第25章 专题3 一元二次方程的其他应用-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测教师用书Word（人教版·新教材）

[答案　P8]

古代数学问题　

我国古代数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几何？”其大意是：一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的宽和长各为多少步？设宽为x步，则下列符合题意的方程是(C)

A．x(12－x)＝864     B．x(x－12)＝864

C．x(12＋x)＝864     D．＝864

《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高、宽，有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线的长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是8尺．

动点问题　

(广东深圳期中)如图，在矩形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝3 cm，动点P，Q同时出发，点P从A点出发以2 cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q从点C出发以1 cm/s的速度向点D移动．请问当点P和点Q的距离是5 cm时，P，Q两点出发了(B)

3题图

A．4 s     B． s或4 s

C． s或8 s     D． s

如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A开始以1 cm/s的速度沿边AB向点B移动，与此同时，点Q从点B开始以2 cm/s的速度沿边BC向点C移动．点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q移动到点C时，两点停止移动．问：

(1)经过多长时间，△PBQ的面积等于8 cm2?

(2)△PBQ的面积能等于△ABC面积的一半吗？若能，请求出此时的移动时间；若不能，

请说明理由．

4题图

解：(1)点P从点A到点B的时间为6÷1＝6(s)，点Q从点B到点C的时间为8÷2＝4(s).

设经过t s，△PBQ的面积等于8 cm2，

则(6－t)·2t＝8，∴t2－6t＋8＝0，

解得t1＝2，t2＝4，

∴经过2 s或4 s，△PBQ的面积等于8 cm2.

(2)不会．理由：

在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，

∴S△ABC＝×6×8＝24(cm2).

设经过m s，△PBQ的面积等于△ABC的面积的一半，

根据题意，得(6－m)·2m＝×24，

∴m2－6m＋12＝0.

∵b2－4ac＝(－6)2－4×12＝36－48＝－12<0，

∴关于m的一元二次方程无实数根，

∴△PBQ的面积不会等于△ABC的面积的一半．

 

规律问题　

观察下列各图，图①中有1个三角形，图②中有3个三角形，图③中有6个三角形，……

(1)根据规律可知图④中有10个三角形，图中有个三角形(用含正整数n的代数式表示)；

(2)在(1)中是否存在一个图形，该图形中共有29个三角形？请通过计算说明．