第29章 数学活动(五)(内文)-【教与学·学导练】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦第二十九章“圆”的数学活动，核心内容为仅用圆规四等分圆的作图与证明，以及四点共圆条件的探究。课堂导入结合数学史（马斯凯罗尼作图等），从六等分圆已有知识出发，逐步构建四等分圆的步骤与证明，形成知识支架。 其亮点在于融入数学史激发学习兴趣，通过严谨证明（如勾股定理应用、等腰三角形三线合一）发展推理能力，用规范数学语言表达几何关系。实例如四等分圆作图及证明、四点共圆条件探究，培养数学眼光和思维，帮助学生主动探究，教师可提升教学互动与逻辑推理教学效果。

数学 九年级 全一册 配人教版 数学 九年级 全一册 配人教版 第二十九章 圆 数 学 活 动（五） 数学 九年级 全一册 配人教版 1. （RJ九上P140活动1改编）请阅读下面的材料，并完成相应的 任务． 仅用圆规三等分、六等分圆是容易的，而四等分、五等分……则 有一定难度，历史上卡尔•弗雷德里希•高斯首次解决了将圆十七 等分的难题．只用圆规，不用直尺将圆周四等分的难题最终由意 大利数学家马斯凯罗尼解决了．为此，他还撰写了《圆规几何》 一书，书中还包含了更深刻的作图理论．他给出的作图步骤和部 分证明如下： 数学 九年级 全一册 配人教版 如图X5－1①，第一步：在⊙O上任取一点A，以点A为一个分 点，将⊙O六等分，其他分点依次为B，C，D，E，F； 第二步：分别以A，D两点为圆心，以AC（BD）为半径作弧，两 弧交于点G； 第三步：以点A为圆心，OG为半径作弧，与⊙O交于M，N两点． 则点A，M，D，N是⊙O的四等分点． 图X5－1 数学 九年级 全一册 配人教版 证明：如图X5－1②，连接OA，OG，OC，OD，AG，AM，AC， DC，DG，DM，DN，AN． ∵点A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点， ∴∠COD=60°． ∴∠AOD=3∠COD=180°． …… 任务： 图X5－1 数学 九年级 全一册 配人教版 （1）完成材料中的证明； （1）证明：∵点A，B，C，D，E，F是 ⊙O的六等分点， ∴∠COD=60°． ∴∠AOD=3∠COD=180°． ∴AD是⊙O直径． ∴∠ACD=90°． ∴∠CAD=∠COD=30°． 设⊙O的半径为r，则AD=2r，CD=r． 图X5－1 数学 九年级 全一册 配人教版 在Rt△ACD中，AD=2r，CD=r．由勾股定理，得 AC==r． ∴AG=DG=AC=r． ∵AO=OD，∴OG⊥AD． ∴∠GOA=90°． 在Rt△AOG中，OG==r． ∴AM=OG=r． 在△AOM中，AO2＋OM2=r2＋r2=AM2， ∴△AOM是直角三角形，∠MOA=90°． 易得AM=MD=AN=DN． ∴点A，M，D，N是⊙O的四等分点． 图X5－1 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）若⊙O的半径为2，求OG和的长． （2）解：在Rt△AOG中，OA=2， AG=AC=2， ∴OG==2． ∴AM=OG=2． 由（1）易得∠MAN=90°， ∴==π． 图X5－1 数学 九年级 全一册 配人教版 2. （RJ九上P140活动2改编）“乐思”小组开展“探究四点共圆 的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆． 该 小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图X5－2①，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC， CD，如果∠B=∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示： 图X5－2 数学 九年级 全一册 配人教版 如图X5－2②，作经过点A，C，D的☉O，在劣弧AC上取一点E （不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC＋∠D=180°．（依 据1） ∵∠B=∠D， ∴∠AEC＋∠B=180°． ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上． （对角互补的四边形四个顶 点共圆） ∴点B，D在点A，C，E所确定的☉O上． （依据2） ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上． 反思归纳： 数学 九年级 全一册 配人教版 （1）上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？ 依据1： ⁠； 依据2： ⁠； （2）如图X5－2③，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=45°，则 ∠4的度数为 ⁠； 圆内接四边形对角互补 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆 45° 图X5－2 数学 九年级 全一册 配人教版 拓展探究： （3）如图X5－2④，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D在 BC上（不与BC的中点重合），连接AD． 作点C关于AD的对称点 E，连接EB并延长交AD的延长线于点F，连接AE，DE． 求证： A，D，B，E四点共圆． 图X5－2 数学 九年级 全一册 配人教版 （3）证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB． ∵点E与点C关于AD对称， ∴AE=AC，DE=DC． ∴∠AEC=∠ACE，∠DEC=∠DCE． ∴∠AED=∠ACB． ∴∠AED=∠ABC． ∴A，D，B，E四点共圆． 图X5－2 数学 九年级 全一册 配人教版 谢 谢 ! 数学 九年级 全一册 配人教版 $