第十章 数的开方单元测试卷2026-2027学年华东师大版八年级上册数学

**基本信息** 数的开方单元测试卷，满分150分，涵盖平方根、立方根、实数分类与运算等核心知识，通过基础题与创新题结合，适配单元复习，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|实数估算（如√13介于3-4）、无理数判断|结合数轴比较大小，考查几何直观| |填空题|6/18|算术平方根与立方根（如64的开方）、新运算定义|通过中点计算（数轴中点表示），体现数形结合| |解答题|10/102|平方根性质应用（如正数两平方根关系）、新定义探究（如i的平方根）|26题拓展虚数概念，培养创新意识；25题新运算结合不等式，提升推理能力|

第10章 数的开方单元测试卷 满分：150分 出题人：杨老师 一、单选题（每题3分，共30分） 1．实数介于两个相邻的整数之间，这两个整数是（     ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 2．在2，，，10，8.19，六个数中，非负数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列说法中，错误的是（     ） A．的算术平方根是 B．的平方根是 C．的立方根是 D．的立方根等于 4．若m是的小数部分，n是的小数部分，则的值是（     ） A．1 B． C．4 D． 5．在，，，0.257，，，（每两个1之间0的个数依次加1）中，无理数有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．实数与在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 7．观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 8．已知，则（     ） A．1 B． C．2 D． 9．将1、、、按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是（     ） A． B． C． D． 10．对，定义一种新运算，规定（其中，均为非零常数），例如；若，，则下列结论正确的个数是（ ） ①，； ②，则； ③若，则，有且仅有7组正整数解． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（每题3分，共18分） 11．64的算术平方根是__________，立方根是__________；的相反数是__________，绝对值是__________，倒数是__________．的平方根是__________． 12．比较大小：________（填“>”“<”或“=”）． 13．如图，，在数轴上对应的点分别为，点是的中点，则数轴上点表示的数是______． 14．关于x、y的方程组的解是，则的值是____________． 15．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是__________． 16．定义一种新运算：当时，；当时，． 若，则的取值范围是______________． 三、解答题 17．（8分）求下列各式中的值： (1)； (2)． 18．（8分）计算： (1)； (2)． 19．（10分）对于实数，，我们定义符号的意义为当时，，当时，，如：，． 根据以上材料回答下列问题： (1)______，______； (2)当时，求的取值范围． 20．（10分）将下列实数在数轴上表示出来，并比较它们的大小（用“<”连接）． ，，0，，， 21．（10分）如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A表示的数为m． (1)实数m的值是__________； (2)求的值． 22．（10分）已知与是正数的两个不同的平方根． (1)求的值； (2)若，求的立方根． 23．（10分）已知：和是某个正数的两个不相等的平方根，的立方根为．求： (1)a、b的值； (2)的平方根． 24．（10分）已知一个正数x的两个不同平方根分别是和． (1)求x的值； (2)若b为的算术平方根，c为的立方根，求的立方根． 25．（12分）对于任意有理数，，定义一种新运算：，例如：．请回答下列问题： (1)________，________； (2)若，，求的值； (3)若的解集只有个整数解，求的取值范围． 26．（14分）小明是一位善于思考．勇于创新的同学．在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．有一天，小明想：如果存在一个数，使，那么，因此就有两个平方根了．进一步，小明想：因为，所以的平方根是；因为，所以的平方根就是．请你根据上面的信息解答下列问题： （1）求，的平方根； （2）求，，，，，，…的值，你发现了什么规律？请你将发现的规律用式子表示出来； （3）求的值． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C A B D B B C D 1．C 【分析】通过比较13与相邻完全平方数的大小，确定的范围． 【详解】解: ∵ ，，， ∴ ， 即 ． ∴介于3和4之间． 2．D 【详解】解：题中的非负数有2，10，8.19，，共4个． 3．C 【详解】解：对于选项A：，故 A正确； 对于选项B：∵，而的平方根为， ∴的平方根是，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确． 4．A 【分析】先估算出m，n的值，然后再计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴，即的整数部分为3， ∴． ∵， ∴， 即的整数部分为0． ∴． ∴． 5．B 【分析】先化简可化简的开方数，再逐一判断各数类型，统计无理数个数． 【详解】解：计算得，有理数有，0.257，，共3个； 无理数有，，，（每两个1之间0的个数依次加1），共4个． 6．D 【分析】根据数轴确定 的正负及大小关系，通过移项和因式分解解不等式，确定的取值范围，结合选项即可得出答案 【详解】解：由数轴可知， ， 观察选项，只有 ，符合题意 7．B 【分析】利用平方与开平方的互逆关系，结合表格中给出的的值验证各选项． 【详解】解：由表格可知：，，，， ，，， A、C、D选项错误； ， ，故B选项正确． 8．B 【分析】根据绝对值、算术平方根的非负性即可解出、的值，再把、的值代入，计算即可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 9．C 【分析】根据图中的规律找到与表示的两数，再根据二次根式的乘法法则计算出两数之积． 【详解】解：表示第排第个数， 由图中规律可知前排有个数， 到第排第个数共有个数， ， 表示的数是， 表示第排第个数， 前排有个数， 到第排第个数共有个数， ， 表示的数是， 与表示的两数之积是. 10．D 【分析】先根据已知条件解出和的值，再依次验证每个结论的正确性，结合非负数的性质，二元一次方程组的解法，正整数的概念判断即可． 【详解】解：∵，， 解 ，得， ∴结论①正确； ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， 解，得， ∴结论②正确； ∵，， ∴， ∴， 若，均为正整数，则，， 解，得， ∵为正整数， ∴可取1，2，3，4，5，6，7， ∴，有且仅有7组正整数解， ∴结论③正确； 综上所述，正确结论有3个． 11． 【分析】根据算术平方根、立方根、相反数、绝对值、倒数、平方根的定义，分步计算即可. 【详解】解：64的算术平方根是，立方根是； 的相反数是，绝对值是，倒数是． 的平方根是． 12． 【分析】将整数化为立方根形式，通过比较被开方数的大小即可得到结果． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴． 13． 【分析】本题考查了实数与数轴的特征，以及两点间的距离的求法，解题的关键是要熟练掌握这些内容． 设表示的数是，根据，求出的值即可． 【详解】解：设表示的数是， ∵， ∴ ∴． 14． 【分析】将方程组的解代入原方程组，求出和的值，再代入所求式子计算算术平方根即可． 【详解】解：把代入原方程组，得 ， 解得：， 将代入，得：． 15． 【分析】先根据数轴推出，进而得到，化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，， ． 16．或 【分析】分和两种情况，根据新运算规则列出不等式，分别求解后得到最终结果． 【详解】解：当，即时，根据新运算规则得， 整理得， 解得， 结合前提，得此情况的取值范围为； 当，即时，根据新运算规则得， 整理得， 解得， 结合前提，得此情况的取值范围为； 综上，的取值范围是或． 17．(1)或 (2) 【分析】（1）利用平方根解方程； （2）利用立方根解方程 【详解】（1）解：， ∵， ∴ 解得或； （2）解：， ， ∵， ． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据求一个数的算术平方根、立方根、绝对值，进行计算即可求解； （2）根据有理数的乘方，化简绝对值，求一个数的立方根，算术平方根进行计算即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：． 19．(1)； (2) 【分析】（1）根据所给的定义求解即可； （2）根据所给的定义可得，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 20． 【分析】根据数轴的特点，将各个点表示在数轴上，利用数轴上表示的数从左往右的顺序就是从小到大的顺序比较大小即可． 【详解】解：，． 21．(1) (2) 【分析】（1）直接用点B表示数减去2个单位长度即可； （2）将m的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数， ∴实数m的值是； （2）解：当时， ． 22．(1) (2) 【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，则，再把所求式子变形为，据此代入求值即可； （2）同（1）得到，即，根据求出a的值，进而求出m的值，再求出的值，最后根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵与是正数的两个不同的平方根， ∴， ∴ ； （2）解：∵与是正数的两个不同的平方根， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的立方根为． 23．(1) (2) 【分析】(1) 一个正数的两个不相等的平方根互为相反数，据此可列方程求出的值；再根据立方根的定义求出的值． (2) 将、的值代入，再根据平方根的定义求解． 【详解】（1）解：∵ 和是某个正数的两个不相等的平方根， ∴ ， ∴ ， 解得：， ∵ 的立方根为， ∴ ， 解得：． （2）解：∵ ，， ∴ ， ∴ 的平方根为． 24．(1)9 (2)1 【分析】（1）根据平方根的性质得，即可求出a的值，从而求出x的值； （2）先根据算术平方根、立方根的定义求出b、c的值，再计算，最后根据立方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 则， 所以； （2）解：由（1）知，， 所以，， 因为16的算术平方根是4，27的立方根是3，b为的算术平方根，c为的立方根， 所以，， 所以， 因为1的立方根是1， 所以的立方根为1． 25．(1)， (2)； (3)． 【分析】（1）根据新运算计算即可； （2）由新运算，结合已知可得，，解得，，代入计算即可； （3）由新运算，结合已知可得的解集只有个整数解，可得，即可得的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴，． （2）解：∵， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵的解集只有个整数解， ∴的解集只有个整数解， ∴的解集只有个整数解， ∴， ∴． 26．（1），；（2），，，，，；规律：，，，（其中是正整数）；（3）． 【分析】（1）仿照题干信息，直接求，的平方根即可； （2）从开始，逐次往后推导，即可得出，，，，，，…的值，从而根据每一个的结论总结规律即可； （3）在（2）的基础之上，结合周期性规律求解即可． 【详解】（1）∵， ∴的平方根是， ∵， ∴的平方根是． （2）， ， ， ， ， ，…， 规律是：每四个相邻次方为一个循环， 用式子表示为：，，，（其中是正整数）． （3）由（2）可知，中，相邻四个数的和为0， ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查平方根的拓展应用，掌握平方根的基本定义，以及；理解题干中给出的定义是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $