13.3.2 三角形的外角&专题2 与三角形的双角平分线有关的常见解题模型（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

参考答案 第十三章三角形 13.1三角形的概念 1.B2.(1)5△ABE,△BEC,△ABC,△DCE,△BCD(2)∠D,∠DBC,∠DCB (3)BC∠ACB3.B 4.解：图中的锐角三角形有△ABC,△ABE;直角三角形有△ABD,△AED,△ACD:钝 角三角形有△ACE. 5.C6.等边三角形47.9 8.解：(1)△ABC(2)以BC为公共边的“共边三角形”有3对，它们分别是△ABC和 △BCD,△BCD和△BCE,△ABC和△BCE. 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 1.B 2.B 3.1<x<7 4.CE+CD>DE 5.解：(1)根据三角形的三边关系，得7一2<c<7+2,解得5<c<9.∴.c的取值范围是 5<c<9.(2)由(1)可得5<c<9.,c的长为奇数，c=7..c=a.△ABC为等腰三 角形. 6.解：有两种选法.理由如下：当选2,7,8三根木条时，2十7一9>8，能构成三角形；当选 2,7,10三根木条时，2十7=9<10，不能构成三角形；当选2,8,10三根木条时，2十8= 10,不能构成三角形；当选7,8,10三根木条时，7+8=15>10，能构成三角形..共有两 种选法 7.A8.A9.1010.D11.D12.1<a<2.5 13.解：，△ABC的三边长分别为a,b,c,∴.b十c>a,a十c>b.∴.原式=|a-(b十c)一 |b-(a十c)|=(b+c)-a-[(a+c)-b]=b+c-a-a-c+b=2b-2a. 14.解：设腰长为xcm.分两种情况讨论：①当底边长大于腰长时，底边长为(x十6)cm, 由题意，得2x十(x十6)=18，解得x=4.x+6=10.:4十4<10，.不能围成腰长为 4cm的等腰三角形.②当底边长小于腰长时，底边长为(x一6)cm.由题意，得2x十(x一 6)=18,解得x=8.x一6=2.，2十8>8，.能围成腰长为8cm的等腰三角形.综上 所述，三角形各边的长分别为8cm,8cm,2cm. 15.解：甲猴先到达C地.理由如下：延长BD,交AC于点H.甲猴沿B→D→C的线路 走的距离为BD十DC,乙猴沿B→A→C的线路走的距离为AB十AC.,'AB十AH> BD+DH,CH>DC-DH,.AB+AH+CH>BD+DH+DC-DH,AB+AC> BD十DC.,两只猴子同时以相同的速度行走，∴.甲猴先到达C地. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 1.C2.83.234.319 5.解：DE∥AC.理由如下：CD是△ABC的角平分线，.∠ACD=∠1.，∠1=∠2， ∴∠ACD=∠2.∴.DE∥AC 6.B7.B 8.解：1DSac=号BC·AD=合×10×4=20.(2)如图.由 B D ()知Sa=20.:SaC=合AC·BE,号×8BE=20, ..BE=5. C 9.B10.C11.45°12.(1)高(2)角平分线(3)中线13.6或4 14.解：AD是△ABC的中线，SaAm=SD,即号DE·AB=?DF·AC.:AB= 3,AC=4,DF=1.5,DE=DF:AC=1.5×4=2. AB 3 一1 教材拓展角与三角形中线有关的面积问题【一图多变】 1.号【延伸问3【变式题12.5【变式题21(1)(2)4 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角和 1.D2.D3.20° 2 4.解：“∠A:∠B:∠C=2:3:5,∠A=180°×2+3+5=36，∠B=180× 2+3+5=54”,∠C=180×2+3十5=90、∴这个三角形是直角三角形. 3 5 5.解：在△ADC中，∠ADC=180°-∠A-∠ACD=84°，∴.∠BDC=180°-∠ADC= 96°.在△BDF中，∠BFD=180°-∠BDC-∠ABE=64°. 6.C7.65°8.80°或40°9.A10.40°11.65 12.解：(1)由题意，得∠BAE=40°，∠CAE=15°，∴.∠BAC=∠BAE+∠CAE=55°. (2)由题意，得∠DBC=70°.，DB∥AE,.∠DBA=∠BAE=40°.∠ABC=∠DBC -∠DBA=30°.∴.∠C=180°-∠ABC-∠BAC=95°. 13.解：(1)A(2)选择图③.证明如下：·DE∥BC,DF∥AC,∴.∠B=∠EDA,∠A= ∠FDB,∠C=∠DFB=∠EDF.根据平角的定义，得∠FDB+∠EDA十∠EDF= 180°，∠A十∠B+∠C=180°，即三角形的内角和是180°.选择图④.证明如下：：CD∥ AB,'.∠ACD=∠A,∠B+∠BCD=180°..'∠BCD=∠ACB+∠ACD,.∠B+∠ACB 十∠ACD=180°..∠A十∠B+∠ACB=180°，即三角形的内角和是180°. 第2课时直角三角形的两锐角互余 1.C2.D3.C 4.解：△ABC是直角三角形.理由如下：，ED⊥AB,.∠ADE=90°..∠1十∠A= 90°.∠1=∠B,∴∠B十∠A=90°.∴.△ABC是直角三角形. 5.C6.58°7.120° 8.解：(1)15°(2)△ABD是“准互余三角形”.理由如下：∠C=90°，∠BAC+∠B =90°.：AD是∠BAC的平分线，∴.∠BAC=2∠BAD..2∠BAD+∠B=90°. ∴.△ABD是“准互余三角形”. 专题一三角形的角平分线与高的夹角问题【一图多变·一题一课】 母题：解：：∠B=30°，∠ACB=110°，∠BAC=180°-∠B-∠ACB=40°.AE平分 ∠BAC,∠BAE=号∠BAC=20,:AD是BC边上的商，∠D=90.∠BAD= 90°-∠B=60°.∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=40°. 【变式题1】解：(1)：∠B=36°，∠C=70°，∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=74°.，AD平 分∠BAC,∴∠CAD=2∠BAC=37.AELBC,∠AEC=90,∴∠CAE=90°-∠C =20.∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=17.(2):AD平分∠BAC,·∠CAD=合∠BAC =2(180°-∠C-∠B.:AELBC,∴∠AEC=90.·∠CAE=90-∠C.·∠DAE= ∠CAD-∠CAE=2180°-∠C-∠B)-(90°-∠C=2(∠C-∠B)=10. 【变式题2】解：猎想：∠DEF=之（∠C-∠B).证明如下：过点A作AGLBC于点G. :EFLBC,∴AG/ER.∠DAG=∠DER.易得∠DAG=(ZC-∠B,∠DEF =2(ZC-∠B. 【拓展应用11)∠P=号（∠C-∠B)(2)32°(3）22 —2 13.3.2三角形的外角 1.D2.C3.D4.D5.A6.C7.C 8.解：根据三角形的外角的性质，得x十70=x十x十10，解得x=60.∴x+70=130. .y=180-130=50. 9.解：DF⊥AB,∠BFD=∠AFE=90°.∠B=90°-∠D=35°.∴∠ACD=∠B +∠A=35°+30°=65°，∠FEC=∠A+∠AFE=30°+90°=120° 10.C11.C12.235 13.(I)证明：AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD.∠EAD=∠EDA,∠CAD+ ∠EAC=∠BAD+∠B.∴∠EAC=∠B.(2)解：设∠CAD=a,则∠E=4a.'AD平分 ∠BAC,∴∠BAC=2∠CAD=2a.∠BAE+∠B+∠E=180°，∠EAC=∠B=60°， .2a十60°+60°+4a=180°，解得a=10°.∴.∠E=40°. 14.解：(1)C(2)∠1+∠2=∠A+180°.理由如下：，∠1=∠A+∠AEF,∠2=∠A +∠AFE,∴.∠1+∠2=∠A+∠AEF+∠A+∠AFE.:∠A+∠AEF+∠AFE= 180°，∴.∠1+∠2=∠A+180°.(3)∠1+∠2是定值210°.理由如下：延长BA,CD交于 点M.∴.∠M=180°-（∠B+∠C)=30°.由(2）可得∠1+∠2=∠M+180°..∠1+ ∠2=30°+180°=210°. 专题二与三角形的双角平分线有关的常见解题模型【回归教材】 1.(1)解：120°(2)解：115°(3)证明：BF平分∠ABC,CE平分∠ACB,∠CBG= 合∠ABC,∠BCG=合∠ACB.∠BGC=180-(∠CBG+∠BCG)=180- (∠ABC+∠ACB.:∠ABC+∠ACB=180-∠A,∠BGC=180°-合(180°- ∠0=90+2∠A 2.解：(1)∠ACB=70°，.∠ACD=180°-∠ACB=110°.：B0平分∠ABC,CO平分 ∠ACD,∠CB0=号∠ABC=30,∠DC0=号∠ACD=5.∠0=∠D00 ∠CB0=25.(2)∠0=号∠A.理由如下：：B0平分∠ABC,C0平分∠ACD, .∠DCO= 2∠ACD,∠CB0=2∠ABc.∴∠0=∠DC0-∠CB0=(∠ACD ∠ABC)-LA. 3.65°4.30°60° 专题三利用“8字型”“飞镖型”转化求角度【教材延伸】 1.140°2.210° 3.(解法一)解：设AB,CD交于点O.∠ABC=64°，∠BCD=46°，.∠COB=180°- ∠ABC-∠BCD=70°..∠AOD=∠COB=70°.易得∠AED=∠A+∠D+∠AOD= 110°. (解法二)解：连接AD.由题意，易得∠DAB+∠ADC=∠ABC十∠BCD=110°. ,∠BAE=28°，∠CDE=12°，.∠DAE+∠ADE=(∠DAB+∠ADC)-∠BAE- ∠CDE=70°.∴.∠AED=180°-（∠DAE+∠ADE)=110°. 4.(1)180°(2)360°【变式题】240 数学活动搭等边三角形与多边形的三角剖分【落实课标】 活动1动手操作1：解：如图所示. (动手操作1图) (延伸问图) (动手操作2图) (变式题图) —313.3.2 口基础过关 >◆逐点击破 知识点1三角形外角的定义 1.下列各图中，∠1是△ABC的外角的是( B 2.如图，下列是△ACD的外角的是 A.∠EAD B.∠BAC C.∠ACB D.∠CAE 知识点2三角形外角的性质 3.如图，△ABC的外角∠DAC=95°，∠B= 55°，则∠C的度数为 A.55° B.50° C.45° D.40° D O602 (第3题图) (第4题图) 4.(南充中考)如图，把含有60°角的直角三角 尺的斜边放在直线l上，则∠α的度数是 A.120° B.130°C.140° D.150° 5.(烟台中考)一款儿童小推车的示意图如图 所示.若AB∥CD,∠1=30°，∠2=70°，则 ∠3的度数为 A.40° B.35° C.30° D.20° 37 B 2 (第5题图) (第6题图) 6.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，CD 平分∠ACB,则∠ADC的度数为() A.80 B.90° C.100°D.110° 10数学八年级上册配RJ版 角形的外角 7.下列图形中，∠1一定大于∠2的是( 8.如图，求x和y的值. Bx+10)° (x+70) 9.如图，已知D为△ABC的边BC延长线上一 点，DF⊥AB于点F,且交AC于点E.若 ∠A=30°，∠D=55°，求∠ACD和∠FEC的 度数. T能力提升 ·>·整合运用 10.如图，P为△ABC内任意一点，延长CP交 AB于点D,连接BP,则下列结论错误的是 A.∠1>∠3 B.∠1>∠A C.∠2>∠A D.∠3>∠A 11.学科融合新趋势如图，一束平行于主光轴 (图中的虚线)的光线经凸透镜折射后，其 折射光线与一束经过光心O的光线相交于 点P,F为焦点.若∠1=150°，∠2=25°，则 ∠3的度数为 () A.75° B.65 C.55° D.459 B D (第11题图) (第12题图) 12.整体思想新理念（教材P15例4变式）如 图，∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的 三个外角.若∠ACD=125°，则∠BAE十 ∠CBF的度数为 13.如图，AD平分∠BAC,∠EAD=∠EDA. (1)求证：∠EAC=∠B; (2)若∠B=60°，∠CAD:∠E=1:4,求 ∠E的度数. 口思维拓展 ◆◆·强化素养 14.类比探究新趋势(1)如图①，已知△ABC为 直角三角形，∠A=90°.若沿图中虚线剪 去∠A,则∠1+∠2的度数为( A.90° B.135° C.270 D.315° (2)如图②，在△ABC中，剪去∠A后得到 四边形BCEF,试探究∠1十∠2与∠A 的关系，并说明理由 (3)如图③，在四边形ABCD中，∠B=70°， ∠C=80°，点E,F分别是边AB,CD上 任一点，作直线EF.试探究∠1十∠2是 否为定值，并说明理由. 图① 图② 图③ 第十三章三角形11 专题二与三角形的双角平分线 类型1两内角平分线的夹角 基本模型提炼：如图，在△ABC中， BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB, 则∠B0C=90+2∠A 1.（教材P17习题T9变式)如图，在△ABC 中，∠ABC和∠ACB的平分线BF,CE相交 于点G. (1)若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BGC 的度数为 (2)若∠A=50°，则∠BGC的度数为 (3)求证：∠BGC=90+7∠A. 类型2一内角平分线与一外角平分线的夹角 基本模型提炼：如图，BD,CD分别 是△ABC的内角∠ABC和外角 ∠ACE的平分钱，则∠D=2∠A. B 2.如图，在△ABC中，∠ABC与外角∠ACD 的平分线相交于点O. (1)若∠ABC=60°，∠ACB=70°，求∠O的 度数； 12数学八年级上册配RJ版 有关的常见解题模型【回归教材】 (2)请探究∠A和∠O之间的数量关系，并 说明理由. 类型3两外角平分线的夹角 基本模型提炼：如图，BD,CD分别 是△ABC的外角∠EBC和∠BCF D 的平分线，则∠BDC=90°-日∠A. 3.如图，在△ABC中，∠A=50°，△ABC两外 角的平分线相交于点D,则∠D的度数 为 (第3题图) (第4题图) 4.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线 交于点O,D是外角与内角平分线的交点，E 是外角平分线的交点.若∠BOC=120°，则 ∠D的度数为，∠E的度数为·