2.2.3 直线的一般式专项训练（七大题型）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线一般式的概念理解与应用，通过七类题型构建从方程辨析到位置关系判断再到定点问题的逻辑链条，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方程及辨析|4题|截距关系、过点求方程|从一般式参数意义到方程构建| |互化|4题|法向量应用、形式转换|体现方程形式间的转化逻辑| |平行判断|4题|位置关系判定、参数求解|基于系数关系推导平行条件| |垂直判断|4题|垂直条件应用、证明|通过系数乘积关系建立垂直模型| |平行求方程|4题|过点平行、三角形应用|应用平行条件解决方程求解| |垂直求方程|4题|过点垂直、中线高方程|结合垂直条件构建应用场景| |过定点问题|4题|参数分离、最值应用|通过参数处理揭示定点本质|

2.2.3 直线的一般式 题型一 直线的一般式方程及辨析 1．已知直线，则过原点且与l平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知设所求直线方程为，根据直线过原点求得c，即得答案. 【详解】与平行的直线的方程可以设为， 又直线过原点，所以． 所以过原点且与l平行的直线的方程为． 2．设直线l的方程为，其中，若直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则m的取值可以为（    ） A．0 B．-3 C．3 D．2 【答案】ABD 【分析】根据直线l的方程，分和两类讨论，分别求出直线l的横截距和纵截距，根据题意列出方程即可求解. 【详解】当时，直线l的方程为，纵截距为，无横截距，不满足题意； 当时，令，得；令，得， 此时直线l的纵截距为，横截距为. 由题意得，所以或， 解得或或. 故选：ABD. 3．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为_______________． 【答案】或 【分析】根据直线过原点和不过原点设出直线方程，然后代入点即可得解. 【详解】因为直线在两坐标轴上的截距之和为零，所以设直线方程为或， 因为直线过点可得或，可得. 所以直线方程为或. 故答案为：或 4．已知的三个顶点． (1)求边上的高所在直线的斜截式方程； (2)求边上的中线所在直线的一般式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，从而求出边上的高所在直线的斜率，然后利用点斜式写出直线方程即可； （2）先求出的中点坐标，然后求出边上的中线所在直线的斜率，利用点斜式先表示出直线方程，然后化为一般方程即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以边上的高所在直线的斜率， 所以边上的高所在直线的点斜式方程为， 则其斜截式方程为． （2）设是边的中点， 则，即， 则， 所以边上的中线的方程为，即：， 所以边上的中线的一般式方程为：． 题型二 直线的一般式方程与其他形式之间的互化 5．直线的一个法向量为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线的一个法向量为，且过点， 设直线上任意一点，所以， 所以，即， 直线的方程为：. 6．已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜截式方程是： B．与直线平行 C．与直线垂直 D．若直线上任一点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得点，则点仍在直线上 【答案】BD 【分析】把直线方程化成斜截式，可判断A的真假；根据平行直线的判断方法判断B的真假；根据垂直之线的判断方法判断C的真假；设，平移得点坐标，代入直线的方程验证可判断D的真假. 【详解】对A：由，为直线的斜截式方程，故A错误； 对B：因为，所以直线与平行，故B正确； 对C：因为，所以直线与不垂直，故C错误； 对D：设，则，将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得点，因为，所以点仍在直线上，故D正确. 故选：BD 7．已知的顶点坐标为，，，则边上的中线所在的直线方程为_____. 【答案】 【分析】求出中点坐标，利用两点式求直线方程. 【详解】设中点，则，即， 所以边上的中线所在的直线方程为， 整理得， 故答案为：. 8．根据下列条件写出直线方程： (1)斜率是3，且经过点的直线方程； (2)原点与点关于直线对称，求直线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）将条件代入点斜式方程，即可得答案. （2）分析可得直线l为线段OA的中垂线，求出OA的中点坐标和OA的斜率，可得直线l的斜率，代入点斜式方程，整理即可得答案. （3）分别讨论截距为0和不为0两种情况，代入点坐标，求出方程，综合即可得答案. 【详解】（1）直线斜率是3，且经过点，则直线方程为， 化为一般式方程为； （2）已知关于直线l的对称点为， 故直线l为线段OA的中垂线，求得OA的中点为， 且OA的斜率为，故直线l的斜率为2， 故直线l的方程为，化简可得：． （3）设该直线在两轴上截距为a，那么， ①当时，直线过原点，设直线方程为，代入点， 可得，则方程为，即； ②当时直线方程为，把代入求得． 则直线方程为， 由①②知所求直线方程是或． 题型三 由一般式方程判断直线的平行 9．已知直线，则与的位置关系为（    ） A．重合 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】将直线方程化为斜截式方程，根据，即可判断求解. 【详解】直线可化为， 所以， ， 直线可化为， 所以，， 因为，， 所以与平行. 故选：B 10．已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据直线和的方程，求得定点的坐标，可判定A正确，B不正确；根据两直线位置关系的判定方法，可判定C正确，D不正确. 【详解】由直线，令，可得，所以直线过定点，所以A正确； 由直线，可得， 联立方程组，解得，所以恒过定点，所以B不正确； 由和，可得，所以，所以C正确，D不正确； 故选：AC. 11．直线与直线的位置关系是__________.（填“相交”“平行”或“重合”）. 【答案】平行 【分析】由直线一般方程对应系数的比例关系判断直线的位置关系. 【详解】∵，∴两直线的位置关系是平行. 故答案为：平行. 12．已知直线； (1)若，求实数的值； (2)若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线一般式中平行满足的系数关系，列方程求解参数即可. （2）由题意得，并分别求解轴上的截距，根据截距相等列方程求解即可. 【详解】（1）当时，满足，解得. 所以实数的值为. （2）因为. 且由题意可知，所以解得且， 令，得，令，得， 所以，解得. 所以实数的值为. 题型四 由一般式方程判断直线的垂直 13．过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可设垂直于直线的直线方程为，进而利用待定系数法求解. 【详解】设垂直于直线的直线方程为，代入， 得，解得，即， 故选：C. 14．已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为 B．直线与直线平行 C．直线的一个方向向量为 D．直线与直线垂直 【答案】BD 【分析】对于A，将直线方程化成斜截式，即可判断；对于B，利用两直线平行的判定方法即可；对于C，利用直线的斜率与方向向量的数量关系即可判断；对于D，利用两直线垂直的判定方法即可. 【详解】对于A，将化成斜截式方程为，即直线在轴上的截距为，故A错误； 对于B，因，故直线与直线平行，即B正确； 对于C，因的斜率为，若直线的一个方向向量为，则，即，因不满足此式，故C错误； 对于D，因的斜率为，而直线的斜率为，由，可得直线与直线垂直，故D正确. 故选：BD. 15．直线和直线的位置关系是______． 【答案】相交（不垂直） 【分析】求得两直线斜率，根据两直线的斜率，即可判断两直线的位置关系. 【详解】由题意得直线的斜率为， 直线的斜率为， 由于且，即两直线相交且不垂直， 故答案为：相交（不垂直） 16．解答下列各题： (1)已知四点，，，，求证：； (2)已知直线，，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）由斜率公式求出直线的斜率，证明垂直； （2）根据直线方程求出的斜率，证明垂直. 【详解】（1）由斜率公式，得，， 则，所以． （2）由，的方程可知，它们的斜率，， 从而，所以． 题型五 由两条直线平行求方程 17．已知直线，，若，则实数（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以. 18．已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 【答案】AC 【详解】直线，化为斜截式. A：斜率，倾斜角，正确. B：代入得轴截距为，非，错误. C：过原点直线斜率为，且直线与不重合，所以过且与直线平行的直线方程为，正确. D：直线斜率，所以与其垂直的直线斜率为，而直线方程斜率为，错误. 19．直线l过点且与直线平行，则l的方程为____________ 【答案】 【详解】设直线， 依题意得直线l过点， 则， 得， 故l的方程为． 20．已知的三个顶点． (1)求边上的高所在直线的方程： (2)若点是线段的中点，直线经过点且平行于直线，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出BC的斜率，从而可求BC边的高的斜率，由此利用点斜式方程能求出BC边的高所在直线的方程． （2）利用中点坐标公式求出，，由此能求出过点M且平行于边的直线方程． 【详解】（1）因为，所以， 所以边上的高所在直线的斜率为，又， 所以边上的高所在直线的方程为， 即； （2）因为，且点是线段的中点， 所以，即， 又，所以， 又因为直线经过点且平行于直线，所以， 所以直线的方程为，即． 题型六 由两条直线垂直求方程 21．过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线方程垂直的条件求出目标直线斜率，进而得到直线方程即可. 【详解】对于直线方程，其斜率为， 而目标直线与垂直，则目标直线斜率为， 则目标直线方程为，化简得，故C正确. 故选：C 22．已知的三个顶点，，，则下列描述正确的有（   ） A．直线的倾斜角不存在 B．直线的斜率为 C．边上的高所在直线的方程为 D．边上的中线所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可判断A选项；利用斜率公式可判断B选项；利用直线的点斜式方程可判断CD选项. 【详解】直线的倾斜角为，斜率不存在，A选项错误； 直线的斜率为，B选项正确； 边上的高所在直线与垂直，由A边上的高所在直线斜率为，又高所在直线过点C， 故边上的高所在直线的方程为，即，C选项正确； 边上的中点坐标为，则边上中线所在直线斜率为， 所以中线方程为，即，D选项错误. 故选：BC. 23．过点且垂直于直线的直线方程为______． 【答案】 【详解】垂直于直线的直线斜率为，又过点， 由点斜式可得所求直线方程为，即. 24．在平面直角坐标系中，已知三点，，． (1)若直线过点且与直线AB垂直，求直线的方程； (2)若直线经过点A，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据斜率公式求得斜率，再根据两直线垂直时斜率关系求得直线的斜率，由点斜式方程即可求解； （2）分类讨论，当截距为0和截距不为0两种情况即可求解． 【详解】（1）由，可得直线AB的斜率为， 因为，故直线的斜率为3， 则直线的方程为，即． （2）当截距均为0时，直线方程为，符合题意， 当截距不为0时，不妨设直线方程为， 又直线经过点A，故，即，所以直线方程为， 综上，所求直线方程为或． 题型七 直线过定点问题 25．无论取何值，直线总经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线化为即可求解． 【详解】由， 当，即时，，解得， 所以无论取何值，直线总经过点． 故选：C． 26．已知直线，直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过点 B．存在m使得直线的倾斜角为 C．若，则 D．不存在实数m使得 【答案】AC 【详解】令，则，得，则直线恒过点，故A正确； ，则斜率为，故不存在m使得直线的倾斜角为，故B错误； 若，则，得， 若，则，此时两直线平行，故，故C正确； 若，则，则，故存在实数m使得，故D错误. 27．直线过定点________. 【答案】 【分析】将直线方程整理成关于的方程，根据题意列方程组求解即得定点. 【详解】由整理得：， 因，则，解得，即直线经过定点. 故答案为：. 28．已知一条动直线， (1)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标． (2)若直线与轴的正半轴分别交于两点，当取最小值时，求直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 ，定点为 (2) 【分析】（1）需将直线方程整理为关于参数的形式，令的系数及常数项为零，解方程组得定点坐标； （2）设该直线倾斜角为，用表示，，将转化为三角函数式，通过换元法求最小值，进而得直线方程. 【详解】（1）整理直线方程得 ， 由 可得 ，， 故直线恒过定点 . （2）由（1）知，如图，作轴于M，轴于N， 且直线与轴的正半轴分别交于两点，设直线倾斜角为，， 因为，所以，， ，，， ， 令 ， 由 得 ，，则 ， 在 上单调递增， 当 即 时，上式取最小值 ，此时直线方程为 化简得直线方程为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.3 直线的一般式 题型一 直线的一般式方程及辨析 1．已知直线，则过原点且与l平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．设直线l的方程为，其中，若直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则m的取值可以为（    ） A．0 B．-3 C．3 D．2 3．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为_______________． 4．已知的三个顶点． (1)求边上的高所在直线的斜截式方程； (2)求边上的中线所在直线的一般式方程． 题型二 直线的一般式方程与其他形式之间的互化 5．直线的一个法向量为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜截式方程是： B．与直线平行 C．与直线垂直 D．若直线上任一点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得点，则点仍在直线上 7．已知的顶点坐标为，，，则边上的中线所在的直线方程为_____. 8．根据下列条件写出直线方程： (1)斜率是3，且经过点的直线方程； (2)原点与点关于直线对称，求直线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 题型三 由一般式方程判断直线的平行 9．已知直线，则与的位置关系为（    ） A．重合 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 10．已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 11．直线与直线的位置关系是__________.（填“相交”“平行”或“重合”）. 12．已知直线； (1)若，求实数的值； (2)若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 题型四 由一般式方程判断直线的垂直 13．过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 14．已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为 B．直线与直线平行 C．直线的一个方向向量为 D．直线与直线垂直 15．直线和直线的位置关系是______． 16．解答下列各题： (1)已知四点，，，，求证：； (2)已知直线，，求证：． 题型五 由两条直线平行求方程 17．已知直线，，若，则实数（    ） A． B． C．或 D． 18．已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 19．直线l过点且与直线平行，则l的方程为____________ 20．已知的三个顶点． (1)求边上的高所在直线的方程： (2)若点是线段的中点，直线经过点且平行于直线，求直线的方程． 题型六 由两条直线垂直求方程 21．过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 22．已知的三个顶点，，，则下列描述正确的有（   ） A．直线的倾斜角不存在 B．直线的斜率为 C．边上的高所在直线的方程为 D．边上的中线所在直线的方程为 23．过点且垂直于直线的直线方程为______． 24．在平面直角坐标系中，已知三点，，． (1)若直线过点且与直线AB垂直，求直线的方程； (2)若直线经过点A，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，求直线的方程． 题型七 直线过定点问题 25．无论取何值，直线总经过点（    ） A． B． C． D． 26．已知直线，直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过点 B．存在m使得直线的倾斜角为 C．若，则 D．不存在实数m使得 27．直线过定点________. 28．已知一条动直线， (1)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标． (2)若直线与轴的正半轴分别交于两点，当取最小值时，求直线的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $