。 　　（1）求 k 的值；（2）判断点 (5，-2) 是否在这个函数的图象上； 　　（3）若 (x₁,y₁)、(x₂,y₂) 都在该图象上，且 x₁＞x₂＞0，则 y₁＿＿y₂。 填空：图象在第一、三象限 ⇒ k-1>0 ⇒ k>1。 （1）代入 (-2,5)：5=k/(-2) ⇒ k=-10。 （2）x=5 时 y=-10/5=-2，恰为点 (5,-2) 的纵坐标 ⇒ 在该图象上。 （3）k=-10<0，x₁>x₂>0 同在第一象限支，y 随 x 增大而增大 ⇒ y₁>y₂（填“＞”）。 六、课堂小结 总结 填一填： （1）y＝k/x 图象是＿＿线，由＿＿条曲线组成；因 x≠0 与 y 轴＿＿交点，因 y≠0 与 x 轴＿＿交点。 （2）k＞0：两支位于第＿＿象限，每个象限内 y 随 x 增大而＿＿； 　　k＜0：两支位于第＿＿象限，每个象限内 y 随 x 增大而＿＿。 （3）研究路径：画图象（＿＿→＿＿→＿＿）→观察形状、位置、增减性→结合解析式归纳；对 k 进行＿＿讨论。 （1）双曲；2；没有；没有。 （2）k>0：一、三，减小；k<0：二、四，增大。 （3）列表→描点→连线；分类 讨论。 七、作业布置（分层） 作业 必做题：课本习题 27.2 第 1、2 题（画反比例函数的图象，并说出它的性质）。 选做题：已知 y＝k/x 经过点 (3，－2)。（1）求 k 的值； 　　（2）若 A(－1，y₁)、B(－2，y₂) 都在图象上，比较 y₁、y₂ 的大小；你还能发现什么？ 实践探究（挑战）：用信息技术工具画 y＝k/x（k>0）在不同 k 值时的图象， 　　观察 k 的大小与图象“离原点远近”的关系，写下发现与同学交流。 温馨提示：研究函数性质，先画图、再看图、最后用解析式说理——数形结合！ $