1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

本讲义聚焦空间中点、直线和平面的向量表示这一核心知识点，承接空间向量基本概念，通过点的位置向量、直线的方向向量（由直线上一点及方向向量确定）、平面的法向量及相交直线方向向量表示，为后续用空间向量研究位置关系搭建学习支架。 该资料以诊断分析（如判断方向向量、法向量正误）培养数学思维的严谨性，探究点（如平行六面体中方向向量、正方体中法向量求解）引导学生用数学眼光观察空间结构，素养小结用数学语言提炼方法，课中辅助教师引导探究，课后帮助学生巩固概念、查漏补缺。

1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 【学习目标】 　　1.联系空间向量与立体几何,理解直线的方向向量和平面的法向量. 　　2.结合空间几何体,能求出有关直线的方向向量和平面的法向量. 　　3.在空间点的向量表示的基础上,能借助直线的方向向量和平面的法向量来刻画直线和平面. ◆ 知识点　空间元素的向量表示 1.空间中点的向量表示 如图,在空间中,我们取一　　　　作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的　　　　　　.  2.空间中直线的向量表示 确定直线的条件 图形表示 向量表示 作用 a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,P是直线l上的任意一点 =ta=　　　  空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定 a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,P是直线l上的任意一点,O是空间中的任意一点 =+ta=　　　　  3.空间中平面的向量表示 确定平面的条件 图形表示 向量表示 两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为a,b,P为平面α内任意一点 =xa+yb P是平面ABC内的任意一点,O是空间中的任意一点 =+ x+y 给定点A和平面α的法向量a,以及平面α内一点P {P|a·=0} 【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若向量a是直线l的一个方向向量,则向量ka也是直线l的一个方向向量. (　 ) (2)若A(-1,2,1),B(1,0,3)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(1,-1,1). (　 ) (3)若向量n1,n2为同一平面的法向量,则以这两个向量为方向向量的直线一定平行. (　 ) 2.平面的法向量有几个?它们的关系是怎样的? ◆ 探究点一　确定空间中点的位置 例1 已知点A(2,4,0),B(1,3,3),在直线AB上取P,Q两点,位置如图所示,求满足下列条件的点P和点Q的坐标. (1)AP∶PB=1∶2; (2)AQ∶QB=2∶1. 变式 已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点且=,则点C的坐标为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. [素养小结] 求空间中点的坐标,一般要根据具体的题目条件恰当地设出点的坐标,然后列出方程组,把向量运算转化为代数运算,解方程组可得点的坐标. ◆ 探究点二　求空间直线的方向向量 例2 [教材P29练习第2题改编] 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,以{a,b,c}为空间的一个基底. (1)求直线AP的一个方向向量; (2)求直线A1N的一个方向向量; (3)求直线MP的一个方向向量. 变式 (1)[2025·成都高二期中] 经过点A(1,2,1),点B(3,4,5)的直线的一个方向向量是　　　　.  (2)已知直线l过点A(0,0,1),且直线l的一个方向向量为a=(1,1,2),若点M(x,y,4)在直线l上,则x+y=　　　　.  [素养小结] 求直线的方向向量的关键是找到直线上的两个点,用所给的基向量表示以这两个点为起点和终点的向量,其难点是向量的运算. ◆ 探究点三　求平面的法向量 例3 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱A1D1,A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求: (1)平面BDD1B1的一个法向量; (2)平面BDEF的一个法向量. 变式 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,AB=AP=1,AD=,建立如图所示的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量. [素养小结] 利用待定系数法求平面的法向量的步骤: ①设向量:设平面的法向量为n=(x,y,z). ②选向量:在平面内选取两个不共线向量,. ③列方程组:列出方程组并解方程组. ④赋非零值:取其中一个为非零值(常取±1),得到平面的一个法向量. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 【课前预习】 知识点 1.定点O　位置向量　2.t　+t 诊断分析 1.(1)×　(2)√　(3)×　[解析] (1)当k=0时,ka=0不是直线l的方向向量,故错误. (2)∵=(2,-2,2),∴与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量,故正确. (3)以这两个向量为方向向量的直线也可能重合,故错误. 2.解:平面的法向量有无数个,它们是平行向量. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)由已知,得=2,即-=2(-),则=+. 设点P的坐标为(x,y,z),则(x,y,z)=(2,4,0)+(1,3,3),即x=+=,y=+1=,z=0+1=1, 所以点P的坐标为. (2)因为AQ∶QB=2∶1,所以=-2,所以-=-2(-),则=-+2, 设点Q的坐标为(x',y',z'),则(x',y',z')=-(2,4,0)+2(1,3,3)=(0,2,6),所以点Q的坐标为(0,2,6). 变式　C　[解析] 设C(x,y,z),∵C为线段AB上一点且=,∴=,即(x-4,y-1,z-3)=(-2,-6,-2),∴∴因此点C的坐标为.故选C. 探究点二 例2　解:(1)∵=++=++=a+c+b, ∴直线AP的一个方向向量为a+c+b. (2)∵=++=-++=-a+b+c, ∴直线A1N的一个方向向量为-a+b+c. (3)∵=++=++=a+c+b,∴直线MP的一个方向向量为a+c+b. 变式　(1)(2,2,4)(答案不唯一)　(2)3　[解析] (1)因为点A(1,2,1),点B(3,4,5)在直线上,所以直线的一个方向向量为=(2,2,4),当λ≠0时,λ=(2λ,2λ,4λ)也都是直线的方向向量. (2)由题意得=(x,y,3),所以存在实数λ,使得=λa,所以所以x+y=2λ=3. 探究点三 例3　解:(1)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2, 则D(0,0,0),B(2,2,0),D1(0,0,2),E(1,0,2), ∴=(2,2,0),=(0,0,2). 设平面BDD1B1的法向量为n=(x1,y1,z1), ∴即 令x1=1,则y1=-1,z1=0,∴平面BDD1B1的一个法向量为n=(1,-1,0). (2)由(1)知=(2,2,0),=(1,0,2), 设平面BDEF的法向量为m=(x2,y2,z2), ∴即令x2=2,则y2=-2,z2=-1,∴平面BDEF的一个法向量为m=(2,-2,-1). 变式　解:由题意知A(0,0,0),C(1,,0),P(0,0,1),D(0,,0),因为E为PD的中点,所以E, 所以=(1,,0),=. 设平面ACE的法向量为n=(x,y,z), 则即 令y=-1,则x=,z=,即n=(,-1,), 所以平面ACE的一个法向量为n=(,-1,). 学科网（北京）股份有限公司 $