27.3　实际问题与反比例函数 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“实际问题与反比例函数”，从生活实例（如长方形草坪面积、苹果分配）和物理情境（压强、电流电阻）导入，梳理反比例函数关系，通过新知要点与对点小练搭建基础，衔接反比例函数概念与性质，形成从抽象到应用的学习支架。 特色在于跨学科融合与分层设计，结合生活、物理实例（如电磁波波长与频率），通过典例研析与技法点拨培养抽象能力、模型观念，素养提升环节链接生活问题，助力学生用数学眼光观察、用数学思维解决实际问题，提升应用意识。

27.3　实际问题与反比例函数 【课时目标】 1.能通过探究实际问题中不同量之间的关系,抽象得出反比例函数关系式,进而运用反比例函数的知识解决简单的实际问题.(抽象能力、应用意识、运算能力) 2.能通过建构反比例函数模型解决杠杆和电学等物理问题,体验反比例函数在跨学科领域的应用.(应用意识、模型观念、运算能力) 基础　主干落实　筑牢根基 　 新知要点 对点小练 1.生活中常见的反比例函数 1.(1)某学校要种植一块面积为200 m2的长方形草坪,要求两边长均不小于10 m,则草坪的一边长y(单位:m)随另一边长x(单位:m)的变化而变化的图象可能是( ) (2)有x个小朋友平均分20个苹果,每人分得的苹果y(个)与x(人)之间的函数是反比例函数,其函数关系式是 ,当人数增多时,每人分得的苹果就会 . 2.物理学中常见的反比例函数 2.(1)如果100 N的压力F作用于物体上,产生的压强p要大于1 000 Pa,则下列关于物体受力面积S(m2)的说法正确的是( ) A.S小于0.1 m2 B.S大于0.1 m2 C.S小于10 m2 D.S大于10 m2 (2)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示.若蓄电池电流为3 A时,电阻为　 　Ω.  重点　典例研析　启思凝智　 重点1　生活中常见的反比例函数(抽象能力、应用意识、运算能力) 【典例1】(教材再开发·P77例4拓展)方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地,行驶路程为480千米,设小汽车的行驶时间为t(单位:小时),行驶速度为v(单位:千米/时). (1)求v关于t的函数解析式; (2)方方上午8点驾驶小汽车从A地出发,且全程速度限定为不超过120千米/时,她能否在当天11点前到达B地?说明理由. 举一反三 某产品的进价为50元,该产品的日销量y(件)是日售价x(元/件)的反比例函数,且当售价为每件100元时,每日可售出40件,为获得日利润1 500元,售价应定 为　 　元/件.  技法点拨 用函数观点解决实际问题的三点注意 1.厘清题目中的常量与变量及其基本数量关系,将实际问题抽象成数学问题,建立数学模型. 2.分清自变量和函数,以便写出正确的函数解析式,结合问题的实际意义,确定自变量的取值范围. 3.熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质,特别是图象,要做到数形结合,这样有利于分析和解决问题. 重点2　物理学中常见的反比例函数(模型观念、应用意识、运算能力) 【典例2】(教材溯源·P81习题27.3T8·2025湖北中考)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示.当电阻R大于9 Ω时,电流I可能是( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.3 A B.4 A C.5 A D.6 A 举一反三 　在物理学中,电磁波(又称电磁辐射)是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动,随着5G技术的发展,依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域.电磁波的波长λ(单位:m)会随着电磁波的频率f(单位:MHz)的变化而变化.如表是某段电磁波在同种介质中,波长λ与频率f的部分对应值: 频率f(MHz) 5 10 15 20 25 30 波长λ(m) 60 30 20 15 12 10 (1)该段电磁波的波长λ与频率f满足怎样的函数关系?并求出波长λ关于频率f的函数解析式; (2)当f=50 MHz时,求此电磁波的波长λ. 技法点拨 应用反比例函数解决物理学问题的六种情况 1.根据杠杆原理,阻力与阻力臂的乘积等于动力与动力臂的乘积,故当阻力与阻力臂一定时,动力与动力臂成反比例函数关系; 2.当压力一定时,压强与受力面积成反比例函数关系; 3.当气体质量一定时,气体的密度与体积成反比例函数关系; 4.在电学中,当电压一定时,电流与电阻成反比例函数关系,功率与电阻成反比例函数关系; 5.温度不变的条件下,封闭空间的气体对器壁的压强与其体积成反比例函数关系; 6.同种介质中,电磁波的波长与其频率成反比例函数关系. 素养　思维提升　入境深探　 【链接生活】某教育专家研究初中生在数学课堂上听课注意力指标数与上课时间的函数关系时,用如下表格和图象来表示这两个变量的变化规律. 上课时间 x/min 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 24 32 40 指标数y b 28.8 33.6 38.4 43.2 48 48 48 48 48 48 40 30 b (1)由表格和图象可知,当0≤x≤10时,y是x的_________函数;当20≤x≤40时,y是x的_________函数;(填“一次”“二次”或“反比例”)  (2)求b的值; (3)科学研究表明,当注意力指标数不低于30时,学生学习解综合题的效果会更好.为了了解一线教育的真实情况,该教育专家到一线听了某老师上的一节解题课,听完后,该专家对这堂课进行了点评:“这堂课刚开始进行了3分钟预热,然后开始剖析数学综合题,上到31分钟时,结束对数学综合题的探究,这段时间,学生注意力较集中,学生学习解综合题的效果很显著.”请你根据图表中给出的信息,解释该教育专家点评的合理性. 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.3　实际问题与反比例函数 【课时目标】 1.能通过探究实际问题中不同量之间的关系,抽象得出反比例函数关系式,进而运用反比例函数的知识解决简单的实际问题.(抽象能力、应用意识、运算能力) 2.能通过建构反比例函数模型解决杠杆和电学等物理问题,体验反比例函数在跨学科领域的应用.(应用意识、模型观念、运算能力) 基础　主干落实　筑牢根基 　 新知要点 对点小练 1.生活中常见的反比例函数 1.(1)某学校要种植一块面积为200 m2的长方形草坪,要求两边长均不小于10 m,则草坪的一边长y(单位:m)随另一边长x(单位:m)的变化而变化的图象可能是(C) (2)有x个小朋友平均分20个苹果,每人分得的苹果y(个)与x(人)之间的函数是反比例函数,其函数关系式是y=,当人数增多时,每人分得的苹果就会减少. 2.物理学中常见的反比例函数 2.(1)如果100 N的压力F作用于物体上,产生的压强p要大于1 000 Pa,则下列关于物体受力面积S(m2)的说法正确的是(A) A.S小于0.1 m2 B.S大于0.1 m2 C.S小于10 m2 D.S大于10 m2 (2)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示.若蓄电池电流为3 A时,电阻为　12　Ω.  重点　典例研析　启思凝智　 重点1　生活中常见的反比例函数(抽象能力、应用意识、运算能力) 【典例1】(教材再开发·P77例4拓展)方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地,行驶路程为480千米,设小汽车的行驶时间为t(单位:小时),行驶速度为v(单位:千米/时). (1)求v关于t的函数解析式; (2)方方上午8点驾驶小汽车从A地出发,且全程速度限定为不超过120千米/时,她能否在当天11点前到达B地?说明理由. 【自主解答】(1)∵vt=480, ∴v关于t的函数解析式为v=; (2)方方不能在当天11点前到达B地.理由如下:8点至11点时间长为3小时,将t=3代入v=,得v=160,160>120,超速了. 故方方不能在当天11点前到达B地. 举一反三 某产品的进价为50元,该产品的日销量y(件)是日售价x(元/件)的反比例函数,且当售价为每件100元时,每日可售出40件,为获得日利润1 500元,售价应定为　80　元/件.  技法点拨 用函数观点解决实际问题的三点注意 1.厘清题目中的常量与变量及其基本数量关系,将实际问题抽象成数学问题,建立数学模型. 2.分清自变量和函数,以便写出正确的函数解析式,结合问题的实际意义,确定自变量的取值范围. 3.熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质,特别是图象,要做到数形结合,这样有利于分析和解决问题. 重点2　物理学中常见的反比例函数(模型观念、应用意识、运算能力) 【典例2】(教材溯源·P81习题27.3T8·2025湖北中考)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示.当电阻R大于9 Ω时,电流I可能是(A) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.3 A B.4 A C.5 A D.6 A 举一反三 　在物理学中,电磁波(又称电磁辐射)是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动,随着5G技术的发展,依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域.电磁波的波长λ(单位:m)会随着电磁波的频率f(单位:MHz)的变化而变化.如表是某段电磁波在同种介质中,波长λ与频率f的部分对应值: 频率f(MHz) 5 10 15 20 25 30 波长λ(m) 60 30 20 15 12 10 (1)该段电磁波的波长λ与频率f满足怎样的函数关系?并求出波长λ关于频率f的函数解析式; 【解析】由题表中数据可知,fλ为定值,波长λ与频率f满足反比例函数关系.设波长λ关于频率f的函数解析式为λ=(k≠0), 把点(10,30)代入式子中得=30, 解得k=300, ∴λ=; (2)当f=50 MHz时,求此电磁波的波长λ. 【解析】当f=50 MHz时,λ==6(m), 答:当f=50 MHz时,电磁波的波长λ为6 m. 技法点拨 应用反比例函数解决物理学问题的六种情况 1.根据杠杆原理,阻力与阻力臂的乘积等于动力与动力臂的乘积,故当阻力与阻力臂一定时,动力与动力臂成反比例函数关系; 2.当压力一定时,压强与受力面积成反比例函数关系; 3.当气体质量一定时,气体的密度与体积成反比例函数关系; 4.在电学中,当电压一定时,电流与电阻成反比例函数关系,功率与电阻成反比例函数关系; 5.温度不变的条件下,封闭空间的气体对器壁的压强与其体积成反比例函数关系; 6.同种介质中,电磁波的波长与其频率成反比例函数关系. 素养　思维提升　入境深探　 【链接生活】某教育专家研究初中生在数学课堂上听课注意力指标数与上课时间的函数关系时,用如下表格和图象来表示这两个变量的变化规律. 上课时间 x/min 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 24 32 40 指标数y b 28.8 33.6 38.4 43.2 48 48 48 48 48 48 40 30 b (1)由表格和图象可知,当0≤x≤10时,y是x的_________函数;当20≤x≤40时,y是x的_________函数;(填“一次”“二次”或“反比例”)  (2)求b的值; (3)科学研究表明,当注意力指标数不低于30时,学生学习解综合题的效果会更好.为了了解一线教育的真实情况,该教育专家到一线听了某老师上的一节解题课,听完后,该专家对这堂课进行了点评:“这堂课刚开始进行了3分钟预热,然后开始剖析数学综合题,上到31分钟时,结束对数学综合题的探究,这段时间,学生注意力较集中,学生学习解综合题的效果很显著.”请你根据图表中给出的信息,解释该教育专家点评的合理性. 【解析】(1)由题意可得,当0≤x≤10时,y是x的一次函数,当20≤x≤40时,y是x的反比例函数. 答案:一次　反比例 (2)当0≤x≤10时,设解析式为y=kx+a(k≠0),则 , ∴, ∴一次函数的解析式为y=2.4x+24, ∴当x=0时,y=24. 当20≤x≤40时,y是x的反比例函数, ∴设反比例函数解析式为y=(f≠0), 由题意可得=30, ∴f=960, ∴反比例函数的解析式为y=, 当x=40时,y==24; 综上所述,b=24. (3)当0≤x≤10时,一次函数解析式为y=2.4x+24, 当y≥30时,2.4x+24≥30, 解得x≥2.5, ∵这堂课刚开始进行了3分钟预热, ∴符合学生听课注意力指标数与上课时间的函数关系,合理; 当20≤x≤40时,反比例函数解析式为y=, 当y≥30时,≥30, 解得x≤32, ∵上到31分钟时,结束对数学综合题的探究, ∴这段时间,学生注意力较集中,学生学习解综合题的效果很显著; 综上所述,该教育专家点评的合理. 学科网（北京）股份有限公司 $