第25章 一元二次方程 本章考点检测训练-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测教师用书Word（人教版·新教材）

[答案　P9] 一元二次方程的相关概念　　 (四川南充期中)下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为(B) A．ax2＋bx＋c＝0 B．x2－5＝2x C．x2＋3x－1＝y2＋5 D．x2＋＝0 把一元二次方程(x－)(x＋)＋(x－2)2＝2化成一般形式为2x2－4x－1＝0． (绵阳中考)若关于x的一元二次方程x2－6x＋a＝0的一个根为1，则a的值为5． 一元二次方程的解法　　 解下列方程： (1)x2＋4x＝3； 解：(1)x2＋4x＋4＝3＋4，即(x＋2)2＝7， ∴x＋2＝±，∴x1＝－2＋，x2＝－2－. (2)x2－2x－3＝0； 解：(2)∵a＝1，b＝－2，c＝－3， ∴Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－3)＝20>0， ∴x＝＝＝±， ∴x1＝＋，x2＝－. (3)x2－16＝2(x＋4)； 解：(3)(x＋4)(x－4)－2(x＋4)＝0， (x＋4)(x－4－2)＝0， 即(x＋4)(x－6)＝0， ∴x＋4＝0或x－6＝0， ∴x1＝－4，x2＝6. (4)(2x＋1)2＋3(2x＋1)＝0. 解：(4)分解因式，得(2x＋1)(2x＋1＋3)＝0， 即(2x＋1)(2x＋4)＝0， ∴2x＋1＝0或2x＋4＝0，∴x1＝－，x2＝－2. 一元二次方程根的判别式　　 (北京中考)若关于x的一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为(C) A．－4 B．－1 C．1 D．4 (西宁中考)若关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值－1(答案不唯一)． 对于实数a，b，定义新运算：a※b＝ab2－b.若关于x的方程1※x＝k有实数根，则k的取值范围为k≥－． 一元二次方程根与系数的关系　　 (广西中考)已知x1，x2是方程x2－20x－25＝0的两个实数根，则x1＋x2＝(C) A．－25 B．－20 C．20 D．25 (乐山中考)若方程x2－x－2＝0的两个根是x1和x2，则xx2＋x1x的值为(C) A．－1 B．1 C．－2 D．2 (河北中考)若一元二次方程x(x＋2)－3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于(C) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (宿迁中考)方程x2－2 024x－2 025＝0的两个根分别是m，n，则(m2－2 023m－2 026)(n2－2 023n－2 026)＝－4 048． 已知关于x的一元二次方程x2－4x－k＋1＝0有两个实数根分别为x1，x2. (1)求k的取值范围； (2)若xx2＋x1x＝k2－1，求k的值． 解：(1)∵一元二次方程有两个实数根， ∴Δ＝(－4)2－4×1×(－k＋1)＝4k＋12≥0， 解得k≥－3. (2)∵x1＋x2＝4，x1x2＝－k＋1， xx2＋x1x＝x1x2(x＋x)＝x1x2[(x1＋x2)2－2x1x2]， ∴(－k＋1)[42－2(－k＋1)]＝k2－1， 解得k＝1或k＝－5. ∵k≥－3，∴k＝－5不合题意，舍去，∴k＝1. 一元二次方程的实际应用　　 (广东中考)广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2 500万元，预计7月产值将增至9 100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为(A) A．2 500(1＋x)2＝9 100 B．2 500(1－x)2＝9 100 C．2 500(1－2x)2＝9 100 D．2 500(1＋2x)2＝9 100 某商店销售一款袋装食品，每袋的成本价为40元，物价部门规定，每袋的售价大于40元但不得高于70元，且为整数．经市场调查发现，当每袋的售价为50元时，日均销售量为100袋，在此基础上，每袋的售价每增加1元，日均销售量减少5袋；每袋的售价每减少1元，日均销售量增加5袋．设该商店这款食品每袋的售价为x元． (1)若该商店这款袋装食品日均销售额为3 000元，求x的值；(销售额＝销售量×售价) (2)是否存在x的值，使得该商店销售这款袋装食品的日均毛利润为1 150元？若存在，求出x的值；若不存在，则说明理由．[毛利润＝销售量×(售价－成本价)] 解：(1)当该商店这款食品每袋的售价为x元时，日均销售量为100－5(x－50)＝(350－5x)袋． 根据题意，得x(350－5x)＝3 000， 整理，得x2－70x＋600＝0， 解得x1＝10(不合题意，舍去)，x2＝60. 答：x的值为60. (2)不存在x的值，使得该商店销售这款袋装食品的日均毛利润为1 150元． 理由如下：假设存在x的值，使得该商店销售这款袋装食品的日均毛利润为1 150元，当该商店这款食品每袋的售价为x元时，每袋的销售利润为(x－40)元，日均销售量为(350－5x)袋． 根据题意，得(x－40)(350－5x)＝1 150， 整理，得x2－110x＋3 030＝0. ∵Δ＝(－110)2－4×1×3 030＝－20<0， ∴原方程无实数根， ∴假设不成立，即不存在x的值，使得该商店销售这款袋装食品的日均毛利润为1 150元． 如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A开始以1 cm/s的速度沿AB边向点B移动，点Q从点B开始以2 cm/s的速度沿BC边向点C移动．如果P，Q分别从A，B两点同时出发，设移动的时间为t s．求： (1)当t为多少时，△PBQ的面积等于8 cm2? (2)当t为多少时，△PQD是以PD为斜边的直角三角形？ 15题图 解：(1)易知BP＝(6－t)cm，BQ＝2t cm. ∵△PBQ的面积等于8 cm2， ∴(6－t)×2t＝8， 整理，得t2－6t＋8＝0，解得t1＝2，t2＝4， ∴当t为2或4时，△PBQ的面积等于8 cm2. (2)易知PD2＝t2＋122，PQ2＝(6－t)2＋(2t)2， QD2＝(12－2t)2＋62. ∵△PQD是以PD为斜边的直角三角形， ∴PD2＝PQ2＋QD2， 即t2＋122＝(6－t)2＋(2t)2＋(12－2t)2＋62， 整理，得2t2－15t＋18＝0，解得t1＝6，t2＝， ∴当t为或6时，△PQD是以PD为斜边的直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $