第25章 数学活动（二） 神奇的线段分割-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测教师用书Word（人教版·新教材）

如图所示线段AB，定义“完美分割”：将AB分成三条两两不等的线段a，b，c(a>b>c)，满足a＝b＋c且＋＝.

(1)求证：这样的“完美分割”存在，并求出a∶b∶c的最简比；

(1)证明：由题意，得

把a＝b＋c代入＋＝，得＋＝，

整理，得b2－bc－c2＝0.

把上式看成关于b的一元二次方程，由求根公式，得b＝c.

因为b>0，c>0，所以取正根b＝c，

代入a＝b＋c，得a＝c＋c＝c，

所以a∶b∶c＝(3＋)∶(1＋)∶2，

所以这样的“完美分割”存在，三条线段的最简比为(3＋)∶(1＋)∶2.

 

 

(2)用直尺和圆规作出线段AB的“完美分割点”M，N(保留作图痕迹).

题图

 

 

(2)解：如答图所示，点M，N即为所求的点．