29.2.1 垂直于弦的直径-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测教师用书Word（人教版·新教材）

29．2　圆的有关性质 29．2.1　垂直于弦的直径 圆的对称性　　 下列说法中，不正确的是(C) A．圆是轴对称图形 B．圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴 C．圆的任意一条直径都是圆的对称轴 D．经过圆心的任意直线都是圆的对称轴 垂径定理　　 如图，点A，B在⊙O上，直径MN⊥AB于点C，下列结论中不一定成立的是(B) A．AC＝CB B．OC＝CN C．＝ D．＝ 2题图 3题图 4题图 (宜宾中考)如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D.若AB＝8，OC＝5，则OD的长是(A) A．3 B．2 C．6 D． (长沙中考)如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，OB，若AB＝OA，AC＝3，则OA的长为6． (教材母题变式)如图，AB是⊙O的弦，C，D为直线AB上的两点，OC＝OD.求证：AC＝BD. 5题图 证明：过点O作OH⊥AB于点H， 则由垂径定理，得AH＝BH. ∵OC＝OD，OH⊥AB，∴CH＝DH， ∴CH－AH＝DH－BH，即AC＝BD. 垂径定理的推论　　 下列命题正确的有(A) ①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；②垂直于弦的直线平分弦；③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧；④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7题图 (上海杨浦区期末)如图，在圆O中，直径AB＝10，弦CD交AB于点E，且CE＝DE，若BE＝2，则CD＝8． 如图，AB，CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB的中点E的直径MN与CD交于点F，求证：CF＝DF. 8题图 证明：∵E为AB的中点，MN过圆心O， ∴MN⊥AB. ∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∴CF＝DF. 垂径定理及其推论的应用　　 (天津红桥区期末)如图，一个圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB的宽为8 cm，水最深地方的深度为2 cm，则该输水管的半径为5cm. 9题图 10题图①　　　　10题图② [传统文化]如图①，这是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图②是月亮门的示意图，其中AB＝1.8米，C为AB中点，D为月亮门最高点，圆心O在线段CD上，CD＝2.7米，月亮门所在圆半径的长为1.5米． 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为(C) A． B．2 C．2 D．8 1题图 2题图 (重庆巴南区期末)如图，AB是⊙O的弦，D是弦AB的中点，OD的延长线与⊙O交于点C，AE是直径，连接BE，DE，∠ABE＝90°.若DE＝3OD＝3，则半径OC的长为(C) A．2 B． C． D． (辽宁大连期末)如图，⊙O的直径CD＝6 cm，AB是⊙O的弦，AM＝BM，OM∶OC＝2∶3，则AB的长为2cm. 3题图 4题图 5题图 如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为3，最大值为5． 如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为． 如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC. (1)求∠B的度数； (2)若CE＝，求⊙O的半径． 6题图 解：(1)∵AE⊥BC，且AE过圆心O， ∴CE＝BE， ∴AE是BC的垂直平分线，∴AC＝AB. 同理AC＝BC，∴AB＝AC＝BC， ∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°. (2)∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°. ∵CD⊥AB，AC＝BC， ∴∠DCB＝∠ACB＝30°，∴OC＝2OE. 在Rt△COE中，OC2＝OE2＋CE2，CE＝， ∴(2OE)2＝OE2＋()2，解得OE＝1(负值舍去)， ∴OC＝2OE＝2，即⊙O的半径为2. (浙江杭州期末)如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30 m，拱高PM为9 m，当洪水泛滥到跨度只有15 m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2 m，即PN＝2 m时，试求： (1)拱桥所在的圆的半径； (2)通过计算说明是否需要采取紧急措施． 7题图 解：(1)如答图，设圆弧所在圆的 圆心为O，连接OA，OA′. 设半径为x m， 则OA＝OA′＝OP＝x m. 由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N. ∵AB＝30 m，∴AM＝AB＝15 m. 连接OM.∵AM＝BM， 7题答图 ∴OM⊥AB，且点O，M，P共线． 在Rt△AOM中，OM＝OP－PM＝(x－9)m， 由勾股定理可得AO2＝OM2＋AM2， 即x2＝(x－9)2＋152，解得x＝17， 即拱桥所在的圆的半径为17 m. (2)∵OP＝17 m，∴ON＝OP－PN＝17－2＝15(m). 在Rt△A′ON中，由勾股定理可得 A′N＝＝＝8(m)， ∴A′B′＝2A′N＝16 m>15 m，∴不需要采取紧急措施． [核心素养]在⊙O中，AB为直径，P是AB上一点，∠NPB＝45°. (1)如图①，若点P与圆心O重合，直接写出的值； (2)如图②，若MP＝1，NP＝7，求的值； (3)当点P在AB上运动时，(2)中的结论是否改变？若不变，求其值；若变化，求其变化的范围． 　8题图①　　　8题图②　　　8题备用图 解：(1)＝. (2)＝＝. (3)(2)中的结论不改变．＝. (详细答案见《参考答案及解析》P38) 学科网（北京）股份有限公司 $