27.2 反比例函数的图象和性质 学案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦九年级“反比例函数的图象和性质”，引导学生通过复习一次函数、二次函数的研究方法及描点法步骤，类比猜想反比例函数图象形状，搭建前后知识联系的学习支架。 以直观想象为核心，通过描点法绘制具体函数图象，结合数学抽象与推理归纳一般性质，体现由特殊到一般的学习方法。即时练习与分层作业设计，强化数学运算能力，培养分类讨论思想，助力学生深度学习与素养提升。

九 年级 数学 学科学案（附页1） 九 年级 数学 学科学案（正页） 主备人： 审核人： 二次备课人： 时 间： 姓 名： 班级： 第 页 学习内容：27.2 反比例函数的图象和性质 课型：新授课 教学随笔 课标要求： 1. 能画出反比例函数的图象，根据图象和解析式探索并理解 k＞0 和 k＜0 时图象的变化情况。 2. 会用反比例函数的图象和性质解决简单问题。 学科素养： 1. 直观想象：借助图象认识双曲线的形状、位置与增减性。 2. 数学抽象与推理：由 y＝、y＝ 归纳一般性质，体会由特殊到一般。 3. 数学运算：判断点是否在图象上、比较函数值的大小。 课后反思： 学习目标： 1. 会用描点法画出反比例函数 y＝ 的图象，知道它的图象是双曲线，能说出因 x≠0 而由两支曲线组成。 2. 能结合图象与解析式归纳反比例函数的性质 3. 会运用图象和性质判断点是否在图象上、比较函数值的大小、由图象确定 k 的符号，体会数形结合与分类讨论的思想。 学习重难点： 重点：反比例函数的图象（双曲线）及其性质（两支所在象限、每个象限内的增减性）。 难点：理解性质中“在每一个象限内”这一前提；能由图象结合解析式说理，体会由特殊到一般、分类讨论的方法。 学习过程： 一、温故知新（3分钟）【复习提问】 1． 问题：研究一次函数、二次函数的图象和性质时，我们采用了怎样的研究方法？ 2． 问题：用描点法画函数图象，一般要经过哪三步？＿→＿→＿。 3． 问题：类比猜想：反比例函数 y＝ 的图象可能是什么形状？它与坐标轴会有交点吗？（提示：x≠0，所以 y≠0） 二、探究引入（2分钟） 4． 研究方法：先＿＿→再观察图象的＿＿和＿＿（位置、形状）→结合＿＿式归纳性质，体会数形结合。 5． 因为 y＝ 中 k≠0，所以要分＿＿＞0 与＿＿＜0 两种情况进行讨论；本课先从 k＞0 的情形开始，研究具体的反比例函数 y＝ 与 y＝。 三、新课探究（18分钟） 【环节1】描点法画图（课本 P67—P68 探究） 6． 对于反比例函数 y＝ 与 y＝： （1）自变量 x 的取值范围是＿＿，函数值 y 的取值范围是＿＿； （2）想一想：它们图象的位置和形状可能是怎样的？ （3）用描点法画出它们的图象： ① 列表：写出几组 x 与 y 的对应值（填空）： x -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 y= -1 1 y= -6 6 ② 描点：以表中各组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； ③ 连线：用＿＿的曲线顺次连接描出的点。 7． 【议一议】因为 x≠0，所以反比例函数的图象由＿＿条曲线组成；图象与 x 轴、y 轴＿＿（有/没有）交点。 【环节2】观察归纳 k＞0 的性质（课本 P68—P69 思考） 8． 观察 y＝ 与 y＝ 的图象，回答下列问题： （1）每个函数的图象分别位于哪些象限？ （2）在每一个象限内，随着 x 的增大，y 如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？ 9． 一般地，当 k＞0 时，对于反比例函数 y＝，结合函数图象与解析式可以发现： （1）函数图象的两支分别位于第＿＿、＿＿象限； （2）在每一个象限内，y 随 x 的增大而＿＿。 【即时练习】 10． 填空：反比例函数 y＝ 的图象位于第＿＿象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而＿＿。若 A(1，y₁)、B(2，y₂) 都在该图象上，则 y₁＿＿y₂。 11． 选择：关于反比例函数 y＝，下列说法正确的是（　　） A.图象是一条直线　 B．在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 C．图象位于第二、四象限　D．在每个象限内，y 随 x 的增大而增大 【环节3】探究 k＜0 的性质（课本 P69 探究） 12． 用类似的方法研究反比例函数 y＝（k＜0）的图象和性质。先画出 y＝ 的图象，再回答： （1）它的图象的两支分别位于第＿＿、＿＿象限？ （2）在每一个象限内，y 随 x 的增大而＿＿。 【即时练习】 13． 填空：反比例函数 y＝ 的图象位于第＿＿象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而＿＿。 14． 选择：已知反比例函数 y＝ 的图象经过点 (2，－3)，则它的图象位于（　　） A．第一、二象限　B．第一、三象限　C．第二、四象限　D．第三、四象限 【归纳】 15． 反比例函数 y＝（k≠0）的图象特征和性质： （1） 反比例函数的图象由两条曲线组成，它是＿＿线； （2） 当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第＿＿象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而＿＿； （3） 当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第＿＿象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而＿＿。 16． 【易错提醒】性质（2）（3）中“在每一个象限内”＿＿（能/不能）去掉。例如 y＝ 中，取 x₁＝－1、x₂＝1，则 y₁＝－3、y₂＝3，此时 y＿＿随 x 的增大而增大。 四、课堂练习（10分钟）【课本 P70 练习】 17． 如图所示的图象对应的函数解析式为（　　） A． y＝5x　B．y＝2x＋3　C．y＝　D．y＝ 17题图 18题图 18． 反比例函数 y＝ 的图象如图所示，则 k＿＿0（填“＞”或“＜”）；在每个象限内，y 随 x 的增大而＿＿。 19． （补充）填空：反比例函数 y＝ 的图象经过点(－2，＿＿) 和点 (＿＿，3)。 20． （补充）选择：已知点 A(－1，y₁)、B(2，y₂) 都在反比例函数 y＝ 的图象上，则 y₁ 与 y₂ 的大小关系是（　　） A．y₁＞y₂　B．y₁＜y₂　C．y₁＝y₂　D．无法确定 五、拓展提升（机动2分钟，有时间再做） 21． 填空：已知反比例函数 y＝ 的图象位于第一、三象限，则 k 的取值范围是＿＿。 22． 提升：已知反比例函数 y＝ 的图象经过点 (－2，5)。 （1）求 k 的值；（2）判断点 (5，－2) 是否在这个函数的图象上； （3）若点 (x₁，y₁)、(x₂，y₂)都在该图象上，且 x₁＞x₂＞0，则 y₁＿＿y₂。 六、课堂小结（3分钟） 23． 填一填： （1）反比例函数 y＝ 的图象是＿＿线，由＿＿条曲线组成；因为 x≠0，所以图象与 y 轴＿＿交点；因为 y≠0，所以图象与 x 轴＿＿交点。 （2）当 k＞0 时，图象的两支位于第＿＿象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而＿＿；当 k＜0 时，图象的两支位于第＿＿象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而＿＿。 （3）本课研究路径：画图象（＿＿→＿＿→＿＿）→观察图象的形状、位置与增减性→结合解析式归纳性质；研究时对 k 的符号进行了＿＿讨论。 七、作业布置（2分钟）【分层】 必做题：课本习题 27.2 第 1、2 题（画反比例函数的图象，并说出它的性质）。 选做题：已知反比例函数 y＝ 的图象经过点 (3，－2)。（1）求 k 的值；（2）若 A(－1，y₁)、B(－2，y₂) 都在该图象上，比较 y₁、y₂ 的大小；你还能发现什么？ 实践探究（挑战）：用信息技术工具画出 y＝（k＞0）在 k 取不同值时的图象，观察 k 的大小与图象“离原点远近”的关系，把你的发现写下来与同学交流。 学科网（北京）股份有限公司 $