微专题01 直线方程的对称的问题专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线方程对称问题，构建“概念-方法-应用”三层体系，提炼四大对称类型通法与特殊结论，培养几何直观与推理能力，实现系统性突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识清单|2知识点（含4类对称+特殊结论）|点/直线对称通法（中点公式、联立方程、距离相等），特殊对称结论速解|从点对称到直线对称，从一般到特殊，形成“概念生成-原理推导-应用拓展”逻辑链| |典型例题|7典例（28题）|反射问题转化策略，对称点/线求解步骤化|按“点关于点→点关于直线→直线关于点→直线关于直线”递进，覆盖核心考法| |课后检测|16题（选择/填空/解答）|综合应用对称性质解决轨迹、距离问题|强化方法迁移，对接高考高频题型，提升应用意识|

微专题01 直线方程的对称的问题 第一部分：知识清单 知识点一：对称问题 1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式) 求点关于点的对称点 由： 2、点关于直线对称问题（联立两个方程） 求点关于直线：的对称点 ①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中； ② 整理得： 3、直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则） 方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解； 方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数. 方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上. 4、直线关于直线对称问题 4.1直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线 ①求出与的交点 ②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点 ③根据，两点求出直线 4.2直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线 ① ②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线. 知识点二： 常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为 ，关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为 ． 点关于直线的对称点为 ，关于直线的对称点为 ． 第二部分：典型例题汇总 典例一 点关于点的对称问题 典例二 求两点的对称轴 典例三 点关于直线的对称问题 典例四 直线关于点的对称问题 典例五 直线关于直线对称问题（平行） 典例六 直线关于直线对称问题（相交） 第三部分：典型例题 典例一 点关于点的对称问题 1．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知点与关于坐标原点对称，则等于（    ） A．5 B．1 C． D． 2．（25-26高二·全国·课堂例题）已知不同的两点与关于点对称，则（    ） A． B．14 C． D．5 3．（25-26高二上·全国·课后作业）点关于点对称，则________． 4．（25-26高二上·四川遂宁·期中）若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（    ） A． B． C． D． 典例二 点关于直线的对称问题 5．（25-26高二上·天津·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为_____. 6．（25-26高二上·河南南阳·期中）点关于直线的对称点为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）点关于直线对称的点在x轴上，则______． 8．（2026·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 典例三 求两点的对称轴 9．（25-26高二上·四川内江·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知点与点关于直线对称，则的值为__________． 11．（25-26高二·全国·课后作业）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则折痕所在直线的一般式方程为___________. 12．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知点A(1，3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2，1)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是________． 典例四 直线关于点的对称问题 13．（2026·山东·专题训练）直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高一下·江西抚州·期末）与直线关于原点对称的直线的方程为______. 15．（25-26高二上·四川泸州·阶段检测）直线与关于点成中心对称，若的方程是，则的方程是__________ 16．（25-26高一下·内蒙古包头·期末）与直线关于坐标原点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 典例五 直线关于直线对称问题（平行） 17．（25-26高二上·山东枣庄·期中）若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高二·全国·课后作业）已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 19．（25-26高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高二下·上海宝山·期中）直线关于直线对称的直线方程为________ 典例六 直线关于直线对称问题（相交） 21．（25-26高二上·北京大兴·期末）直线关于y轴对称的直线的方程为___________． 22．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 23．（2026高三·全国·专题练习）已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程． 24．（25-26高一下·河北·期末）已知直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 典例七 利用光的反射求直线方程 25．（25-26高二上·山西·期中）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知，，，一束光线从点出发经AC反射后，再经BC上点D反射，落到点上．则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高二上·海南·期末）一条光线从轴上的点发出，经轴反射，反射光线经过点 ，若该过程中光线从点到点经过的路程为 10，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高二上·云南怒江·期中）光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 第四部分：课后检测 1．（25-26高二上·云南昭通·期末）一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽六安·阶段检测）点关于直线对称的点是，则直线在轴上的截距是（    ） A．8 B．-8 C．4 D．-4 4．（25-26高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·福建厦门·期中）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 6．（25-26高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（25-26高二上·重庆渝中·期末）与直线关于x轴对称的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）（多选）已知直线，以下结论正确的有（    ） A．无论为何值，与都互相垂直 B．无论为何值，与都关于直线对称 C．与分别经过定点和 D．存在实数，使得与的交点在轴上 10．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）（多选）已知直线，下列说法正确的是：（    ） A．点关于的对称点的坐标是； B．直线关于的对称直线的方程是； C．直线关于点的对称直线的方程是； D．过点，垂直于直线的直线的方程是 11．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）给出下列四个结论，正确的是（    ） A．平面直角坐标系中，过点的所有直线可以用方程表示 B．直线的斜率为 C．过点且在，轴上的截距相等的直线方程为 D．入射光线所在的直线方程为，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为 12．（25-26高三·全国·一轮复习）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为______． 13．（25-26高二上·福建福州·期中）点关于直线的对称点坐标是______. 14．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）求直线关于直线对称的直线方程为__________. 15．（25-26高一上·四川自贡·阶段检测）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 16．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题01 直线方程的对称的问题 第一部分：知识清单 知识点一：对称问题 1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式) 求点关于点的对称点 由： 2、点关于直线对称问题（联立两个方程） 求点关于直线：的对称点 ①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中； ② 整理得： 3、直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则） 方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解； 方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数. 方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上. 4、直线关于直线对称问题 4.1直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线 ①求出与的交点 ②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点 ③根据，两点求出直线 4.2直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线 ① ②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线. 知识点二： 常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为 ，关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为 ． 点关于直线的对称点为 ，关于直线的对称点为 ． 第二部分：典型例题汇总 典例一 点关于点的对称问题 典例二 求两点的对称轴 典例三 点关于直线的对称问题 典例四 直线关于点的对称问题 典例五 直线关于直线对称问题（平行） 典例六 直线关于直线对称问题（相交） 第三部分：典型例题 典例一 点关于点的对称问题 1．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知点与关于坐标原点对称，则等于（    ） A．5 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据关于原点对称点的性质确定参数，即得答案. 【详解】由与关于坐标原点对称，则， 所以. 故选：B 2．（25-26高二·全国·课堂例题）已知不同的两点与关于点对称，则（    ） A． B．14 C． D．5 【答案】C 【分析】根据中点公式，列出方程，求得的值，进而求得的值. 【详解】因为两点与关于点对称， 可得，即，解得， 所以. 故选：C. 3．（25-26高二上·全国·课后作业）点关于点对称，则________． 【答案】 【分析】由中点坐标公式得出，再有距离公式求解即可. 【详解】由已知得，解得，即， 故答案为： 4．（25-26高二上·四川遂宁·期中）若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点坐标公式即可求解. 【详解】解：设，由题知，点和点的中点为，则 解得：， 所以点的坐标为 故选：B. 典例二 点关于直线的对称问题 5．（25-26高二上·天津·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为_____. 【答案】 【分析】设所求点坐标为，进而根据对称性得，再解方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点的坐标为， 则与的中点在直线，且过与的直线与直线垂直， 因为直线的斜率为， 所以，即，解得， 所以，点关于直线的对称点的坐标为. 故答案为： 6．（25-26高二上·河南南阳·期中）点关于直线的对称点为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设对称点为，由，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即. 故选：A 7．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）点关于直线对称的点在x轴上，则______． 【答案】 【分析】设点关于直线对称的点的坐标为，列出方程组求解即可. 【详解】设点关于直线对称的点的坐标为， 所以，解得，． 故答案为： 8．（2026·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对称关系求得，再由点到线距离公式求解； 【详解】设关于直线的对称点为， 由对称关系可得， 解得． 则点到直线：的距离为． 故选：C． 典例三 求两点的对称轴 9．（25-26高二上·四川内江·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意直线为线段的中垂线，先求出直线的斜率及中点坐标，再根据两直线垂直的性质得到直线的斜率，最后利用点斜式求出方程，化简即可得出. 【详解】因为点关于直线对称的点为，所以直线为线段的中垂线， 因为，中点为，且， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为即. 故选：D 10．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知点与点关于直线对称，则的值为__________． 【答案】 【分析】将线段的中点代入直线的方程中可得答案. 【详解】因为、，所以的中点为， 因为点与点关于直线对称，所以的中点在此直线上， 所以，即， 故答案为： 11．（25-26高二·全国·课后作业）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则折痕所在直线的一般式方程为___________. 【答案】 【分析】利用折痕所在直线与两点连线垂直可得所求直线斜率，利用中点在折痕所在直线上可得所求直线方程. 【详解】点与点连线斜率，折痕所在直线斜率， 又点与点的中点为， 折痕所在直线方程为：，即. 故答案为：. 12．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知点A(1，3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2，1)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是________． 【答案】 【解析】由已知得直线与直线y＝kx＋b垂直，且线段AB的中点在直线y＝kx＋b上，建立方程组，求得k，b,从而可求得直线在x轴上的截距. 【详解】由题意得直线与直线y＝kx＋b垂直，且线段A B的中点在直线y＝kx＋b上， 故解得k＝－，b＝， 所以直线方程为y＝－x＋.令y＝0，即－x＋＝0，解得x＝，故直线y＝kx＋b在x轴上的截距为. 故答案为：. 典例四 直线关于点的对称问题 13．（2026·山东·专题训练）直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果. 【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为， 则其关于点对称的点的坐标为， 因为点在直线上， 所以即. 故选：D. 14．（25-26高一下·江西抚州·期末）与直线关于原点对称的直线的方程为______. 【答案】 【分析】若在关于原点对称的直线方程上，则在上，代入即可得其关于原点对称的直线的方程. 【详解】若在直线关于原点对称的直线方程上，则在上， ∴，得. 故答案为： 15．（25-26高二上·四川泸州·阶段检测）直线与关于点成中心对称，若的方程是，则的方程是__________ 【答案】 【分析】在直线上任取一点，则关于点对称点一定在直线上，故有，化简即得解. 【详解】在直线上任取一点， 则关于点对称点一定在直线上， 故有，即． 故直线的方程为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查直线关于点的对称直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16．（25-26高一下·内蒙古包头·期末）与直线关于坐标原点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设所求对称直线上任意一点的坐标为，则关于原点对称点的坐标为，该点在已知的直线上，则，即. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了直线关于点对称问题，考查运算能力，属于基础题. 典例五 直线关于直线对称问题（平行） 17．（25-26高二上·山东枣庄·期中）若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析出M的轨迹，再求到原点的距离的最小值. 【详解】由题意可知：M点的轨迹为平行于直线和且到、距离相等的直线l， 因为直线和在轴上的截距分别为， 所以直线l在轴上的截距为，故其方程为：， 故到原点的距离的最小值为. 故选：A 18．（25-26高二·全国·课后作业）已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）由于，所以，可设的方程为，在直线上取点，求出点关于直线的对称点，代入方程，即得解； （2）与的交点坐标为也在上，另取上不同于的一点，求出关于的对称点为，利用两个点坐标求出直线方程，即得解 【详解】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． （2）由，得， 所以与的交点坐标为． 另取上不同于A的一点， 设关于的对称点为， 则，得， 即点的坐标为． 所以过与的直线的方程为， 即． 19．（25-26高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件判断，可设，利用对称性可知与间的距离等于与间的距离，列方程求解即得. 【详解】因为，所以，设直线的方程为且. 因为直线关于直线对称，所以与间的距离等于与间的距离. 由两平行直线间的距离公式，得，解得或（舍去）. 所以直线的方程为. 故选：D. 20．（25-26高二下·上海宝山·期中）直线关于直线对称的直线方程为________ 【答案】 【分析】因为两直线平行，设所求直线方程为，由直线与直线间的距离，求得b的值，得直线方程. 【详解】设所求直线方程为，且， 直线与直线间的距离为， 则直线与直线间的距离为，又，得， 所以所求直线方程为， 故答案为：. 典例六 直线关于直线对称问题（相交） 21．（25-26高二上·北京大兴·期末）直线关于y轴对称的直线的方程为___________． 【答案】 【分析】设所求直线上任一点为 ，可得关于轴的对称点，然后代入即得. 【详解】设所求直线上任一点为 ，则关于轴的对称点为， 将代入直线得，， 即直线关于y轴对称的直线的方程为. 故答案为：. 22．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由直线与直线的交点在直线上可设直线，在直线上取一点，由该点到直线与的距离相等列方程即可得解. 【详解】联立，解得， 所以直线与直线的交点为， 所以点在直线上， 所以可设直线即， 在直线上取一点，则该点到直线与的距离相等， 所以，解得或（舍去）. 所以直线的斜率为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由直线对称的几何特征转化为代数问题，细心运算即可得解. 23．（2026高三·全国·专题练习）已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程． 【答案】9x－46y＋102＝0 【解析】求出直线上任一点如关于直线的对称点的坐标，再求出直线和的交点的坐标，由可得对称直线的方程． 【详解】解：在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上． 设对称点M′(a，b)，则 ，解得，∴. 设直线m与直线l的交点为N，则 由，得N(4,3)． 又∵m′经过点N(4,3)．∴由两点式得直线m′的方程为， 化简得：9x－46y＋102＝0. 【点睛】本题考查直线关于直线对称的直线方程，解题方法是求出已知直线上任一点的对称点坐标，再求得已知直线与对称轴的交点坐标，由这两点得对称直线的方程． 24．（25-26高一下·河北·期末）已知直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求两直线交点，再在上找一点（不同于交点）做关于的对称点，然后利用对称点与交点求出直线方程即为答案. 【详解】由题知直线与直线交于点，且点在上， 设点关于对称的点的坐标为，则解得 则直线的方程为，即关于对称的直线方程为． 故选： 【点睛】考查对称知识，求直线关于直线对称，转化成点与点关于直线对称，也可以利用求轨迹方程的方法，到角公式等. 典例七 利用光的反射求直线方程 25．（25-26高二上·山西·期中）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据两点式求得入射光线的直线方程，求得入射光线和直线的交点，再根据反射光线经过入射点的对称点，结合点关于直线对称求得对称点，再利用两点式即可得解. 【详解】入射光线所在的直线方程为，即， 联立方程组解得即入射点的坐标为． 设关于直线对称的点为， 则解得，即． 因为反射光线所在直线经过入射点和， 所以反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在的直线方程为，即． 故选：D. 26．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知，，，一束光线从点出发经AC反射后，再经BC上点D反射，落到点上．则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据入射光线与反射光线的性质可知方程，由与的交点可得D，求坐标即可. 【详解】根据入射光线与反射光线关系可知，分别作出关于的对称点, 连接，交于，则D点即为所求，如图， 因为所在直线方程为，，设， 则，解得，即， 由所在直线方程为，，同理可得， 所以直线方程为，由解得， 故选：C 27．（25-26高二上·海南·期末）一条光线从轴上的点发出，经轴反射，反射光线经过点 ，若该过程中光线从点到点经过的路程为 10，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设 ，根据题意，易判断点 在轴的同一侧，所以 ，则点 关于 轴的对称点为 ，根据对称及两点间的距离公式可求得的值，从而求得反射光线所在直线的方程. 【详解】设 ，根据题意，点在轴的同一侧， 所以 ，点关于轴的对称点为 . 因为光线经过的路程为 10，如图，即 ，解得 .    反射光线所在的直线即直线 ，由 ， 得直线 的斜率为， 所以其方程为，即 . 故选：D. 28．（25-26高二上·云南怒江·期中）光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：B 第四部分：课后检测 1．（25-26高二上·云南昭通·期末）一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：可知反射光线所在直线的斜率为，且经过点，结合直线的点斜式方程运算求解；法二：根据对称性可知反射光线所在直线经过点和点，结合直线的两点式方程运算求解. 【详解】法一：由题可知：直线的斜率，则反射光线所在直线的斜率为， 且反射光线所在直线经过点，所以反射光线所在直线方程为，即； 法二：因为点关于轴的对称点在反射光线所在直线上，可知反射光线所在直线经过点和点， 所以反射光线所在直线方程为，即. 故选：D． 2．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设对称点坐标，再利用两个核心条件列方程：一是两点中点在已知直线上，代入得关于对称点坐标的方程；二是两点连线与已知直线垂直，由斜率乘积为-1得另一方程,联立方程组求解，最终得对称点为. 【详解】设点关于直线的对称点为， 直线，即，因此斜率为1，又垂直直线斜率乘积为-1， 所以的斜率为-1，即，化简得， 又的中点在直线上，代入得 ，化简得，联立和， 解得故对称点为. 故答案选：B. 3．（25-26高二上·安徽六安·阶段检测）点关于直线对称的点是，则直线在轴上的截距是（    ） A．8 B．-8 C．4 D．-4 【答案】C 【解析】由对称的性质结合斜率公式、中点公式可得，求得后，由截距的概念即可得解. 【详解】因为点，，所以，线段的中点， 则，解得， 所以直线即为， 当时，， 所以直线在轴上的截距是4. 故选：C. 4．（25-26高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点的坐标，求出点关于点的对称点的坐标，即为所求. 【详解】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 5．（25-26高二上·福建厦门·期中）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【分析】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上. 【详解】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 6．（25-26高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【详解】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 7．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果. 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 8．（25-26高二上·重庆渝中·期末）与直线关于x轴对称的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上，即可确定所求的直线. 【详解】若在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上， 显然在A中的直线上，但不在B、C、D中的直线上. 故选：A 9．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）（多选）已知直线，以下结论正确的有（    ） A．无论为何值，与都互相垂直 B．无论为何值，与都关于直线对称 C．与分别经过定点和 D．存在实数，使得与的交点在轴上 【答案】ACD 【分析】对于A，根据恒成立判断；对于B，任取直线上的点，求其关于直线对称的点为代入的方程检验判断；对于C，根据直线的斜截式方程直接判断；对于D，根据直线与轴交点为代入求解判断D. 【详解】对于A，由恒成立，故无论为何值，与都互相垂直，正确； 对于B，任取直线上的点，其关于直线对称的点为，代入得显然不恒成立，故错误； 对于C，由题知，进而直线与分别经过定点和，故正确； 对于D，令，代入得，即直线与轴交点为，代入得，故存在实数，使得与的交点在轴上，正确. 故选：ACD 10．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）（多选）已知直线，下列说法正确的是：（    ） A．点关于的对称点的坐标是； B．直线关于的对称直线的方程是； C．直线关于点的对称直线的方程是； D．过点，垂直于直线的直线的方程是 【答案】ABC 【分析】A：利用两点连线与对称轴垂直、中点在对称轴上两个条件联立求解对称点坐标；B：先求出两条直线交点，再在已知直线上任取一点算出其对称点，通过两点求出对称直线方程； C：直线关于定点对称后斜率不变，求出原直线上一点的对称点，代入斜截式得到对应直线方程；D：根据垂直直线斜率关系写出垂线点斜式，代入已知点验证. 【详解】A：设点关于直线的对称点为，则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得， 所以点的坐标为，A正确. B：解方程组得，则点在所求直线上. 在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，则点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，化简得，故所求直线的方程，B正确. C：在直线上取两点、， 则、关于点的对称点分别为、. 因为点、在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为，即C正确. D：直线斜率为3，故垂直于的直线斜率为，过点的垂线正确方程为， 整理得，故过点垂直于直线的直线的方程是，故D错误. 11．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）给出下列四个结论，正确的是（    ） A．平面直角坐标系中，过点的所有直线可以用方程表示 B．直线的斜率为 C．过点且在，轴上的截距相等的直线方程为 D．入射光线所在的直线方程为，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为 【答案】BD 【分析】A选项，点斜式表示的直线斜率必须存在；B选项，将一般式整理为斜截式，即可得到斜率；C选项，截距相等需要考虑截距为零和截距不为零两种情况；D选项，根据对称性得到反射光线所在直线的斜率，然后求直线方程即可. 【详解】当斜率不存在时，过点的直线不可以用表示，故A错； 直线可整理为，所以斜率为，故B正确； 过点且在，轴上的截距相等的直线存在两种情况， 当截距为零时，斜率，直线方程为； 当截距不为零时，设直线方程为，将代入得到， 所以直线方程为，故C错； ，令，得，所以入射光线与轴的交点为， 所以入射光线和反射光线关于对称，反射光线所在的直线斜率为-1， 所以直线方程为，即，故D正确. 故选：BD. 12．（25-26高三·全国·一轮复习）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为______． 【答案】 【分析】先根据点关于直线对称得出，又点，应用斜率公式求出斜率，最后点斜式写出直线方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点为，则解得 所以．又点， 所以，直线的方程为， 由图可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为：. 13．（25-26高二上·福建福州·期中）点关于直线的对称点坐标是______. 【答案】 【分析】利用中点关系和垂直关系可求对称点的坐标. 【详解】设所求对称点坐标为，则， 故，故对称点的坐标为， 故答案为： 14．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）求直线关于直线对称的直线方程为__________. 【答案】 【分析】求出两直线的交点坐标，再求出直线上另外一点关于直线的对称点坐标，然后可得对称直线方程. 【详解】解方程组得，即直线和直线的交点坐标为， 又是直线上一点，设它关于直线的对称点坐标为， 则，解得， 所以所求直线方程为，即. 故答案为：. 15．（25-26高一上·四川自贡·阶段检测）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出原点关于直线的对称点的坐标，利用的中点在直线上，以及直线与直线垂直列方程组，即可求解； （2）求出直线与直线的交点坐标，在直线上取一点，由（1）知关于直线的对称点为，利用直线方程的两点式求解即可； （3）在直线上任取两点，分别求出这两点关于点的对称点，再利用直线方程的两点式求解即可. 【详解】（1）设原点关于直线的对称点为， 则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得，即， 所以原点关于的对称点坐标为； （2）联立，解得，则点在所求直线上， 在直线上任取一点， 由（1）得关于的对称点坐标为， 所以点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于的对称直线方程为； （3）在直线上取两点，， 则，关于点的对称点分别为，. 因为点，在所求直线上， 所以由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于点的对称直线方程为. 16．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解. （2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程. （3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可. 【详解】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $