数学活动(八) 四等分圆周&教学活动(九) 探究四点共团的条件-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（人教版·新教材）

全程导练·九年级数学（上册） 0,02+0,0,=90×2,45πx2490m×2_-5 180 180 180 1 0 0. ② ① 0 18题答图 第2课时 圆锥的侧面积和全面积 【知识要点分类练】 1.C2.A3.B4.C5.D6.27.6 8.解：(1)设圆锥的底面半径为rcm, 扇形的弧长1=120×8_16(cm）,2mr=16 180 3 3 解得r=弩圆维的底面半径为弩cm as2×(-2(m 【能力提升综合练】 9.B[解析]：斗笠锅盖的底面国直径为60cm,∴.底面圆的 半径为30cm,圆锥的母线长为√302+402=50(cm),∴该 +笠锅盖的表面积为2×60mx50=150m(cm2).故选B. 10.C11.300π12.6 13.(1)(-4,0)(2)45(3)5 14.解：(1)设∠BAC=n°， 由题意，得π·DE=m:AD 180 .·AD=2DE,.n=90,.∠BAC=90° (2)∠BAC=90°，.△ABC是等腰直角三角形 .·AD=2DE=10cm, 易得BC=2AD=20cm, 六S9影=78C·A0-S-分×20×10-90n×10 1 360 =(100-25m)cm2, 【素养探究创新练】 15.B 专题15 与圆有关的不规则图形面积的求法 1.A2.25m 3.B[解析]如答图，连接0A,OB,则OA=OB=2.∠AOB 2×360 12 =60°，△0AB是等边三角形，S△MB0=2X 2×5=5,S角形A0B-60Xmx22-2 360 =了，.S影=S扇彩A0B 3T-月故选B, 2 12 10 2分 B *3 8 i 5 6 3题答图 ·40. 4.π-3 32 [解析]：四边形ABCD是矩形，∠BCD=90°， AB=CD=1.∠DBC=30°，∴BD=2CD=2.由勾股定理， 得BC=VB02-CD=5,Sam=7BC·CD=7× :5aa版：02-号54 5×1=5 π3 S扇卷DBB-S△BGD=3-2 51m6号m-231号m-是 4 8.A[解析]如答图，连接OC,OD,CD.:C,D是以AB为直 径的半圆的三等分点，.∠AOC=∠COD=∠D0B=60°， 1 .60m×r-1 AC=CD.孤CD的长为3m,.180=3T,解得r= 1.又OA=0C=0D,.△OAC,△OCD是等边三角形， .∠A0C=L0CD,.OA∥CD,.S△ACD=S△ocD.S阿影= S扇形0CD ,0吾故选人 0 B 8题答图 12题答图 9B10智112-4 12君+9[解标]如答图，设04交于点7，选接Om .0T=0B=2.00'=0'B,.0T=200',00'=1. :L00'T=90°，.∠0'T0=30°，∠T00'=60°，.0'T= √0T-0'0=V5,.S阴形=S扇形A0g-（S痛形70B Sa0m)=90m×22 360 (0路21×同列=号： 5 2 数学活动（八）四等分圆周 1.A 2.解：(1)如答图①，连接OB,OC,OD,AB,BC,CD,AE,AF, OG,AG, .0A=OB=OC=OD=AB=BC=CD=r=OF=0G,AE= AC,AF=AG=OE, ∴△AOB,△BOC,△COD为等边三角形， ∴.∠AOB=∠B0C=∠C0D=60°， ∴.∠AOB+∠BOC+∠COD=180°， ∴.AD是⊙O的直径， ∴.∠ACD=90°，AD=2r. 在Rt△ACD中，由勾股定理，得 AE=AC=√AD2-CD2=√(2r)2-2=5r. :分别以点A和点D为圆心，AC长为半径，画弧相交于点E, .0E垂直平分AD,∴.∠A0E=90° 在Rt△AOE中，由勾股定理，得 AF=AG=0E=√AE2-A02=√(3r)2-2=2m, .0A2+0F2=2+2=22=(2r)2=AF2, 0A2+0G2=2+2=22=(2r)2=AG2, ∴.△AOF是直角三角形，△AOG是直角三角形，∠AOF= 90°，∠A0G=90°， ∴.∠D0F=180°-∠A0F=180°-90°=90°， ∠D0G=180°-∠A0G=180°-90°=90°， .∠A0F=∠D0F=∠D0G=∠A0G=90°， .AF=DF =DC=AC A,G,D,F为⊙0的四等分点 E X D 0 B G D 2题答图① 2题答图② (2)如答图②，作⊙O的直径AB,作直径AB的垂直平分线 交⊙0于点C,D, ∴.∠A0C=∠COB=∠BOD=∠AOD=90°， .AC CB=BD =AD. ∴.A,D,B,C为⊙O的四等分点 数学活动（九）探究四点共园的条件 解：(1)如答图①，作经过点A,B,D的⊙0，若点C在⊙0内， 延长BC.设BC交⊙O于点C',连接DC,则∠DCB>∠C'. ,·四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .∴.∠A+∠C=180 .·∠A+∠DCB=180°，.∠C'=∠DCB 与∠DCB>∠C矛盾，故点C不可能在圆内. D D B A -B 答图① 答图② (2)如答图②，作经过点A,B,D的⊙0，在劣弧AB上取一点E (不与点A,B重合)，连接AE,BE,则∠E+∠D=180°. .∠C=∠D,∴.∠E+∠C=180°， 点A,B,C,E在同一个圆上， .点C在点A,B,D所确定的⊙0上， ∴A,B,C,D四点共圆. (3)30 (4)由对称可知∠CB'E=∠CBE,∠BCB'=2∠B'CE=36. :∠CAB=∠CBA=50°， .∠CAB=∠CB'E=50°， .A,B,E,C四点共圆， .∠B'CA=∠B'EA. 在△ABC中，∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=80°， .∴.∠ACB'=∠ACB-∠BCB'=80°-36°= 44°， ∴.∠B'EA=44° (5)如答图③，连接AC. .AB=BC=5,∠ABC=60° B ·.△ABC是等边三角形， C 答图③ 参考答案及解析 ∴.∠ACB=∠BAC=60° .∠ADB=60°，.∴.∠ACB=∠ADB .A,B,C,D四点共圆， .∠BDC=∠BAC=60°. .·四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD=10+CD+AD, ∴当BD是直径时，CD+AD有最大值，即四边形ABCD的周 长有最大值， ∴.∠BCD=90° ∠DBC=30DC=2BD 第二十九章 易错强化训练 1.C2.D3.D4.C 5.8或26.7cm或3cm7.π或4π 8.解：不正确.正确的解题过程如下： 分两种情况讨论： ①如答图①，连接OA,OB,在优弧AB上任取一点C,连接 CA,CB. .AB=OA=OB,.∠AOB=60°， L4CB=2∠40B=30, 故弦AB所对的圆周角的度数为30°； ②如答图②，连接OA,OB,在劣弧AB上任取一点D,连接 AD,OD,BD, 则∠BMD=左∠B0D,∠ABD= 2∠A0D, .LBAD+LABD=(ROD+LAOD)-LAOB. AB=OA=OB. .∠AOB=60°，∠BAD+∠ABD=30°， .∠ADB=180°-（∠BAD+∠ABD)=150°， 故弦AB所对的圆周角的度数为150. 综上，弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°. 0 B A D B 8题答图① 8题答图② 9.解：如答图，设BC的中点为O,连接OP,OD, ∠BPC=90°，∴点P在以BC为直径的半圆0上运动，当 点O,P,D在一条直线上时，PD的值最小，最小值为OD- OP的值 AB-3,BG=4OC=8G=2-0P,CD-AB-3, .0D=√0C2+CD2=√13，.PD的最小值为√3-2. 9题答图 ·41…第二十九章圆Y 数学活动（八）四等分圆周 [答案P40] 1.下列关于用尺规等分圆周的说法：①在圆上依次截取等于半径的弦，就可以六等分圆；②作相互垂直的 两条直径，就可以四等分圆；③按①的方法将圆六等分，六个等分点中三个不相邻的点三等分；④按②的 方法将圆四等分，再平分四条弧，就可以八等分圆.其中正确的个数有 () A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.法国军事家拿破仑非常喜欢数学.据说他想出一种作图方法，可以只用一把圆规，将已知圆周四等分.具 体作法：如图①，设⊙0的半径是 ①在⊙0圆周上任取一点A; ②以r为半径，从点A开始，在圆周上连续截取，顺次得到点B,C,D; ③分别以点A和点D为圆心，AC长为半径，画弧相交于点E; ④以点A为圆心，OE长为半径，从点A开始，在圆周上连续截取，顺次得到点F,G,则A,G,D,F四点即 为⊙0的四等分点.（为便于后续解题，图①中已补充连接线段OA,AC,OE) (1)应用几何知识说明上述作图方法可以将圆周四等分的理由； (2)请用不同于上述作图方法，在图②中用尺规完成作图，将圆周四等分（不写作法，保留作图痕迹）. 0 2题图① 2题图② 见此图标器微信扫码进人初中智慧学园自 125 全程导练·九年级数学（上册）》 数学活动（九） 探究四点共圆的条件 [答案P41] 【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点“共圆”，简称“四点共圆”.学习了性质 “圆内接四边形的对角互补”后，某学习小组继续探究，提出猜想“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，并 尝试用反证法进行验证 【验证猜想】已知：在四边形ABCD中，∠A+∠C=180° 求证：A,B,C,D四点共圆 证明：过点A,B,D作⊙0，假设点C不在⊙0上，则点C在⊙0外或⊙0内，如图①，若点C在⊙0外，设 BC交⊙O于点C',连接DC',则LDCB>∠C. ,四边形ABC'D是⊙O的内接四边形，∴.∠A+∠DCB=180°. :∠A+∠C=180°，∴.∠DCB=∠C,与∠DCB>∠C矛盾，故点C不可能在圆外 若点C在圆内… (1)在图②中，用直尺和圆规作出过点A,B,D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明； 【深入探究】得出“对角互补的四边形的四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的 条件吗？请你在此基础上展开探究、 (2)如图③，在线段AB同侧有C,D两点，连接AC,BC,AD,BD.如果∠C=∠D,那么A,B,C,D四点共圆， 请完成证明（如需辅助圆，画出示意图即可）； 【结论应用】应用以上结论，解决下列问题： (3)如图④，在四边形ABCD中，∠1=∠4，∠2=30°，则∠3= °； (4)如图⑤，在△ABC中，∠CAB=∠CBA=50°，点E在AB上，连接CE,作点B关于CE的对称点B',连接 B'C,B'E,BB',∠B'CE=18°，求∠B'EA的度数； 【拓展延伸】 (5)如图⑥，AB=BC=5,∠ABC=60°，D为平面内的一个动点，连接DA,DB,若始终有∠ADB=60°，则当四 边形ABCD的周长最大时，求DC与BD的数量关系（直接写出答案）. 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 图6 126 见此图标骏微信打码进人初中智慧学园目