1.4.1 用空间向量研究直线，平面间的位置关系讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦用空间向量研究直线、平面位置关系，系统梳理直线方向向量、平面法向量概念，以及线线、线面、面面平行与垂直的向量表示，搭建从空间向量基础到几何位置关系判定的学习支架，为后续空间角与距离计算奠定基础。 资料以题型为纲，涵盖方向向量与法向量求解、平行垂直判定、存在性问题及轨迹长度计算等7类题型，结合四棱锥、正方体等实例，引导学生用数学眼光抽象空间形式，用数学思维推理向量关系，用数学语言表达几何规律。课中助力教师分层教学，课后通过例题解析与巩固练习帮助学生查漏补缺，强化向量工具的应用能力。

1.4.1 用空间向量研究直线，平面间的位置关系 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．直线的方向向量 如图，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得．我们把与向量平行的非零向量称为直线的__方向向量______． 2．平面的法向量 如果是空间中的一个平面，是空间中的一个_非零向量_______，且表示的有向线段所在的直线与平面__垂直______，则称为平面的一个法向量，此时也称与平面垂直，记作． 3．空间中直线、平面的平行 位置关系 向量表示 图形表示 线线平行 设，分别是不重合的直线，的方向向量，则___________，使得_____ 线面平行 设是直线的方向向量，是平面的法向量，，则________________ 面面平行 设，分别是不重合的平面，的法向量，则____ _____，使得_______ 4．空间中直线、平面的垂直 位置关系 向量表示 图形表示 线线 垂直 设直线，的方向向量分别为，，则________________ 线面垂直 设直线的方向向量为，平面的法向量为，则__ _________ ，使得_____ 面面垂直 设平面，的法向量分别为，，则________________ 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 求直线的方向向量与平面的法向量 基础知识 核心知识 直线的方向向量平行于直线的非零向量一条直线有无穷多个方向向量彼此互相平行 平面的法向量垂直于平面的非零向量一个平面有无穷多个法向量彼此互相平行 若平面内两个不共线向量设法向量 满足解方程组取一组非零解即为平面法向量 方法技巧 求直线方向向量取直线上两点终点坐标减起点坐标 求平面法向量先找平面内两个不共线向量联立数量积为0的方程组 方程组有无穷多解可令其中一个未知数取简单非零值快速求出一组法向量 检验结果求出的法向量要和平面内两个向量数量积都为0 法向量不唯一计算时优先选取分量为整数的向量简化运算 典型例题 【例题 1】（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【例题2】（25-26高二上·广东广州·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·云南昆明·期末）在平行六面体中，所有棱长都为2，且，为线段的中点，设，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知向量，则平面的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高二上·四川成都·阶段检测）在长方体中，．以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量为_____（用向量的坐标表示）． 【题型2】 线面平行与面面平行的向量表示 基础知识 核心知识 设直线的方向向量为平面的法向量为 且直线 设平面法向量平面法向量 即两平面法向量互相平行 方法技巧 线面平行判定方向向量与平面法向量数量积为0必须补充直线不在平面内的条件 面面平行判定证明两个平面的法向量成比例 区分向量平行和立体几何中的面面平行两法向量平行才代表平面平行 证明题优先建坐标系求出对应向量再利用向量关系推导位置关系 典型例题 【例题1】（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 【例题2】（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线 平面． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·黑龙江·开学考试）已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一下·黑龙江·期末）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高二上·四川攀枝花·期末）已知平面的法向量分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型3】 线面垂直与面面垂直的向量表示 基础知识 核心知识 设直线方向向量平面法向量 直线方向向量与平面法向量互相平行 平面法向量平面法向量 两平面法向量数量积为0 方法技巧 线面垂直证明直线方向向量与平面法向量共线 面面垂直证明两个平面法向量数量积等于0 注意线面垂直结论直线垂直平面等价于直线垂直平面内任意两条相交直线 向量推导完成后书写证明步骤要交代平面内相交直线这个前提条件 典型例题 【例题1】（2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 【例题2】（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在直角梯形中，，，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使平面平面，M为线段BC的中点，P为线段上的动点. (1)求证：； (2)是否存在点P，使得直线平面？请说明理由. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·四川内江·阶段检测）如图，在正方体中，其棱长为2；    (1)求三棱锥外接球的体积； (2)M，N分别是的中点，过BD的平面平面，求平面截正方体所得截面的面积； (3)若是线段上的一点，若平面，试判断点在线段上的位置，并说明理由 【巩固练习2】（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【巩固练习3】如图，在直三棱柱中，，四边形，均为正方形，点是线段的中点.在线段（不含端点）上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.    【题型4】 线面平行与面面平行的存在性 基础知识 核心知识 存在性问题一般含有参数点点在某条线段上可设参数写出点坐标与向量 利用线面平行面面平行的向量等价条件列方程求解参数 求出参数后验证参数取值是否在线段范围之内 方法技巧 设动点参数常用设参数 写出方向向量与平面法向量套用平行条件列方程 求解得到参数后检验范围保证点在线段上 若无解说明不存在满足条件的点 典型例题 【例题1】（25-26高三·全国·一轮复习）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则等于（   ） A．2 B． C． D． 【例题2】（25-26高二下·海南儋州·开学考试）若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】在长方体中，，，，，．求证：面； 【巩固练习2】如图，已知四棱锥的底面是矩形，底面，，，是侧棱的中点．求证：平面； 【巩固练习3】（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明： ； (2)证明：平面. 【题型5】 线面垂直与面面垂直的存在性 基础知识 核心知识 设动点含参数写出相关向量与平面法向量 线面垂直等价于方向向量与平面法向量平行 面面垂直等价于两平面法向量数量积为0 根据向量关系建立方程求解参数 方法技巧 设参数表示动点坐标写出对应平面的法向量 利用垂直向量条件建立方程求解参数 检验参数取值范围判断点是否在线段上 存在性问题作答规范有解则存在无解则不存在 典型例题 【例题1】（25-26高二下·湖南郴州·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面为的中点. (1)证明：平面． (2)设点在线段上运动，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【例题2】（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且 (1)求证： (2)当的值为多少时，平面？请给出证明. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三下·河南·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，过点，的平面与交于点，则当时，______. 【巩固练习2】（25-26高二上·北京丰台·期末）如图，正方体中、是线段上的动点，则下列结论中不正确的是（   ）    A．存在点，使得平面 B．对于任意点， C．存在点，使得平面 D．对于任意点，都是锐角三角形 【巩固练习3】（25-26高二上·四川绵阳·期中）（多选）在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，点P的轨迹为线段 B．当时，有且仅有一个点P使得 C．当时，三棱锥的体积为定值 D．当时，有且仅有一个点P使得平面 【题型6】 由线面平行与面面平行求轨迹长度 基础知识 核心知识 满足线面平行或面面平行条件的动点会形成轨迹 空间中点的轨迹一般为线段或圆弧 求出动点满足的几何约束确定轨迹形状再计算长度 向量条件转化为几何约束锁定动点所在的直线或曲线 方法技巧 根据平行向量条件推导动点坐标满足的等式 确定动点的运动边界找到轨迹起点和终点 判断轨迹是线段时直接用两点间距离求长度 轨迹为圆弧时确定圆心半径和圆心角计算弧长 注意动点的限制范围不要把轨迹扩大到限定区域外 典型例题 【例题1】（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）已知正方体的棱长为1，正方形内部有一片区域，是的中点，是的中点，若对于区域内的任意一点，总存在线段上一点，使得平面，则区域的面积最大值是_____.    【例题2】（2025·甘肃金昌·模拟预测）在正方体中，已知，为棱的中点，为棱上一点，平面，则三棱锥外接球的表面积为______. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，正方体的棱长为2，E、F分别是棱BC、的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面AEF，则线段长度的最小值是______． 【巩固练习2】如图，在长方体中，，.，M，N分别是棱，，的中点.若点P是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为__________.    【巩固练习3】（25-26高二上·四川内江·阶段检测）在棱长为的正方体中，E，F分别是棱的中点，点在上底面内运动，若，则点P的轨迹的长度为（ ） A． B．2 C． D．3 【题型7】 由线面垂直与面面垂直求轨迹长度 基础知识 核心知识 利用线面垂直面面垂直的向量约束得到动点满足的方程 结合几何体边界确定动点轨迹图形 根据轨迹图形类型选用对应长度计算公式 方法技巧 把垂直条件转化为向量数量积等式化简得到动点约束方程 结合几何体的棱面限制确定轨迹的起止端点 判断轨迹是线段还是圆弧代入公式计算长度 求出结果后验证端点是否满足垂直条件 典型例题 【例题1】为单位正方体的中心为的中点，点在正方体的表面上运动，则总能使的点的轨迹的长度是______. 【例题2】（25-26高二上·河北保定·期中）在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为___________. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·云南丽江·阶段检测）如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点在底面上（包括边界）移动，且满足，则点在底面上运动形成的轨迹长度为__________. 【巩固练习2】（25-26高二上·湖北十堰·期末）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在底面上（含边界）移动，且满足，则线段长度的最大值等于（    ）    A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）正四棱锥底面边长与侧棱长均为2，为空间任一点，且满足，则线段长度的取值范围为（） A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·广东清远·期中）已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北保定·一模）在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知点若平面的一个法向量为则（    ） A． B． C．3 D． 4．（25-26高二上·重庆·期末）已知正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴和轴，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，若平面，侧棱上存在一点，使得平面，则的值（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·重庆·阶段检测）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，满足，上有一点，上有一点，有，，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·广东深圳·模拟预测）已知正方体，点E，F，G分别是线段，和上的动点，正确的是（     ） A．对于任意给定的点，存在点，使得 B．对于任意给定的点，存在点，使得 C．对于任意给定的点G，存在点F，使得 D．对于任意给定的点F，存在点G，使得 二、多选题 8．（26-27高二上·黑龙江·开学考试）如图，在正三棱柱中，，空间一点满足，，，则（    ） A．若，则点在线段上 B．若，则点在线段上 C．若，则不存在点，使得 D．若，则存在点，使得 9．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知向量，，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．是平面的一个法向量 D． 10．（25-26高二上·山东青岛·期中）在正方体中， ， ，， 分别是，， ，的中点，则（   ） A．平面 B． ， ，， 四点共面 C．在线段上存在一点，使得平面 D．在线段上存在一点，使得在上的投影向量为 11．（25-26高二上·福建福州·期中）已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知正方体的棱长为1，点满足，，，是棱的中点．以下说法正确的有（     ） A． B．若平面，则 C．若，则的最大值是 D．若当为定值（）时，点的轨迹长度为，则 13．（2026·四川·模拟预测）在长方体中，，，为棱的中点，为侧面内的动点（包含边界），则下列说法正确的是（    ） A．存在点使得 B．若，则点的轨迹长度为 C．若 平面，四棱锥的顶点都在球上，则球的体积的最大值为 D．若，则的面积的最小值为 三、填空题 14．（25-26高二下·江苏盐城·期中）在棱长为1的正方体中，点、分别是棱、的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若平面，则的最小值是_______. 15．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的取值范围为__________. 四、解答题 16．（2026·江苏南通·一模）如图，在四面体中，平面，．是的中点，是的中点，点在线段上． (1)求证：平面平面； (2)若平面，求． 17．（2026·江苏南京·三模）如图，在四棱锥中，，，15，25. (1)求证：面； (2)求证：二面角是直二面角； (3)在平面上求点，使面. 18．（2026·湖北襄阳·模拟预测）在中，，，点D，E分别在边 ，上，且，（），将 沿折起，点落在点的位置，连接，，得到如图所示的四棱锥，点 在线段上，且． (1)若平面，求． (2)当四棱锥体积最大时，线段上是否存在点Q使得C，D，Q，F四点共面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． $1.4.1 用空间向量研究直线，平面间的位置关系 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．直线的方向向量 如图，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得．我们把与向量平行的非零向量称为直线的__方向向量______． 2．平面的法向量 如果是空间中的一个平面，是空间中的一个_非零向量_______，且表示的有向线段所在的直线与平面__垂直______，则称为平面的一个法向量，此时也称与平面垂直，记作． 3．空间中直线、平面的平行 位置关系 向量表示 图形表示 线线平行 设，分别是不重合的直线，的方向向量，则___________，使得_____ 线面平行 设是直线的方向向量，是平面的法向量，，则________________ 面面平行 设，分别是不重合的平面，的法向量，则____ _____，使得_______ 4．空间中直线、平面的垂直 位置关系 向量表示 图形表示 线线 垂直 设直线，的方向向量分别为，，则________________ 线面垂直 设直线的方向向量为，平面的法向量为，则__ _________ ，使得_____ 面面垂直 设平面，的法向量分别为，，则________________ 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 求直线的方向向量与平面的法向量 基础知识 核心知识 直线的方向向量平行于直线的非零向量一条直线有无穷多个方向向量彼此互相平行 平面的法向量垂直于平面的非零向量一个平面有无穷多个法向量彼此互相平行 若平面内两个不共线向量设法向量 满足解方程组取一组非零解即为平面法向量 方法技巧 求直线方向向量取直线上两点终点坐标减起点坐标 求平面法向量先找平面内两个不共线向量联立数量积为0的方程组 方程组有无穷多解可令其中一个未知数取简单非零值快速求出一组法向量 检验结果求出的法向量要和平面内两个向量数量积都为0 法向量不唯一计算时优先选取分量为整数的向量简化运算 典型例题 【例题 1】（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【答案】(1) (2)方向向量，法向量为 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为； （2）直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为， 由，得，令，则. 所以平面的一个法向量为. 【例题2】（25-26高二上·广东广州·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何图形和向量基本定理以及方向向量的定义进行求解即可. 【详解】根据题意可得，. 所以直线的一个方向向量为. 故选：D. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·云南昆明·期末）在平行六面体中，所有棱长都为2，且，为线段的中点，设，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用题设条件和法向量定义计算求出即可得解. 【详解】由题可得， ， 且 设平面的一个法向量，则， 所以， 所以， 所以，取，则. 故选：A 【巩固练习2】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知向量，则平面的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设平面的法向量为，然后根据进行求解即可. 【详解】设平面的法向量为，由可得：， 令得：，解得：，. 由此可得：平面的一个法向量为. 又B，C，D三个选项的向量均不共线. 故选：A 【巩固练习3】（25-26高二上·四川成都·阶段检测）在长方体中，．以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量为_____（用向量的坐标表示）． 【答案】 【分析】求得点的坐标，进而根据设平面的法向量为，根据，可求法向量的一个坐标. 【详解】以为空间的一个单位正交基底，空间直角坐标系如图所示： 又因为， 则， 则， 设平面的法向量为， ， 令，则， 所以平面的一个法向量为. 故答案为：（不唯一）. 【题型2】 线面平行与面面平行的向量表示 基础知识 核心知识 设直线的方向向量为平面的法向量为 且直线 设平面法向量平面法向量 即两平面法向量互相平行 方法技巧 线面平行判定方向向量与平面法向量数量积为0必须补充直线不在平面内的条件 面面平行判定证明两个平面的法向量成比例 区分向量平行和立体几何中的面面平行两法向量平行才代表平面平行 证明题优先建坐标系求出对应向量再利用向量关系推导位置关系 典型例题 【例题1】（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 【答案】证明:因为平面，平面， 所以，又， 故可以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，因为， 所以， 又因为是的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则有，取，则， 所以，所以， 所以直线平面. 【分析】建立适当空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，求出向量和平面的一个法向量，利用即可证明； 【详解】略. 【例题2】（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线 平面． 【答案】(1)；； (2)（答案不唯一） (3) 由（1）可知，，所以， 由（2）可知，平面的法向量为， 所以，所以，因为平面， 所以直线 平面. 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，写出坐标即可. （2）根据法向量与平面垂直进行求解即可. （3）根据平面法向量与直线的方向向量的关系进行证明即可. 【详解】（1）根据题意，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 且正方体的棱长为，所以，，. （2）因为，，， 所以，，设平面的法向量为， 所以，得， 令，所以，所以平面的一个法向量为. （3）略 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·黑龙江·开学考试）已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量共线列方程，然后解方程即可. 【详解】因为，所以，解得，， 所以. 【巩固练习2】（25-26高一下·黑龙江·期末）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面与直线平行得出平面法向量与直线的方向向量互相垂直，建立方程求解参数即可. 【详解】根据题意可得，所以，即. 【巩固练习3】（25-26高二上·四川攀枝花·期末）已知平面的法向量分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量平行的坐标公式求解. 【详解】，平面的法向量分别为，， ，， ，， ，，，. 故选：B. 【题型3】 线面垂直与面面垂直的向量表示 基础知识 核心知识 设直线方向向量平面法向量 直线方向向量与平面法向量互相平行 平面法向量平面法向量 两平面法向量数量积为0 方法技巧 线面垂直证明直线方向向量与平面法向量共线 面面垂直证明两个平面法向量数量积等于0 注意线面垂直结论直线垂直平面等价于直线垂直平面内任意两条相交直线 向量推导完成后书写证明步骤要交代平面内相交直线这个前提条件 典型例题 【例题1】（2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在. 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量平行即可证明面面平行； （2），当垂直与平面的法向量时 平面，求的值即可. 【详解】（1）因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为 ，所以平面 平面. （2）设线段上存在点使得平面， 由（1）得，，平面的法向量， 所以， 由解得， 即为线段中点时， 平面. 【例题2】（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在直角梯形中，，，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使平面平面，M为线段BC的中点，P为线段上的动点. (1)求证：； (2)是否存在点P，使得直线平面？请说明理由. 【答案】(1) 在直角梯形中，，即， 由直角梯形绕直线旋转得到直角梯形，得， 则是平面与平面所成二面角的平面角， 而平面平面，即平面与平面所成二面角是直角， 因此，所以. (2)存在 由（1）知，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， AI则，， 假设在线段上存在点P，使得直线平面，设， 则，，设平面的法向量， 于是，取，得，而， 由直线平面，得，则，解得， 所以在线段上存在点P，使得直线平面，点为线段上靠近的三等分点. 【分析】（1）根据给定条件，利用直二面角的定义推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明列式求解. 【详解】（1）略 （2）略 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·四川内江·阶段检测）如图，在正方体中，其棱长为2；    (1)求三棱锥外接球的体积； (2)M，N分别是的中点，过BD的平面平面，求平面截正方体所得截面的面积； (3)若是线段上的一点，若平面，试判断点在线段上的位置，并说明理由 【答案】(1) (2) (3)点是线段上靠近B的三等分点 【分析】（1）将锥体的外接球问题转化为正方体的外接球问题，求出球的半径，代入球的体积公式即可求解； （2）先作出平面截正方体的截面，再根据截面的形状和性质，求截面的面积即可； （3）建立空间直角坐标系，设得，求出平面的法向量，进而利用求出，即可判断点的位置. 【详解】（1）因为三棱锥的顶点也是正方体的顶点，所以正方体的外接球就是所求的外接球， 设球半径为，由题意，正方体的棱长为2，则，所以三棱锥外接球的体积为. （2）根据题意，取的中点E，的中点F，连接，    则，所以，且， 故在同一平面内， 连接，因为分别为的中点， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面， 同理平面， 因为平面， 所以平面平面， 即平面截该正方体所得截面为梯形； 又由梯形中， ， 即平面截该正方体所得截面为等腰梯形，又， 所以等腰梯形的高为， 所以等腰梯形的面积为， 即平面截正方体所得截面的面积为. （3）如图，建立空间直角坐标系，    则， 因为，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 设，则，所以， 所以， 若平面，则， 化简得，解得，所以， 所以点是线段上靠近B的三等分点时，满足平面. 【巩固练习2】（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 证明：由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 则. 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. (2)存在，为线段的中点 【分析】（1）以为原点建系，求出两个平面的法向量，证明其平行即可； （2）设，利用平面的法向量与垂直即可求出. 【详解】（1）略 （2）设线段上存在点，使得平面， 设， 由（1）得，平面的一个法向量为， 所以， 令，解得， 所以当为线段的中点时，平面. 【巩固练习3】如图，在直三棱柱中，，四边形，均为正方形，点是线段的中点.在线段（不含端点）上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.    【答案】存在，1， 以为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， WSD 不妨设，则， ，，，， ，. 假设在线段上存在点（），使得平面， 则. 设平面的法向量为，则令，得，， 是平面的一个法向量. ，解得，，为线段的中点. 综上可知，在线段上存在点，满足，使得平面. 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，看是否有解，若有解求出点坐标. 【详解】略 【题型4】 线面平行与面面平行的存在性 基础知识 核心知识 存在性问题一般含有参数点点在某条线段上可设参数写出点坐标与向量 利用线面平行面面平行的向量等价条件列方程求解参数 求出参数后验证参数取值是否在线段范围之内 方法技巧 设动点参数常用设参数 写出方向向量与平面法向量套用平行条件列方程 求解得到参数后检验范围保证点在线段上 若无解说明不存在满足条件的点 典型例题 【例题1】（25-26高三·全国·一轮复习）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】， ，解得． 【例题2】（25-26高二下·海南儋州·开学考试）若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两平面垂直，则其法向量垂直，进而其数量积为0，逐一验证即可. 【详解】设平面的法向量为，因为平面平面，所以 ， 因为， ， ， . 所以平面的法向量的坐标可以是. 巩固练习 题型 【巩固练习1】在长方体中，，，，，．求证：面； 【答案】方法一：如图，过点作//，交于点，则有，． 连接，则四点共面，平面即平面． 由，，可得与相似， 所以，则可得，所以． 长方体中，平面， 因为平面，所以． 又，平面，所以平面． 方法二： 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系． 则． 所以． 所以， 所以，即． 又，平面，所以平面． 【分析】方法一:几何法通过作辅助线，结合相似三角形以及长方体的垂直性质，证明垂直于平面内两条相交直线； 方法二:向量法建立空间直角坐标系，利用向量数量积为0得到线线垂直，完成证明。 【详解】略 【巩固练习2】如图，已知四棱锥的底面是矩形，底面，，，是侧棱的中点．求证：平面； 【答案】以A为原点，以所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 已知，，是侧棱的中点， 则：， 故； ，故； ，故； 又，平面， 由线面垂直判定定理可得，平面． 【分析】以A为原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量法可证，，然后由线面垂直判定定理可得平面. 【详解】略. 【巩固练习3】（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明： ； (2)证明：平面. 【答案】(1) 如图，以D为原点，AD所在直线为轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以 . (2) 方法一： 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 由且， 得， 令得， 所以， 可得： ， 所以：平面. 方法二： 由（1）可知：， 有， 所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 【分析】（1）空间向量法求解，求出，得到，从而得到结论； （2）方法一：求出平面DEB的一个法向量，求出 ，从而得到证明；方法二：求出，利用向量垂直的公式及线面垂直的判定定理得解. 【详解】（1）略 （2）略 【题型5】 线面垂直与面面垂直的存在性 基础知识 核心知识 设动点含参数写出相关向量与平面法向量 线面垂直等价于方向向量与平面法向量平行 面面垂直等价于两平面法向量数量积为0 根据向量关系建立方程求解参数 方法技巧 设参数表示动点坐标写出对应平面的法向量 利用垂直向量条件建立方程求解参数 检验参数取值范围判断点是否在线段上 存在性问题作答规范有解则存在无解则不存在 典型例题 【例题1】（25-26高二下·湖南郴州·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面为的中点. (1)证明：平面． (2)设点在线段上运动，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）连接菱形对角线、交于中点，利用三角形中位线得，由线面平行判定定理证平面. （2）以为原点建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再设上的点并表示出平面的法向量，根据面面垂直的法向量点积为零列方程，解得参数后算出的长度为. 【详解】（1）连接，交于点，连接. 因为底面是菱形，所以互相平分，即为的中点. 因为为的中点，所以在中，是中位线，即. 因为平面平面，所以平面. （2）以为坐标原点，的方向分别为$x，z$轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可得，. 设平面的法向量为. 因为， 所以令，则. 设，则. 设平面的法向量为， 则 令，则. 若平面平面， 则，解得. 故存在点，使得平面平面，此时线段的长度为. 【例题2】（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且 (1)求证： (2)当的值为多少时，平面？请给出证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）利用空间向量数量积的运算律证明即可； （2）首先利用线面垂直的性质定理证明，若 平面 ，只需满足 ，然后利用空间向量数量积的运算律即可证明. 【详解】（1）设，，， 因为底面 是菱形， 所以，且， . 由题知 ，且 ，因此 ， 即，故. （2）当时， 平面 ，证明如下： 设 ，，则 ，， ， ， 因为底面是菱形，所以， 又因为，平面，，所以平面， 因为平面，所以 . 若 平面 ，需满足 ， ，，令 ，即 ， 展开整理： ，代入 ，得 ： ， 由于 ，，因此 ，即 . 此时 且 ，，平面 ， 故 平面 . 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三下·河南·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，过点，的平面与交于点，则当时，______. 【答案】 【分析】首先利用坐标法，根据，求点的坐标，再代入两点间距离公式，即可求解. 【详解】如图，以点为原点，为轴的正方向，过点作轴，建立空间直角坐标系， ，，，， 设，，, 因为，所以，得， 此时，，所以 【巩固练习2】（25-26高二上·北京丰台·期末）如图，正方体中、是线段上的动点，则下列结论中不正确的是（   ）    A．存在点，使得平面 B．对于任意点， C．存在点，使得平面 D．对于任意点，都是锐角三角形 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量的位置关系判断说法A；由计算两条直线的方向向量的数量积判断说法B；利用向量数量积验证垂直关系判断说法C；利用向量的模和向量夹角的计算，验证说法D. 【详解】以B为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的坐标系，    设正方体的棱长为， 则。 设，则， 设平面的法向量为，则， 令，则，即， 若，解得， 则时，，又平面，平面， 即为中点时，平面，故A正确. ，， 故对任意的点都有，故B正确. ， 若平面，则有，方程组无解， 所以不存在点，使得平面，故C错误. ， ， 则中，，都是锐角， ，也是锐角， 所以对于任意点，都是锐角三角形，故正确. 故选：C. 【巩固练习3】（25-26高二上·四川绵阳·期中）（多选）在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，点P的轨迹为线段 B．当时，有且仅有一个点P使得 C．当时，三棱锥的体积为定值 D．当时，有且仅有一个点P使得平面 【答案】ACD 【分析】对于A，利用平面向量共线的充要条件推论可判定； 对于B，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数； 对于C，先确定点的运动轨迹，结合定高定底来判定体积是否为定值； 对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数． 【详解】 由平面向量的基本定理易知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，， 所以，此时三点共线， 即线段，故A正确； 对于B，当时，， 取，中点分别为，则，所以点轨迹为线段， 不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，， 则，， ，显然始终不成立，故B错误； 对于C，当时，，取，中点为． 故此时点轨迹为线段，而，所以的面积不变， 又到平面的距离为定值，所以该三棱锥的体积为定值，故C正确． 对于D，当时，同上易知P点轨迹为线段．， 所以，， 若平面，所以， 此时存在且唯一，故D正确． 故选：ACD． 【题型6】 由线面平行与面面平行求轨迹长度 基础知识 核心知识 满足线面平行或面面平行条件的动点会形成轨迹 空间中点的轨迹一般为线段或圆弧 求出动点满足的几何约束确定轨迹形状再计算长度 向量条件转化为几何约束锁定动点所在的直线或曲线 方法技巧 根据平行向量条件推导动点坐标满足的等式 确定动点的运动边界找到轨迹起点和终点 判断轨迹是线段时直接用两点间距离求长度 轨迹为圆弧时确定圆心半径和圆心角计算弧长 注意动点的限制范围不要把轨迹扩大到限定区域外 典型例题 【例题1】（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）已知正方体的棱长为1，正方形内部有一片区域，是的中点，是的中点，若对于区域内的任意一点，总存在线段上一点，使得平面，则区域的面积最大值是_____.    【答案】/ 【分析】首先建立空间直角坐标系并确立关键点坐标，然后根据线面平行推导代数条件，最后根据条件分析边界直线并计算区域的面积最大值. 【详解】以D为顶点，DA、DC、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图，   , 线段EF满足，     设，，， 设平面的法向量为， ，， ，令得，则， 因为平面， 所以，， 因为点Q在线段EF上，所以，，所表示的范围为多边形，其中，面积为，    所以区域的面积最大值是. 故答案为： 【例题2】（2025·甘肃金昌·模拟预测）在正方体中，已知，为棱的中点，为棱上一点，平面，则三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】 【分析】利用向量法确定的位置，结合空间距离可求外接球球心坐标，从而可得外接球半径，故可求其表面积. 【详解】 根据正方体可以所在直线分别轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设，则，， ， 设平面的法向量为，则，取， 因为平面，故，故即，故 设三棱锥外接球的球心坐标为，由得： ，整理得：， 故，故外接球半径为 故三棱锥外接球的表面积为. 故答案为：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，正方体的棱长为2，E、F分别是棱BC、的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面AEF，则线段长度的最小值是______． 【答案】/ 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，其中、，求出平面的一个法向量，，由因为平面，则，可得，利用二次函数的基本性质结合空间向量的模长公式可求得线段长度的最小值. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，，设点，其中、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， ，因为平面，则， 所以，，即， 所以， ， 当且仅当时，的长度取最小值. 故答案为：. 【巩固练习2】如图，在长方体中，，.，M，N分别是棱，，的中点.若点P是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为__________.    【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用平面法向量的性质，结合空间向量数量积的坐标表示公式、配方法进行求解即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，.，M，N分别是棱，，的中点， 所以    ， 因为点P是平面内的动点 所以设， 设平面的法向量为， ，， 所以有， 因为平面， 所以，即 于是， 当时，线段长度有最小值， 故答案为：      【点睛】关键点睛：本题的关键是利用平面法向量的性质、空间向量数量积的坐标表示公式. 【巩固练习3】（25-26高二上·四川内江·阶段检测）在棱长为的正方体中，E，F分别是棱的中点，点在上底面内运动，若，则点P的轨迹的长度为（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设，设平面的法向量为，利用可得，继而即可求解. 【详解】 以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 设， ， ， 设平面的法向量为， 则， 取，则，则， 因为平面， 所以，所以， 所以点P的轨迹长度为. 故选：. 【题型7】 由线面垂直与面面垂直求轨迹长度 基础知识 核心知识 利用线面垂直面面垂直的向量约束得到动点满足的方程 结合几何体边界确定动点轨迹图形 根据轨迹图形类型选用对应长度计算公式 方法技巧 把垂直条件转化为向量数量积等式化简得到动点约束方程 结合几何体的棱面限制确定轨迹的起止端点 判断轨迹是线段还是圆弧代入公式计算长度 求出结果后验证端点是否满足垂直条件 典型例题 【例题1】为单位正方体的中心为的中点，点在正方体的表面上运动，则总能使的点的轨迹的长度是______. 【答案】/ 【分析】建系利用坐标法求动点的轨迹进而可得. 【详解】如图，设单位正方体顶点坐标A为坐标原点，以所在直线为轴所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则 设因为所以 所以即. 面可表示为所以无解 面可表示为所以无解; 面可表示为所以点的轨迹为以为端点的线段，长度； 面可表示为所以点的轨迹为以为端点的线段，长度； 面可表示为所以点的轨迹为以为端点的线段，长度为； 面可表示为所以点的轨迹为以为端点的线段，长度为； 所以点的轨迹总长度： 故答案为：. 【例题2】（25-26高二上·河北保定·期中）在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为___________. 【答案】6 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用得到的关系式，再判断轨迹形状即可求解. 【详解】 以为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 设， 则，， ，， 即，， 当时，，此时为棱的中点； 当 时，，此时为棱的中点， 设棱的中点为，棱的中点为，连接MN，则点的轨迹是线段MN， ，点的轨迹长度为6. 故答案为：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·云南丽江·阶段检测）如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点在底面上（包括边界）移动，且满足，则点在底面上运动形成的轨迹长度为__________. 【答案】 【分析】以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设并利用即可求解. 【详解】由正方体棱长为2，以为坐标原点，分别以为轴建立如下图所示的空间直角坐标系； 设且， 易知，可得， 由可知，即， 即. 当时，，即图中的中点； 当时，，即图中点； 即可得点在底面上运动形成的轨迹为线段，易知. 故答案为： 【巩固练习2】（25-26高二上·湖北十堰·期末）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在底面上（含边界）移动，且满足，则线段长度的最大值等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，由已知条件得出，可得出，求出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求出的最大值，即为所求. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、，设点， ，， 因为，所以，所以， 由可得， ， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且，，故线段长度的最大值为. 故选：A. 【巩固练习3】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）正四棱锥底面边长与侧棱长均为2，为空间任一点，且满足，则线段长度的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，根据，可得点在以为球心，以1为半径的球面上，且，从而可得线段长度的取值范围. 【详解】取底面正方形中心，中点，连接， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 易知， 因为，故，因此， 又易知平面，平面， 故，则， 则，设， 则， 因为，得， 所以点在以为球心，以为半径的球面上， 且， 则， 即线段长度的取值范围为． 故选：A. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·广东清远·期中）已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据法向量定义，把转化为，可得的值. 【详解】设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 又因为，所以， 存在一个非零实数，使得， 即，有，解得. 故选：B 2．（2026·河北保定·一模）在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面经过点，且法向量为，则平面方程为求解即可. 【详解】结合题意，由平面的点法式方程可得，即，故A正确. 3．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知点若平面的一个法向量为则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据法向量与垂直求解即可. 【详解】由点，可得. 因为平面的一个法向量为， 所以，即，解得. 所以，. 故选：B. 4．（25-26高二上·重庆·期末）已知正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴和轴，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设平面的法向量为，结合法向量计算方法计算即可. 【详解】由题意，设正方体的棱长为，则， ， 设平面的法向量为， ， 令，则，故平面的法向量为. 故选：C.    5．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，若平面，侧棱上存在一点，使得平面，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设交于点，连接，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由平面，结合，列出方程，求得的值，进而求得的值. 【详解】连接，设交于点，连接， 因为四棱锥的底面是正方形，且每条侧棱的长都是底面边长的倍， 所以四棱锥为正四棱锥，可得平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示，设底面边长为，则， 可得， 则， 假设在侧棱上存在一点，使得平面， 又因为平面，所以是平面的一个法向量， 设， 则， 由，可得，解得， 即当时，， 又因为平面，所以平面， 故侧棱上存在一点，使得平面，且. 6．（25-26高二上·重庆·阶段检测）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，满足，上有一点，上有一点，有，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，、、分别作为、、轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 由于点在侧棱上，满足，所以，解得，所以， 由于点在上，不妨设，即，解得， 同理，点在上，设，解得， 则， 由于，，则， 化简得，解得， 因此 ，所以，故B正确. 7．（2026·广东深圳·模拟预测）已知正方体，点E，F，G分别是线段，和上的动点，正确的是（     ） A．对于任意给定的点，存在点，使得 B．对于任意给定的点，存在点，使得 C．对于任意给定的点G，存在点F，使得 D．对于任意给定的点F，存在点G，使得 【答案】B 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，不妨设正方体的边长为1，设，，，再利用垂直与平行的空间坐标表示逐项判断即可． 【详解】对于AB，如图，以为原点建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的边长为1，可得，，， 且点分别是线段和上的动点， 得到，，， 而，，则，设，可得， 则，解得，得到， 可得，，， 若，则，解得， 此时任意给定的点，存在点，使得，故A错误，B正确， 对于CD，若，则， ，方程组无解，故与不可能平行，CD错误． 二、多选题 8．（26-27高二上·黑龙江·开学考试）如图，在正三棱柱中，，空间一点满足，，，则（    ） A．若，则点在线段上 B．若，则点在线段上 C．若，则不存在点，使得 D．若，则存在点，使得 【答案】ABD 【分析】对于AB，根据向量的线性运算即可判断；对于C，可确定点P所处的位置，找出特殊点，说明，即可判断，对于D，建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，利用向量的数量积的运算求出相应的参数值，即可判断. 【详解】对于A：由，得点在侧面内（含边界）， 若，则，故点在线段上，故A正确； 对于B：若，则，所以，即， 又，故点在线段上，故B正确； 对于选项：当时，取线段的中点分别为，连接， 因为，即，即，所以， 则点在线段上，当位于D处时，结合为正三角形，知， 即时，存在点，使得，C错误； 取的中点为，取的中点为M，连接， 在正中，易知，在正三棱柱中，易知平面， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图：    设，则，，， 则，，， 由，则，， 当时，即，则， 即，此时， 即时，存在点，使得，D正确. 9．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知向量，，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．是平面的一个法向量 D． 【答案】AC 【分析】依据向量的坐标运算得出，利用向量的求模公式、向量平行的坐标关系、数量积的坐标运算逐一判断. 【详解】由题意得，， ， ， 则，故A正确； 因，故B错误； ，， 则，，故是平面的一个法向量，C正确； ，故D错误. 故选：AC 10．（25-26高二上·山东青岛·期中）在正方体中， ， ，， 分别是，， ，的中点，则（   ） A．平面 B． ， ，， 四点共面 C．在线段上存在一点，使得平面 D．在线段上存在一点，使得在上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，再利用线面平行的判定定理得到线面平行判断A，利用向量的共面定理可判断B，假设在线段上存在点，设，，利用坐标法验证线面垂直判断C，举特例判断D即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，以为原点建立空间直角坐标系，连接，    由题意得所求结论与正方体边长无关，不妨设正方体边长为， 则，，，，， ，，，，，， 对于A，由题意得，， 则，因为平面，平面， 所以平面，故A正确， 对于B，设， 则， 所以，解得， 故，即 ， ，， 四点共面，故B正确； 对于C，假设在线段上存在点，符合题意， 设（），则， 若平面，则，, 因为，， 所以，此方程组无解， 所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误； 对于D，由投影向量公式得在上的投影向量为， 若在上的投影向量为，则， 令，可得，， 由模长公式得， 由空间向量数量积的运算法则可得， 满足，故D正确. 故选：ABD 11．（25-26高二上·福建福州·期中）已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的性质，以及直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系判定. 【详解】对于A：直线的方向向量，说明两条不重合的直线的“方向”相同或相反，因此可以推出； 反之，若，它们的方向向量也必然平行，因此，所以A正确； 对于B：平面的法向量垂直于平面内的所有直线，若，说明直线的方向向量与 平面的法向量垂直，此时平行于平面或在平面内，而非“”，所以B错误； 对于C：平面的法向量，说明两个不重合的平面垂直于平面的方向相同或相反， 因此可以推出；反之，若，它们的法向量也必然平行，因此，所以C正确； 对于D：若，说明直线的方向向量与平面的法向量垂直，此时平行于平面或在平面内， 不能直接推出“”因为可能在平面内，所以D错误. 故选：AC. 12．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知正方体的棱长为1，点满足，，，是棱的中点．以下说法正确的有（     ） A． B．若平面，则 C．若，则的最大值是 D．若当为定值（）时，点的轨迹长度为，则 【答案】BC 【分析】对于A，直接根据向量运算求解判断即可；对于B，建立空间直角坐标系，利用坐标法得即可判断；对于C，结合B选项，利用坐标法得，再根据基本不等式求解即可判断；对于D，分和两种情况讨论求解即可判断. 【详解】因为点满足，，， 所以点在四边形内（含边界）， 对于A选项， ，故错误； 对于B，如图，建立空间直角坐标系，则，， ， ，，，， 因为，所以，即， 因为平面，所以平面， 因为 ， 所以，当平面时，，即，整理得，故正确； 对于C选项，因为，， 所以，当时，有，即，整理得， 所以，根据基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以，若，则的最大值是，C选项正确； 对于D选项，由正方体的性质易知平面， 所以，当为定值（）时，为定值， 当时，，点即为点；当时，，点即为点； 当时，的轨迹为：以为圆心，半径的圆弧，位于正方形区域内（含边界）， 当，即时，的轨迹为在正方形内的完整圆周， 故当点的轨迹长度为时，，解得； 当，即时，的轨迹为在正方形内的弧， 此时的长为，令，则， 则，故弧长， 此时结合图形可知弧的长度从逐渐减小到0，故存在使得弧长. 综上，当为定值（）时，点的轨迹长度为，则或，故D选项错误. 13．（2026·四川·模拟预测）在长方体中，，，为棱的中点，为侧面内的动点（包含边界），则下列说法正确的是（    ） A．存在点使得 B．若，则点的轨迹长度为 C．若 平面，四棱锥的顶点都在球上，则球的体积的最大值为 D．若，则的面积的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据线面垂直的性质得到，求出即可判断A；建立空间直角坐标系，设，根据得到，得到轨迹，进而求得轨迹长度，即可判断B；由线面平行的向量证明可得，，得到点与重合时，其外接球的体积最大，即可判断C；由可得的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在侧面内的部分，再由圆上点到定直线距离的最值问题结合三角形面积公式求得面积的最小值，即可判断D. 【详解】对于A，因为平面，所以. 若，则，即点在以点为圆心，2为半径的圆上，在侧面内存在满足该条件的点， 故存在点使得，故A正确； 对于B：以为原点，分别以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. 易知，，， 因为为侧面内的动点（包含边界），设，，. 所以，. 因为，所以，即， 所以点的轨迹为直线在四边形内的线段. 因为，，所以点的轨迹为的中点到点的线段，所以点的轨迹长度为，故B正确； 对于C，因为，所以，. 设平面的一个法向量为， 所以，所以，令，则，所以. 因为平面，所以，所以. 又因为，所以，解得. 当时，点与重合，满足题意，此时球的半径满足，即，所以球的体积为，故C错误； 对于D，若，由长方体的性质可得，平面. 又平面，所以， 所以，即，解得， 所以点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在侧面内的部分， 所以点到的最小距离为， 所以的面积的最小值为，故D正确. 三、填空题 14．（25-26高二下·江苏盐城·期中）在棱长为1的正方体中，点、分别是棱、的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若平面，则的最小值是_______. 【答案】 【分析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设点，其中，由平面，利用空间向量法可得出，利用空间向量的模长公式结合二次函数的性质可求得线段的最小值. 【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设点，其中， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， ， 因为 平面，则，即， 所以 ， 因为，则当时，取最小值， 即的最小值为. 15．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的取值范围为__________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，根据已知条件求出的坐标，根据平面得出，根据空间向量求模公式代入求最值. 【详解】以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， ，，，， 设，， 由，，得， 由，，， ， ，，， 所以平面， 平面，所以， ，， ，即， ， ， ，， . 四、解答题 16．（2026·江苏南通·一模）如图，在四面体中，平面，．是的中点，是的中点，点在线段上． (1)求证：平面平面； (2)若平面，求． 【答案】(1)因为平面平面 ，所以 ． 因为平面，所以 平面 ． 因为 平面，所以平面平面 ． (2) 【分析】（1）利用线面垂直来证明面面垂直即可； （2）（方法一）利用线面平行来证明线线平行，再通过线段成比例，可求出线段长； （方法二）建立空间直角坐标系，利用空间向量法，通过向量的坐标运算求解即可. 【详解】（1）略 （2）（方法一）如图，连接并延长，与的延长线交于点，连接． 因为平面平面 ， 平面平面，所以． 因为是 的中点，所以是的中点，所以． 过点作，交于点 ，因为是的中点，所以， 因为是的中点，所以，所以． 因为，所以， 因为是的中点，，所以 所以， 则在直角 中，可得，所以． （方法二）以为坐标原点，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系． 因为， 是的中点，是的中点，所以． 设， 所以． 因为平面 的法向量平面 ，所以， 所以，即，所以，所以． 17．（2026·江苏南京·三模）如图，在四棱锥中，，，15，25. (1)求证：面； (2)求证：二面角是直二面角； (3)在平面上求点，使面. 【答案】(1)如图所示： 连接BD，取BD的中点O，连接PO，因为，， 所以的外接圆的圆心为BD的中点，即点O，也为点P在底面ABCD上的射影，则平面ABCD， 因为平面ABCD，所以，又因为，满足所以， 又，所以面； (2)以A为原点，以AB，AD分别为x，y轴，建立空间直角坐标系：则 易得，则，设，则， 因为，所以，解得，则 所以， 设平面PBC的一个法向量为则，即， 令，则，所以， 设平面PCD的一个法向量为则，即， 令，则，所以， 因为，所以，则平面平面PDC，所以二面角是直二面角； (3). 【分析】（1）连接BD，取BD的中点O，连接PO，易得平面ABCD，从而，再由得到，然后利用线面垂直的判定定理证明； （2）以A为原点，以AB，AD分别为x，y轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面PBC和平面PDC，利用向量法求解； （3）根据面，得到，设，由求解. 【详解】（1）如图所示： 连接BD，取BD的中点O，连接PO， 因为，， 所以的外接圆的圆心为BD的中点，即点O， 也为点P在底面ABCD上的射影，则平面ABCD， 因为平面ABCD,所以， 又因为，满足 所以，又， 所以面； （2）以A为原点，以AB，AD分别为x，y轴，建立空间直角坐标系： 则 易得，则， 设，则 ，因为， 所以，解得， 则 所以， 设平面PBC的一个法向量为 则，即 令，则， 所以， 设平面PCD的一个法向量为 则，即 令，则， 所以， 因为，所以， 则平面平面PDC，所以二面角是直二面角； （3）因为面，所以，设， 则， 因为， 所以， 解得， 则. 18．（2026·湖北襄阳·模拟预测）在中，，，点D，E分别在边 ，上，且，（），将 沿折起，点落在点的位置，连接，，得到如图所示的四棱锥，点 在线段上，且． (1)若平面，求． (2)当四棱锥体积最大时，线段上是否存在点Q使得C，D，Q，F四点共面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）作直线 交于点 ，利用线面平行的性质可得 ，进而可求得的值． （2）利用体积公式求得，记，利用导数可求得体积的最大值，确定，法一：延长交 于 ，连接交 于，设，利用向量的线性运算可求得的值；法二：建立空间直角坐标系，设，求得平面 的一个法向量，进而利用 可求得，进而可求得的值. 【详解】（1）作直线交于点，因为，所以． 因为平面，面 ，面平面， 所以，所以四边形 为平行四边形，所以，所以． （2）因为 ，，，所以平面， 在中，， ，所以， 又（ ），所以，所以， 因为，且 ，所以，所以， 因为四棱锥的体积 ， 记，，， 令，得，解得或（舍去）， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 则当时，四棱锥的体积最大，此时，，． 方法一： 如图，延长 交 于 ，连接交于， 设， 由解得， 则得，则， 即得 所以. 方法二： 如图，分别以 ，，所在直线为 ，， 轴建立空间直角坐标系. 则，，，，． 设，，，， 设平面法向量， 则，故可取， 由解得， 所以. $