阅读与思考 一元二次方程与黄金分割数&数学活动 探究方程有公共解的条件与神奇的线段分割（PDF部分书稿）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

阅读与思考一元 1.黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领 域.例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割.如 图，枫叶的叶脉AC长为14cm,B为线段 AC上一点(A5>5C).H满足6-把，则 称点B为线段AC的黄金分割点.若BC的 长为xcm,则根据题意可列方程为（ A.(14-x)2=14x B.x2=14(14-x) C.x(14-x)=142 D.14(1-x)2=14-x C。 2.(教材P24习题T9变式)如图，已知点C在 线段AB上，且满足AC=AB·BC. (1)若AB=1,求AC的长； (2)若AC比BC大2，求AB的长. A C B 24数学九年级上册人教版 次方程与黄金分割数 3.综合与实践 【主题】黄金分割数 【素材】如图①，我们知道，如果点P是线段 AB上一点(AP>BP),且满足BP:AP= AP:AB,那么这种分割就叫作黄金分割.其 中，线段AP与AB的比值或线段BP与AP 的比值叫作黄金分割数， 【实践操作】若线段AB=1,设AP的长为x, 则BP=1-x. .BP:AP-AP:AB, .(1-x):x=x:1. …… 根据此方法可计算出黄金分割数为 (结果保留根号) 【实践探索】二胡是我国古老的民族拉弦乐 器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴 弦长的黄金分割点处(“千斤”上面一截琴弦 比下面一截琴弦短)，奏出来的音调最和谐 悦耳.如图②，一把二胡的琴弦长为80cm, 求“千斤”下面一截琴弦长.（结果保留根号） 琴头 琴轴 千斤 弓杆 弓毛、 山琴筒 琴托琴皮 图① 图② 数学活动 探究方程有公共解的条件与神奇的线段分割 活动个探究方程有公共解的条件 活动2神奇的线段分割 1.若一元二次方程ax2-bx十c=0,bx2-cx十 2.【阅读材料】老师出了一道题：如果三条线段 a=0,cx2一ax十b=0(a≠b≠c,abc≠0)恰有 的长度分别为a,b,c,且a>b>c,试找出一 一个公共解. 组a,6c的值，使a=6什c和2+是=云同时 (1)求证：a+b+c=0. 成立 证明：将三个方程相加，得(a十b十c)x2 (a+b+c)x+(a+b+c)=0, 小明是这么解答的：将a=b十c代入2十1=3 c b ∴.(a+b+c)(x2-x十1)=0. 化简可得=3c2,把c看作常数，可得b=√3c, … .a=(3+1)c. 请将后面的证明过程补充完整.。 .a:b:c=(√3+1)：√3：1. (2)求方程ax2-bx十c=0的解. 答案不唯一，取满足这个比例式的正数值即 我们可以用两种方法进行求解： 可，如：a=√3十1，b=√3，c=1. 方法一：用因式分解法求解， 【尝试应用】仿照上面小明的解题思路，解答 .a+b+c=0,.b=-a-c. 下列问题： ..ax2-bx+c=ax+(a+c)x+c=ax+ax+ 如果三条线段的长度分别为a,b,c,且a> cx十c=a.x(x+1)十c(x+1)=(x+1)(a.x十c. b>c,试找出一组a,b,c的值，使a=2b十c ax2-bx+c=0, ∴.x十1=0或ax十c=0.∴01=-1，x2= 和+名-同时成立. 方法二：用公式法求解。 请你写出方法二的具体过程， 第二十五章一元二次方程 2511.解：(1)”3》(2)设这个多边形的边数是x.根据题意，得(，3》=35，解得x 2 2 =一7（不合题意，舍去），x2=10.∴.这个多边形的边数是10.(3)A同学的说法不正确. 理由如下：当n3》=10时，整理，得-3m-20=0,解得n=3±)√8丽.：n为正整 2 2 数，多边形的对角线不可能有10条，即A同学的说法不正确. 阅读与思考一元二次方程与黄金分割数 1.A 2.解：(1)设AC=a,则BC=AB-AC=1-a.,AC=AB·BC,.a2=1-a,解得a1= 5,a:=5(含去).iAC-5号.2)设AC-,则BC=-2∴AB=AC+ BC=2x-2.AC2=AB·BC,∴.x2=(2x-2)(x-2),解得x1=3十√5，x2=3-√5（舍 去)..AB=2x-2=4+2√5. 3.解：【实践操作5,1【实践探索】：二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处， :“千斤”下面一截琴弦长为80×5,1=405-40(cm). 数学活动探究方程有公共解的条件与神奇的线段分割 1.解：1：2-x+1=(x-2)）°+>0，a+b计c=0.(2)ra+b+c=0,b=-a -c..ax2-bx+c=0可化为ax2+(a+c)x+c=0.∴.△=(a+c)2-4ac=(a-c)2>0. x=二a+o法ad.a=-台m=-l. 2a 2解：将a=26+c代人2+合=，得异e+合=22x+(26+0c=(2b+e6 化简，得26-3bc一c2=0.把c看作常数，利用求根公式进行计算，得6=3±√区。.：6 >>0,6=3+亚。.a=5+,区。.a:6:c=5+,亚：3+厘：1，答案不唯 4 2 2 4 一，取满足这个比例式的正数值即可，如：a=10十2√17，b=3十√/17，c=4. 第二十五章归纳与提升 思维导图梳理 一整式？不相等相等无一夕 aa 核心考点突破 1.A2.-23.-44.C 5.解：(1)整理，得(x一2)2=24.根据平方根的意义，得x一2=土2√6.∴.x1=2十2√6， x2=2一2√6.(2)整理，得(x十1)(x-2)+2(x-2)=0.左边因式分解，得(x-2)(x+1 +2)=0.x-2=0,或x+3=0.=2,=-3.(3)a=2b=-56=1,4 =-4ac=(-)2-4X分×1=1>0.·方程有两个不相等的实数根.·x -b±B-4ac=-（-3±-3士1.即x1=3+1,x=3-1. 2a 2× 6.C7.C8.-2(答案不唯-，m<-号即可) 9.解：(1)由题意，得△=22-4×1×(3-k)>0,解得>2.(2)·方程的两个根为a,B, ∴a8=3-k.k2=3-k十3k,解得k1=3,k2=一1.由(1)知k>2,∴.k=3. 10.10% 7 11.解：（任务一）设扩建后正方形就餐区域的边长为xm.根据题意，得(x一6)(x一8) =168,解得x1=20,x2=一6（舍去）.答：扩建后正方形就餐区域的边长为20m.(任务 二)设收费标准降低y元/人.根据题意，得(200-)(50+六×5)-11250，解得一 y2=50.200-50=150(元/人).答：收费标准应定为150元/人. 第二十六章二次函数 26.1二次函数的概念 1.D2.y=5.x2-5.x5-53.-14.A5.y=-元x2+16π 6.(1)20x2二次(2)2x2+80x二次7.C8.y=-3x2+30x6≤x<10 9.解：1Dy=2×1500×(10+z)-号×150X102=750r+1500x(2)当x=5 时，y=750×52+15000×5=93750.答：当该车行驶速度增加5m/s时，它的动能增加 93750J. 26.2二次函数的图象和性质 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 1.A2.D3.> 4.解：(1)如图所示.(2)开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0).(3)当x>2时，y< -1. 6-42 46x 5.B6.B7.a>b>c>d 8.解：(1)由题意，得m2十m-4=2,且m十2≠0，解得m1=2,m2=-3.∴.m的值为2 或-3.(2)由(1)，得m的值为2或-3.，当x<0时，y随x的增大而增大，m十2< 0,解得m<-2.∴.m=一3. 26.2.2二次函数y=a(x-h)2十k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十k的图象和性质 1.C2.B3.C4.B5.<【变式题】< 6.解：(1)当x>0时，函数值y随x的增大而减小.(2)，a=一3<0，∴.当x=0时，函 数值y取得最大值，最大值为3. 7.y=3x2-2 8.解：两个函数的图象如图所示.(1)抛物线y=一3x2十2的开口向下，对称轴为y轴， 顶点坐标为(0,2)；抛物线y=一3x2的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0). (2)上2 y 5 4 y=-3x+2 54-3-2-112345x 3 44 -5 9.D10.D11.2 8 12.解：(1)11(2)如图所示.(3)由(1)知y=x2-b-1=x2-2.当-4≤x≤1时，y =x2-2的最小值为一2，最大值为(-4)2-2=14.y=x-2的最大值和最小值的差 为14-(-2)=16.(4)6 y=x+1 5 4 3 2 VEX-2 5-43-21 -5 (第12题图) (第13题图) 13.解：1x为任意实数（②）① 3②③如图所示.(3)B(4)a<b 第2课时二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 1.A2.A3.B4.C5.A【变式题】< 6.解：，抛物线y=a(x一h)2有最大值，该抛物线的开口向下.：当x=2时，函数有 最大值，.该抛物线的对称轴是直线x=2..当x>2时，y随x的增大而减小. 7.(1)y=-2(x十4)2(2)右5 8.解：(1)可以.抛物线y=(x一3)2向左平移10个单位长度可得到抛物线y=(x十 7)2.(2)需要向右平移6个单位长度. 9.C10.C11.C12.2≤d3或4≤d≤5 13.解：(1)由题意，得h=3,∴y=a(x-3)2.把B(0,4)代入，得4=a×(0-3)2,解得a =号.∴抛物线的函数解析式为y=号（红一3只.(2）能，设平移后的抛物线的函数解析 式为y=号(x-3十m2,把C(7,4)代入，得号×(7-3+m)2=4,解得m=-1,m -7.“把抛物线y=号(x一3严向右平移1个单位长度或7个单位长度经过点C7,40. 14.解：(1)h(2)如图，分三种情况讨论：①若h<2,则当x=2时，y=-1,∴.一（2 h)2=-1,解得h1=1,h2=3(舍去)；②若2≤h≤5，则y=一(x-h)2的最大值为0，不 符合题意；③若h>5,则当x=5时，y=-1,∴.-(5-h)2=-1,解得h1=4(舍去)，h2 =6.综上所述，h的值为1或6. y 1 第3课时二次函数y=a(x一h)2+k的图象和性质 1.A2.D3.D4.C5.y=(x+1)+3(答案不唯一) 6.解：(1)二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2，一1).(2)'y =合(x-2)-1,1<x<5,当x=2时，y取最小值-1；当x=5时y取最大值名 7 “当1<<5时，二次函数的取值范围是-1<？ 7.D 8.解：(1)a=-2,h=-5,k=-2.(2)由(1)知y=a(x-h)2+k=-2(x+5)2-2.设平 移后的抛物线的函数解析式为y=一2(x十5)2-2+m.将（一2，一10）代入，得-2× (一2十5)2-2十m=一10，解得m=10.∴.平移后的抛物线的函数解析式为y=-2(x十 5)2+8. 9