第五章 一元一次方程 单元卷 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学一元一次方程单元复习卷，通过选择（10题30分）、填空（6题18分）、解答（8题72分）全面覆盖方程定义、解法及应用，注重基础巩固与实际问题解决，体现抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元一次方程定义、等式性质、行程问题|结合购物找零（题2）、追及问题（题8）等生活情境，新定义运算（题7）考查创新思维| |填空题|6/18|同解方程、利润问题、古代算诗（题15）|无限循环小数化分数（题12）渗透转化思想，《增删算法统宗》古算诗体现文化传承| |解答题|8/72|解方程、配套问题、方案选择（题21）|纠错过程（题19）培养推理意识，“优雅方程”（题23）新定义拓展思维，购票方案（题21）强化模型意识|

第五章 一元一次方程（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次方程的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．以上答案都不是 【答案】B 【详解】解：①中未知数最高次数是2，不是一元一次方程； ②中含2个未知数，不是一元一次方程； ③是一元一次方程； ④中左边不是整式，不是一元一次方程； ⑤是一元一次方程； ⑥是一元一次方程； 综上可知，一元一次方程有3个， 2、下面等量关系中，可以用表示的是（　　） A．小芳买了只水笔，每支3元，付给营业员30元，找回6元 B．黑兔有只，白兔有30只，黑兔比白兔的3倍多6只 C．故事书有本，科技书有30本，科技书比故事书多6本 D．书法小组有人，舞蹈小组有30人，舞蹈小组的人数比书法小组人数的3倍少6人 【答案】D 【详解】A．总费用为元，付30元找回6元，方程为，不符合题意； B．黑兔数量x是白兔的3倍多6只，方程为，不符合题意； C．科技书比故事书多6本，方程为，不符合题意； D．舞蹈小组人数是书法小组的3倍少6人，方程为，符合题意． 3、设x，y，z是有理数，则下列等式成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【详解】解：∵，∴或，故A不符合题意； ∵，∴，故B符合题意； ∵，，∴，故C不符合题意； ∵， ∴，故D不符合题意； 4、下列等式变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【详解】解：A、由，可得，原式变形错误，本选项不符合题意； B、由，可得，原式变形错误，本选项不符合题意； C、由，可得，原式变形错误，本选项不符合题意； D、由，可得，原式变形正确，本选项符合题意． 5、若、表示非零常数，整式的值随的取值而发生变化，如下表，则关于的一元一次方程的解为（ ） 0 1 3 …… 1 3 5 9 …… A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解：关于x的一元一次方程可化为， 由表格可知，当时，， ∴关于x的一元一次方程的解为． 6、已知关于的方程的解是，则代数式的值为（ ） A. -5 B. 5 C. 7 D. -7 【答案】A 【详解】解：把代入方程， ∴， 解得：， ∴； 7、对于有理数，定义一种新运算，规定，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【详解】解：规定， ∴， ∴， 解得，， 8、超市位于小赵家正西米处，学校位于家的正东方向，一天，小赵的妈妈从家去超市购物，同时小赵从家去学校上学，妈妈刚到超市门口发现小赵的作业本误装在了购物袋里，立即按原路返回并追赶小赵，结果二人同时到达学校．已知妈妈每分钟走米，小赵每分钟走米．则小赵的家距离学校是（ ） A. 400米 B. 500米 C. 600米 D.700米 【答案】B 【详解】解：设小赵的家距离学校米， 根据题意可列方程：， 解得． 答：小赵的家距离学校有米． 9、小赵在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】小赵将方程抄为，解得， 则将代入错误方程得：， 解得：． 原方程为：， 移项得：， 即， 解得：． 10、按照下面的程序计算：当输入为32时，输出结果为；当输入为11时，输出结果为；若输入的的值为正整数，输出结果为，那么满足条件的的值最多有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：若是一次计算输出的结果，则， 解得：； 若是经过两次计算输出的结果，由上知，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，故， 解得：； 若是经过三次计算输出的结果，由上知，第二次输出的结果为3，第三次输出的结果为，故， 解得：； 由于输入的的值为正整数，故满足条件的x的值最多有2个； 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、若方程是一个一元一次方程，则等于 _______． 【答案】1 【详解】解：由题意得：， 解得， 故答案为：1． 12、我们知道，无限循环小数可以化为分数．例如将（即0.333…）化为分数：设，则，两式相减得，解得．仿照此方法，将无限循环小数（即）化为分数是 ． 【答案】 【详解】解：设，则：， 两式相减得， 解得； 故答案为：． 13、关于的两个方程与的解相同，则的值为______． 【答案】9 【详解】解：解方程得， 即方程的解也是， 代入得：， 解得：， 故答案为：． 14、某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装标价是_________． 【答案】400元 【详解】设该服装标价为x元， 由题意，得， 解得：x=400． 故答案为：400元． 15、 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知与多少人和竹竿每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为__________． 【答案】6x+14=8x 【详解】解：设有牧童x人， 根据题意得：6x+14=8x， 故答案是：6x+14=8x． 16、甲、乙两人骑自行车同时从相距60千米的两地相向而行，甲的速度是12.5千米/小时，乙的速度是11.5千米/小时，经过______小时两人相距12千米． 【答案】2或3 【详解】解：设经过x小时，甲、乙两人相距12千米．有两种情况： ①两人没有相遇相距12千米，那么两人共同走了 千米，根据题意可以列出方程， ∴ ； ②两人相遇后相距12千米，那么两人共同走了千米，根据题意可以列出方程， ∴． 故答案为：2或3． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17题9分，18-21，每题8分，22-23，每题10分, 24题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、根据题意设未知数，并列出方程． (1)一个数的倍比它的倍多，求这个数； (2)从的木条上截去段同样长的木条，还剩下长的短木条，截去的木条每段长为多少？ (3)如图，小颖种了一株树苗，开始时树苗高为，栽种后每周长高约，大约几周后树苗长高到？ 【答案】(1)设这个数为，； (2)设截去的木条每段长为，； (3)设大约周后树苗长高到，． 【详解】（1）解：设这个数为， 根据题意得，； （2）解：设截去的木条每段长为， 根据题意得，； （3）解：设大约周后树苗长高到， 根据题意得，． 18、解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 小问1详解】 解： 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1， 【小问2详解】方程整理得：， 即， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：． 19、下面是小马同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：去分母，得．(第一步) 去括号，得．(第二步) 移项，得．(第三步) 合并同类项，得．(第四步) 系数化为1，得．(第五步) 问题1： 以上解题过程中，第一步是依据_____进行变形的，第二步是依据_____（运算律）进行变形的； 问题2： 第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_______； 问题3： 请写出该方程的正确解答过程． 【答案】问题1：等式的性质2，；乘法分配律；问题2：三；移项没变号；问题3：见详解 【详解】解：问题1： ∵第一步是等式两边同时乘上6， ∴第一步是依据等式的性质2进行变形的； ∵第二步去括号过程中，括号前的数值与括号每项相乘， ∴第二步是依据乘法的分配律进行变形的； 故答案为：等式的性质2，；乘法分配律； 问题2： 观察式子，第三步开始出现错误，这一步的错误的原因是移项没变号； 故答案为：三；移项没变号； 问题3： 解：去分母，得．(第一步) 去括号，得．(第二步) 移项，得．(第三步) 合并同类项，得．(第四步) 系数化为1，得．(第五步) 20、某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个架子和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板． （1）应如何分配工人才能使每天的生产的架子和脚踏板恰好配套？每天生产多少套太空漫步器？ （2）若每套太空慢步器进价为200元，售价为280元，后又打折销售，所得利润率为，则每套太空慢步器是按原售价的几折销售的？ 【答案】（1）20人生产支架，25人生产脚踏板，每天生产1200套太空漫步器 （2）八折 【小问1详解】 解：设分配x人生产架子，则分配人生产脚踏板， 由题意得，， 解得， ∴，， 答：分配20人生产支架，25人生产脚踏板，每天生产1200套太空漫步器； 【小问2详解】 解：设每套太空慢步器是按原售价的m折销售的， 由题意得，， 解得， 答：每套太空慢步器是按原售价的八折销售的． 21、七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票为每人20元，由各班班长负责买票．下面是1班班长与售票员咨询的对话： 你好！我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团队票有优惠吗？ 你好！购票人数超过40人团体票，有两种优惠方案： 方案一：若每人都购票，每张门票打8折； 方案二：若打9折，有7人可免票． （1）已知1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ （2）若2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ （3）求当人数为多少时，两种方案所需钱数一样． 【答案】（1）1班购票需要704元 （2）2班有46人 （3）当人数为63人时，两种方案所需钱数一样 【小问1详解】 解：（元， 答：1班购票需要704元； 【小问2详解】 解：设2班有人，由题意得， 解得， 答：2班有46人； 【小问3详解】 解：设有人，由题意得， 解得， 当班级人数为63人时，两种方案费用相等． 22、若A、B两地间的路程为4 ，甲速2 ，乙速为3 ． (1)甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，问经过多少小时他们相距2 ？ (2)甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲带着一只狗，狗的速度为5 ，狗同甲一起出发，碰到乙的时候它往甲这边走，碰到甲时它往乙这边走，直到走到两人相遇为止，这只狗一共走了多少千米． 【答案】(1)0.4或1.2小时 (2)这只狗一共走了4千米 【详解】（1）解：设经过x小时他们相距， 根据题意，得或， 解方程，得或． 答：经过0.4或1.2小时他们相距； （2）解：根据题意，得， ∴这只狗一共走了4千米． 故答案为：这只狗一共走了4千米． 23、定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“优雅方程”．例如：和互为“优雅方程”． (1)方程与方程是“优雅方程”吗？请说明理由； (2)若方程与关于的方程互为“优雅方程”，求的值． 【答案】(1)是；理由见详解 (2)a的值为 【详解】（1）解：方程与方程是“优雅方程”，理由如下： 解方程得：， 解方程得， 因为和互为倒数． 所以与方程是“优雅方程”； （2）解：解方程得， 因为方程与关于x的方程互为“优雅方程”， 所以关于x的方程的解为， 将代入方程中，得． 解得， 故a的值为． 24、某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． (1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ (2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ (3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． 【答案】(1)30天 (2)60天 (3)先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元 【详解】（1）解：设甲、乙两个工程队一起合作天就可以完成此项工程， 则， 解得， 答：甲、乙两个工程队一起合作30天就可以完成此项工程． （2）解：设共需y天才能完成此项工程， 则． 解得． 答：共需60天才能完成此项工程． （3）解：甲完成工程所需费用为（万元）， 乙完成工程所需费用为（万元）． 甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做， 由题意得． 解得． 所需费用为：万元． 答：先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次方程的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．以上答案都不是 2、下面等量关系中，可以用表示的是（　　） A．小芳买了只水笔，每支3元，付给营业员30元，找回6元 B．黑兔有只，白兔有30只，黑兔比白兔的3倍多6只 C．故事书有本，科技书有30本，科技书比故事书多6本 D．书法小组有人，舞蹈小组有30人，舞蹈小组的人数比书法小组人数的3倍少6人 3、设x，y，z是有理数，则下列等式成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4、下列等式变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5、若、表示非零常数，整式的值随的取值而发生变化，如下表，则关于的一元一次方程的解为（ ） 0 1 3 …… 1 3 5 9 …… A. B. C. D. 6、已知关于的方程的解是，则代数式的值为（ ） A. -5 B. 5 C. 7 D. -7 7、对于有理数，定义一种新运算，规定，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 8、超市位于小赵家正西米处，学校位于家的正东方向，一天，小赵的妈妈从家去超市购物，同时小赵从家去学校上学，妈妈刚到超市门口发现小赵的作业本误装在了购物袋里，立即按原路返回并追赶小赵，结果二人同时到达学校．已知妈妈每分钟走米，小赵每分钟走米．则小赵的家距离学校是（ ） A. 400米 B. 500米 C. 600米 D.700米 9、小赵在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 10、按照下面的程序计算：当输入为32时，输出结果为；当输入为11时，输出结果为；若输入的的值为正整数，输出结果为，那么满足条件的的值最多有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、若方程是一个一元一次方程，则等于 _______． 12、我们知道，无限循环小数可以化为分数．例如将（即0.333…）化为分数：设，则，两式相减得，解得．仿照此方法，将无限循环小数（即）化为分数是 ． 13、关于的两个方程与的解相同，则的值为______． 14、某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装标价是_________． 15、 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知与多少人和竹竿每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为__________． 16、甲、乙两人骑自行车同时从相距60千米的两地相向而行，甲的速度是12.5千米/小时，乙的速度是11.5千米/小时，经过______小时两人相距12千米． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17题9分，18-21，每题8分，22-23，每题10分, 24题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、根据题意设未知数，并列出方程． (1)一个数的倍比它的倍多，求这个数； (2)从的木条上截去段同样长的木条，还剩下长的短木条，截去的木条每段长为多少？ (3)如图，小颖种了一株树苗，开始时树苗高为，栽种后每周长高约，大约几周后树苗长高到？ 18、解方程： （1） （2） 19、下面是小马同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应问题． 解：去分母，得．(第一步) 去括号，得．(第二步) 移项，得．(第三步) 合并同类项，得．(第四步) 系数化为1，得．(第五步) 问题1： 以上解题过程中，第一步是依据_____进行变形的，第二步是依据_____（运算律）进行变形的； 问题2： 第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_______； 问题3： 请写出该方程的正确解答过程． 20、某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个架子和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板． （1）应如何分配工人才能使每天的生产的架子和脚踏板恰好配套？每天生产多少套太空漫步器？ （2）若每套太空慢步器进价为200元，售价为280元，后又打折销售，所得利润率为，则每套太空慢步器是按原售价的几折销售的？ 21、七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票为每人20元，由各班班长负责买票．下面是1班班长与售票员咨询的对话： 你好！我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团队票有优惠吗？ 你好！购票人数超过40人团体票，有两种优惠方案： 方案一：若每人都购票，每张门票打8折； 方案二：若打9折，有7人可免票． （1）已知1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ （2）若2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ （3）求当人数为多少时，两种方案所需钱数一样． 22、若A、B两地间的路程为4 ，甲速2 ，乙速为3 ． (1)甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，问经过多少小时他们相距2 ？ (2)甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲带着一只狗，狗的速度为5 ，狗同甲一起出发，碰到乙的时候它往甲这边走，碰到甲时它往乙这边走，直到走到两人相遇为止，这只狗一共走了多少千米． 23、定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“优雅方程”．例如：和互为“优雅方程”． (1)方程与方程是“优雅方程”吗？请说明理由； (2)若方程与关于的方程互为“优雅方程”，求的值． 24、某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． (1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ (2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ (3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $