空间向量与立体几何：线线角、线面角、二面角的向量求法讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学讲义以空间向量与立体几何中三类角的向量求法为核心，通过考点目录表格系统划分线线角、线面角、二面角三大模块，每个模块按“核心知识点（定义、范围、公式）-解题思路（建系、求向量、计算、反求角度）”的逻辑框架梳理知识脉络，突出向量方法的内在联系与应用重点。 讲义亮点在于分层练习设计，例题与变式训练涵盖高二阶段检测、高三开学考试等不同层次题目，如正方体中异面直线成角、四棱锥中线面角计算等实例，引导学生通过向量运算推理解决问题，培养数学思维与模型观念。每个考点配有解题步骤指导，基础学生可掌握规范方法，优秀学生能深化逻辑分析，助力教师实施精准分层教学与学生自主复习。

空间向量与立体几何：线线角、线面角、二面角的向量求法讲义 空间向量与立体几何：线线角、线面角、二面角的向量求法讲义 考点目录 线线角的向量求法 线面角的向量求法 二面角的向量求法 考点一 线线角的向量求法 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 角的定义与范围 空间中两条直线所成的角（含异面直线），是将两直线平移至相交后所成的锐角或直角，记作 。 取值范围：，即 ；两直线平行/重合时 ，异面直线取不到 。 1. 向量计算公式 设两条直线的方向向量分别为 、，则直线所成角 的余弦值等于两个方向向量夹角余弦的绝对值： · 原理：线线角只取锐角/直角，因此对向量夹角的余弦值取绝对值，保证结果非负。 1. 垂直判定 若 ，则 ，，即两直线垂直，是线线垂直的向量判定依据。 二、解题思路 1. 建系定坐标：利用图形中的垂直关系建立空间直角坐标系，确定两条直线上各点的坐标。 1. 求方向向量：分别在两条直线上取两点，计算得到直线的方向向量 、 的坐标。 1. 代公式计算：计算向量的数量积 、两个向量的模长 、，代入余弦绝对值公式。 1. 反求角度：由余弦值反解角度，结合取值范围得到最终结果。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，， 设直线与所成的角为，则， 即直线与所成角的余弦值为. 例2．（26-27高三上·云南·开学考试）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设，以为基底，分别表示，再利用向量法即可求出异面直线与所成角. 【详解】设，则，． 以为基底，由题意得，． 因为，， 所以， ， ， 设异面直线与所成角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 例3．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，对正方体­，，，分别是和的中点. (1)求到的距离； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合点到直线的距离向量求法求结论； （2）结合向量夹角公式求结论. 【详解】（1）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长，故，，，， 所以，， 所以， ， ， 所以点到的距离； （2）由（1），已有， 所以，，， 设异面直线与所成角为，则. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）如图，在四棱柱中，侧面底面，四边形是正方形，四边形是菱形，且，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理得，利用空间向量的线性运算得，，设，利用空间向量数量积运算律求得，利用向量模的运算求得，，进而代入异面直线的向量公式求解即可. 【详解】因为侧面底面，侧面底面，四边形是正方形， 所以，底面，所以侧面，侧面， 所以，所以， 因为四边形是正方形，四边形是菱形，且， 所以设，，，， 因为，，分别是棱，，的中点， 所以，， . ， ， 设异面直线与所成角为，则. 故选：D. 变式2．（25-26高二下·福建漳州·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，为棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴建系，利用空间向量求解即可. 【详解】因为，，， 所以，所以， 在直三棱柱中，平面, 以为原点，为轴，为轴，为轴建系， 则则 , 所以，， 设异面直线和所成的角为， 则. 变式3．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在长方体中，，为与的交点． (1)用向量表示； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量加法的几何意义直接可得； （2）建立空间直角坐标系，用向量的方法异面直线所成的角可得. 【详解】（1）因为为与的交点，且为的中点， 所以，又因为， 所以 （2）因为在长方体中，故以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图： 根据题意可得． ，． 可得． ，， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为． 考点二 线面角的向量求法 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 角的定义与范围 直线与平面所成的角，是直线与它在平面内的射影所成的角，是直线与平面内所有直线所成角中最小的角，记作 。 取值范围：，即 ；直线垂直平面时 ，直线平行于平面或在平面内时 。 1. 向量计算公式 设直线的方向向量为 ，平面的法向量为 ，则直线与平面所成角 满足： · 原理：直线方向向量与平面法向量的夹角为 ，因此法向量夹角的余弦绝对值等于线面角的正弦值。 1. 核心注意 线面角是方向向量与法向量夹角的余角，公式用 ，与线线角、二面角的余弦公式形成区分。 二、解题思路 1. 建系定坐标：建立空间直角坐标系，确定直线上的点与平面内的关键点坐标。 1. 求两个向量 · 取直线上两点，计算直线的方向向量 ； · 在平面内取两个不共线向量，通过待定系数法求出平面的法向量 。 1. 代公式计算：代入线面角的正弦公式，计算 的值。 1. 反求角度：结合 的范围，反解得到线面角的大小。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·山东青岛·开学考试）如图，在中，，.将绕边旋转到的位置，使，点为中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)由题意知：，，平面， ∴平面， 又∵平面，所以． 又点C为的中点，所以， 又，平面， 所以平面， 又∵平面，所以． (2) 【分析】（1）先证得平面，可得，再证平面，即可得； （2）建立空间直角坐标系，利用坐标运算求出平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，可得，利用空间向量坐标计算即可． 【详解】（1）略 （2）由（１）知平面， 以O为原点，，的方向分别作为x， z轴， 底面内与垂直的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，又， 则，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，取，则，， 则平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则． 例2．（26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测）四棱锥中，底面为等腰梯形，平面，，．求： (1)直线与面所成的角； (2)平面与平面所成锐二面角的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过求解直线的方向向量与平面的法向量，利用向量夹角公式求出它们的余弦值，从而得到线面角的正弦值及所成角. （2）分别求出平面与平面的法向量，计算这两个法向量夹角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系将其转化为锐二面角的正切值. 【详解】（1）作于点， 因为平面，且平面，所以， 可以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如下： 由题意得， 因为且，在面内，与轴正方向夹角为， 投影到轴的长度为，投影到轴的长度为， 即，因为且，所以，则， ，取作为的方向向量， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设直线与平面所成的角为， 则， 由于，解得. （2）设平面的法向量为，由上知， 则，故可取， 设平面的法向量为，由上知， 则故可取， 设所求锐二面角为， 则， 进而，则. 例3．（26-27高二上·重庆·开学考试）如图，直三棱柱中，，分别为线段的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)因为直三棱柱中，， 所以两两垂直，以为原点， 所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 不妨设，则各点坐标如下： ，，，，，， 因为分别为线段的中点，所以： 的坐标为，的坐标为， 根据坐标，可得向量： ， ， ， 所以向量与垂直，即. (2) 【分析】（1）通过建系求出向量和的坐标，利用数量积为0这一代数条件直接证明了空间两直线的垂直关系； （2）通过求平面的法向量，利用线面角的正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦值的绝对值计算出结果，再借助同角三角函数平方关系得出余弦值. 【详解】（1）略 （2）由两两垂直，可得平面， 平面的一个法向量可取为， 直线的方向向量为， 设直线与平面所成的角为， 根据线面角的正弦值公式： ， 因为线面角的范围是， 所以. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，为中点． (1)求证：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：连接交于点，连接； 因为为平行四边形，故为的中点； 又因为为中点，故， 因为平面，平面， 故平面； (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，找平面内一条直线与已知直线平行，根据题干所给中点以及平行四边形的性质利用中位线证明平行，即可证明线面平行； （2）利用空间向量求出平面的法向量和直线的方向向量，根据线面夹角的正弦值等于直线的方向向量和平面的法向量夹角的余弦值的绝对值进行计算． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，，因为平面，故平面； 又因为底面为平行四边形，且，故底面为菱形， 则； 则以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由，可知，，则为等边三角形； 故，；； 故，，，，， 则，，； 设为平面的法向量， 则，令，则； 设为直线与平面所成角， 则； 故直线与平面所成角的正弦值为． 变式2．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，. (1)求点到平面的距离. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标及平面 的法向量，利用向量法即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出及平面 的法向量，利用向量法即可求解. 【详解】（1）因为平面，，，所以， 以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得 ，，，， 过点作于点，则四边形为矩形，所以，， 在中，，所以，因为，所以， 所以 。 则 ，， 设平面 的法向量为 ， 则 ， 取，得，所以 ， 又 ，所以点到平面的距离. （2）由（1）可知，平面的一个法向量 ， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为 . 变式3．（25-26高二下·陕西汉中·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为与的交点，为棱的中点，.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明：因为正方形的对角线与的交点，则， 又因为棱的中点，则， 由 平面，平面，可得平面. (2) 【分析】（1）根据条件证明，再由线面平行的判定定理即可得证； （2）建系，写出相关点与向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）因为底面，，底面，所以，， 易得，于是可建立如图所示的直角坐标系. 则，，，，所以， ，易知为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为.    考点三 二面角的向量求法 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 角的定义与范围 从一条直线出发的两个半平面组成的图形为二面角，其大小由平面角度量，记作 。 取值范围：，即 ；两个半平面重合时 ，共面反向时 。 1. 法向量法（最常用） 设两个半平面的法向量分别为 、，则二面角 与法向量的夹角 相等或互补，需结合几何图形判断： · 若两个法向量一个指向二面角内部，一个指向外部，则 ； · 若两个法向量同时指向内部或同时指向外部，则 。 余弦公式： 正负号由二面角的锐钝性与法向量指向共同决定。 1. 棱方向法（精准无歧义） 在棱上取方向向量 ，在两个半平面内分别作垂直于棱的向量 、，则二面角的平面角与 完全相等： · 优点：无需判断相等/互补，角度完全对应；缺点：找垂直于棱的向量相对繁琐。 二、解题思路 1. 建系定坐标：建立空间直角坐标系，确定棱上点与两个半平面内的关键点坐标。 1. 求两个面的法向量：分别求出两个半平面的法向量 、。 1. 计算向量夹角余弦：代入数量积公式，得到法向量夹角的余弦值。 1. 判断锐钝性：结合立体图形直观判断二面角是锐角还是钝角，或通过法向量的坐标分量判断指向。 1. 确定最终结果：根据锐钝性给余弦值添加对应正负号，反解得到二面角的大小。 【例题分析】 例1．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，平面平面，，，分别是，的中点． (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)因为，是的中点，所以， 取的中点，，且，，所以四边形是矩形， 所以，又，因此是正三角形，而是的中点，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以． (2) 【分析】（1）取的中点，利用平面几何的基本性质得到是正三角形，从而结合线面垂直的判定定理可得到平面，进而可得； （2）通过面面垂直的性质定理可得到平面，则通过空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，进而可求解它们夹角的余弦值. 【详解】（1）略. （2）因为平面平面，平面平面，， 平面，所以平面， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以，，． 则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量， 则，即，令，则， 所以为平面的一个法向量． 设平面的法向量， 则，即，令，则，， 故为平面的一个法向量． 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 例2．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）如图，在四棱台中，底面，下底面是边长为4的正方形，上底面是边长为3的正方形，，分别是，的中点． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1) 连接，记与交于，与交于，连接， 因为，分别是，的中点，则， 又因为正方形边长为4，所以， 因为正方形边长为3，则， 因为四棱台，所以， 所以，且，即四边形为平行四边形. 则 又因为面，面,所以面. (2); 【分析】(1)根据四棱台的几何性质，利用线面平行的判定定理证明结论; 结合（1）可求得，再建立空间直角坐标系，得出相关点和向量坐标，求出平面法向量，运用向量夹角余弦公式求解. 【详解】（1）略； （2）因为底面，所以以D为坐标原点，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系. 设， 结合(1)可得：，解得. 则，，,, ,,, 设面的一个法向量为， 则，即，令，则， 设面的一个法向量为， 则，即，令，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值. 例3．（25-26高二下·云南红河·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，分别为的中点，. (1)求证：； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值. 【答案】(1)连接， 因为分别为的中点，所以， 因为底面是正方形，所以， 所以， 因为底面，底面， 所以， 又平面，且， 所以平面， 又平面， 所以； (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，再利用线面垂直的性质定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，由面面角空间向量法计算即可求解. 【详解】（1）略 （2）以为原点，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，， ，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取，得， 因为平面， 所以是平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面所成夹角的余弦值为． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·湖北武汉·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，    (1)若为的中点，求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)连接交于点，连接． 因为为正方形，所以为中点， 又因为为的中点， 所以为的中位线，． 又因为平面，平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）通过正方形对角线互相平分得出的中位线，进而由线面平行的判定即可求解， （2）通过方法一向量法，以为原点空间建系，由两个平面的法向量求夹角即可求解，或通过方法二几何法，作两个平面的交线结合垂直关系直接找到二面角的平面角即可求解. 【详解】（1）略 （2）方法一 因为平面，，平面，所以，， 在正方形中，，    所以以为正交基底建立空间直角坐标系， 因为， 所以，，， 所以，． 设平面的一个法向量为， 所以即 解得，取，得，所以， 又平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 方法二 因为平面，平面，平面， 所以，． 因为底面为正方形，所以． 又因为平面，平面，， 所以平面． 在平面内过作， 因为，且平面，平面，所以平面平面， 有平面，   平面，平面，所以，，为平面与平面夹角或其补角， 因为底面为正方形，所以，又，，故即为所求的角， 又，所以平面与平面夹角的余弦值为． 变式2．（25-26高二下·浙江绍兴·期末）如图所示，在三棱台中，，其中，分别为棱与的中点，且平面． (1)求证：； (2)若直线与平面所成角为，求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】(1)证明：因为平面，平面，所以，    因为，且，分别为棱与的中点，则， 又因为，且平面，故平面， 因为平面，所以． (2)． 【分析】（1）由平面，得到，再由，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）作于点，证得平面，得到为直线与平面所成角，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：作于点， 由平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 在等腰梯形中，由， 可得，则， 又由，可知，则，， 以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，， 可得，，，    设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面与平面的夹角为，则， 则， 所以平面与平面的夹角的正弦值为．    变式3．（25-26高二下·江苏苏州·期末）如图，在直三棱柱中，已知，，，分别是线段，上的动点（不含端点），． (1)求证：； (2)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴、轴建立空间直角坐标系， 设，， 则，，，， 所以，， 又，所以． (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，，从而得到，，，的坐标，进而计算即可证明； （2）结合（1），先求出三棱锥的体积取得最大值时的值，从而分别求出平面与平面的法向量，进而根据向量的夹角公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）结合（1）设，，则， 由， 所以当时，三棱锥的体积取得最大值． 所以结合（1）的空间直角坐标系有，，，，， 则 ，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，即， 设平面的法向量为，则， 令，则，，即可得， 记平面与平面的夹角， 则有， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：线线角、线面角、二面角的向量求法讲义 空间向量与立体几何：线线角、线面角、二面角的向量求法讲义 考点目录 线线角的向量求法 线面角的向量求法 二面角的向量求法 考点一 线线角的向量求法 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 角的定义与范围 空间中两条直线所成的角（含异面直线），是将两直线平移至相交后所成的锐角或直角，记作 。 取值范围：，即 ；两直线平行/重合时 ，异面直线取不到 。 1. 向量计算公式 设两条直线的方向向量分别为 、，则直线所成角 的余弦值等于两个方向向量夹角余弦的绝对值： · 原理：线线角只取锐角/直角，因此对向量夹角的余弦值取绝对值，保证结果非负。 1. 垂直判定 若 ，则 ，，即两直线垂直，是线线垂直的向量判定依据。 二、解题思路 1. 建系定坐标：利用图形中的垂直关系建立空间直角坐标系，确定两条直线上各点的坐标。 1. 求方向向量：分别在两条直线上取两点，计算得到直线的方向向量 、 的坐标。 1. 代公式计算：计算向量的数量积 、两个向量的模长 、，代入余弦绝对值公式。 1. 反求角度：由余弦值反解角度，结合取值范围得到最终结果。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 例2．（26-27高三上·云南·开学考试）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，对正方体­，，，分别是和的中点. (1)求到的距离； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）如图，在四棱柱中，侧面底面，四边形是正方形，四边形是菱形，且，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ）    A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·福建漳州·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，为棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在长方体中，，为与的交点． (1)用向量表示； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 考点二 线面角的向量求法 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 角的定义与范围 直线与平面所成的角，是直线与它在平面内的射影所成的角，是直线与平面内所有直线所成角中最小的角，记作 。 取值范围：，即 ；直线垂直平面时 ，直线平行于平面或在平面内时 。 1. 向量计算公式 设直线的方向向量为 ，平面的法向量为 ，则直线与平面所成角 满足： · 原理：直线方向向量与平面法向量的夹角为 ，因此法向量夹角的余弦绝对值等于线面角的正弦值。 1. 核心注意 线面角是方向向量与法向量夹角的余角，公式用 ，与线线角、二面角的余弦公式形成区分。 二、解题思路 1. 建系定坐标：建立空间直角坐标系，确定直线上的点与平面内的关键点坐标。 1. 求两个向量 · 取直线上两点，计算直线的方向向量 ； · 在平面内取两个不共线向量，通过待定系数法求出平面的法向量 。 1. 代公式计算：代入线面角的正弦公式，计算 的值。 1. 反求角度：结合 的范围，反解得到线面角的大小。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·山东青岛·开学考试）如图，在中，，.将绕边旋转到的位置，使，点为中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 例2．（26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测）四棱锥中，底面为等腰梯形，平面，，．求： (1)直线与面所成的角； (2)平面与平面所成锐二面角的正切值． 例3．（26-27高二上·重庆·开学考试）如图，直三棱柱中，，分别为线段的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，为中点． (1)求证：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 变式2．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，. (1)求点到平面的距离. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 变式3．（25-26高二下·陕西汉中·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为与的交点，为棱的中点，.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 考点三 二面角的向量求法 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 角的定义与范围 从一条直线出发的两个半平面组成的图形为二面角，其大小由平面角度量，记作 。 取值范围：，即 ；两个半平面重合时 ，共面反向时 。 1. 法向量法（最常用） 设两个半平面的法向量分别为 、，则二面角 与法向量的夹角 相等或互补，需结合几何图形判断： · 若两个法向量一个指向二面角内部，一个指向外部，则 ； · 若两个法向量同时指向内部或同时指向外部，则 。 余弦公式： 正负号由二面角的锐钝性与法向量指向共同决定。 1. 棱方向法（精准无歧义） 在棱上取方向向量 ，在两个半平面内分别作垂直于棱的向量 、，则二面角的平面角与 完全相等： · 优点：无需判断相等/互补，角度完全对应；缺点：找垂直于棱的向量相对繁琐。 二、解题思路 1. 建系定坐标：建立空间直角坐标系，确定棱上点与两个半平面内的关键点坐标。 1. 求两个面的法向量：分别求出两个半平面的法向量 、。 1. 计算向量夹角余弦：代入数量积公式，得到法向量夹角的余弦值。 1. 判断锐钝性：结合立体图形直观判断二面角是锐角还是钝角，或通过法向量的坐标分量判断指向。 1. 确定最终结果：根据锐钝性给余弦值添加对应正负号，反解得到二面角的大小。 【例题分析】 例1．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，平面平面，，，分别是，的中点． (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 例2．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）如图，在四棱台中，底面，下底面是边长为4的正方形，上底面是边长为3的正方形，，分别是，的中点． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 例3．（25-26高二下·云南红河·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，分别为的中点，. (1)求证：； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·湖北武汉·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，    (1)若为的中点，求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 变式2．（25-26高二下·浙江绍兴·期末）如图所示，在三棱台中，，其中，分别为棱与的中点，且平面． (1)求证：； (2)若直线与平面所成角为，求平面与平面的夹角的正弦值． 变式3．（25-26高二下·江苏苏州·期末）如图，在直三棱柱中，已知，，，分别是线段，上的动点（不含端点），． (1)求证：； (2)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $