2.3.2-2.3.4 两点间、点到线、线到线的距离公式专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦距离公式系统应用，以“两点距离—点线距离—线线距离”递进逻辑构建知识网络，通过9类典例实现从公式直接应用到几何综合问题的能力提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识清单|3个知识点|公式定义及特殊情形|从基础距离概念到公式推导，形成“两点→点线→线线”的逻辑链条| |典型例题|9类（3-4题/类）|含直接计算、参数求解、三角形形状判断、面积计算等|题型由基础应用到综合迁移，覆盖公式正向、逆向及几何情境应用| |课后检测|16题（选择/填空/解答）|注重多维度考查，含易错点辨析与跨情境应用|强化知识系统性，培养运算能力与推理意识，提升用数学语言解决几何问题的能力|

2.3.2~4 两点间、点到线、线到线的距离公式 第一部分：知识清单 知识点一：两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 知识点二：点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 知识点三：两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝. 第二部分：典型例题汇总 典例一 求平面两点间的距离 典例二 由顶点坐标判断三角形的形状 典例三 由距离求点的坐标 典例四 点到直线的距离 典例五 已知点到直线距离求参数 典例六 两条平行直线间的距离 典例七 由距离求已知直线的平行线 典例八 求到两点距离相等的直线方程 典例九 直线围成图形的面积问题 第三部分：典型例题 典例一 求平面两点间的距离 1．（25-26高二上·河南南阳·开学考试）已知是直线上的两点，若，求__________. 【答案】 【分析】根据题设条件先求出，再利用两点间的距离公式计算即得. 【详解】因为，在直线l上，所以，. 由已知，得， 由两点间的距离公式，得. 故答案为：. 2．（25-26高二·全国·课后作业）在数轴上，已知的中点为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】方法一先计算，结合中点再计算；方法二先计算的中点的坐标，再计算； 【详解】方法一  由题意，，又为的中点，所以． 方法二  因为为的中点，所以点的坐标为，所以． 故选：C. 3．（25-26高二·全国·课后作业）已知，那么________，中点坐标为________. 【答案】 6 【分析】根据两点之间距离公式以及中点坐标公式计算即可. 【详解】由题可知：，中点坐标为，即. 故答案为：6， 4．（25-26高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】利用两点之间的距离公式计算即得. 【详解】点和点之间的距离为. 故选：D. 典例二 由顶点坐标判断三角形的形状 5．（25-26高一下·贵州遵义·期末）已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形，求解即可. 【详解】，, ， ，所以三角形为直角三角形， ， 故选：A. 6．（25-26高二·全国·课堂例题）已知的三个顶点分别为，，． (1)求边上的中线的长； (2)证明：为等腰直角三角形． 【答案】(1) (2)答案及解析 【分析】（1）首先求出线段的中点的坐标，利用平面直角坐标系中两点的距离公式计算可得； （2）利用距离公式求出，，，再由勾股定理逆定理证明即可. 【详解】（1）因为，，所以线段的中点的坐标为， 又，则． （2）因为， ， ， 因为，且， 所以为等腰直角三角形． 7．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点，判断的类型. 【答案】等腰三角形 【分析】根据两点间距离公式求出，再求出可得答案. 【详解】∵， ， ， ∴，且三边不满足勾股定理， ∵， ∴，∴三点不共线， ∴是等腰三角形． 8．（25-26高一下·浙江·阶段检测）（多选）已知顶点坐标是，则下列结论正确的是（    ） A．若为直角三角形，则或 B．若为锐角三角形，则 C．若为钝角三角形，则或 D．若为等腰三角形，则 【答案】AB 【分析】画出图像，逐一分析，即可. 【详解】解：如图所示， 当点与D、F重合时，为直角三角形，此时或，故A对， 当点介于D、F之间时，为锐角三角形，此时，故B对， 当点于位于D点左侧且不与B点重合时，为钝角三角形，此时且，故C错误， 当点与E、F、G重合时，为等腰三角形，此时或，故D错误， 故选：AB. 典例三 由距离求点的坐标 9．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）已知，且，则a的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据题意，根据平面直角坐标系上两点的距离公式计算，即可求解. 【详解】因为且，所以， 解得 故选：CD 10．（25-26高二·云南普洱·期中）已知和间的距离是，则的值是__________. 【答案】3 【分析】由题意结合两点之间距离公式可得，即可得解. 【详解】由题意可得，化简得，解得. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了两点之间距离公式的应用，考查了运算求解能力，熟记公式是解题关键，属于基础题. 11．（25-26高一下·江苏苏州·期中）在平面直角坐标中，已知、、，平面内的点满足，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】设点的坐标为，根据条件建立有关、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求得点的坐标. 【详解】设点的坐标为，由可得，解得， 因此，点的坐标为. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用两点间的距离求点的坐标，考查计算能力，属于基础题. 12．（25-26高一·全国·课后作业）已知点A(-3，4)，，在x轴上找一点P使得，并求出的值. 【答案】 【分析】设出点的坐标，根据两点间的距离公式以及列方程，解方程求得点的坐标，进而求得的值. 【详解】【解】设，则，，由，得.解得，所以，且. 【点睛】本小题主要考查两点间的距离公式，考查方程的思想，属于基础题. 典例四 点到直线的距离 13．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边所在直线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用两点式求直线方程即可； （2）由点到直线、两点距离公式及三角形面积的求法求的面积. 【详解】（1）由题设及直线的两点式有，可得， 所以； （2）由到的距离， 且， 所以. 14．（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）点到直线的距离为________． 【答案】1 【分析】直接代入点到直线的距离公式计算即可. 【详解】点到直线的距离为. 故答案为：. 15．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知两点. (1)求直线AB的方程; (2)直线与直线交于点C， 求△ABC的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求直线的斜率，再根据直线的点斜式方程列出即可； （2）根据两点之间距离公式计算的长，再根据两直线相交得到交点，进而利用点到直线距离公式计算点到直线的距离，最后计算三角形面积. 【详解】（1）因为两点，所以直线的斜率为， 根据直线的点斜式方程可得直线AB的方程为，即 （2）由题可知， 因为两直线相交于点C，联立，解得，所以点， 点到直线：的距离为， 所以△ABC的面积为 16．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）据所给条件求直线的方程： (1)直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12； (2)直线过点，且原点到直线的距离为5. 【答案】(1)或. (2)或 【分析】（1）利用截距式方程来待定系数求解； （2）分类讨论斜率存在与否来待定系数，利用原点到直线的距离公式求解即可. 【详解】（1）设截距式直线方程，由直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12可得： ，解得或， 所以所求直线方程为：或， 化为一般方程得：或. （2）当直线过点的斜率不存在时，此时直线方程为，满足原点到直线的距离为5， 故所求的直线方程为； 当直线过点的斜率存在时，可设直线方程为， 由原点到直线的距离为5，可得， 所以此时直线方程为； 综上可得所求直线方程为：或 典例五 已知点到直线距离求参数 17．（2026高二·全国·专题练习）（1）已知点在直线上，且点到直线的距离等于，求点的坐标． （2）设为实数，若两条平行直线和之间的距离等于2，求的值． 【答案】（1）或； （2）或 【分析】（1）利用点在直线上设坐标，代入点到直线距离公式，解绝对值方程得两点坐标； （2）直接套用平行直线距离公式，去绝对值求出参数的值. 【详解】（1）依题意，在直线上，设点的坐标为， 点到直线的距离为，，， 所以或，解得或，所以点的坐标为或. （2）因为两条平行直线和之间的距离等于2， 所以有或， 即或. 18．（25-26高二下·贵州·阶段检测）已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A．1或 B．1或 C． D．1 【答案】A 【分析】设直线的方程为，根据所过的点得，再根据点到直线的距离公式求出或. 【详解】设直线的方程为，因为直线经过定点， 故即，故直线的方程为， 而点和点到直线的距离相等，故， 所以，所以或，A正确. 19．（25-26高二下·浙江·开学考试）（多选）已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】BD 【分析】利用点到直线的距离公式为，再解方程即可求解. 【详解】由到直线距离相等可得 ， 即，分两种情况： ①，解得， 此时斜率为，直线斜率为，符合平行条件，距离相等； ②，解得， 此时中点为，代入直线得，即，符合条件； 所以和都满足题意. 20．（25-26高二上·海南·阶段检测）已知点到直线的距离为1，则____________. 【答案】或 【分析】利用点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以，解得或. 故答案为：或. 典例六 两条平行直线间的距离 21．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线和. (1)若，求实数的值； (2)当时，求直线与之间的距离. 【答案】(1) 或 (2) 【详解】（1）因为，故，故或. （2）因为，故，即，故或， 若，则，，此时与重合， 若，故，即， 故直线与之间的距离. 22．（25-26高二下·上海·期中）平行线与之间的距离为________． 【答案】 【分析】利用两条平行线间的距离公式即可求出答案. 【详解】由题设，两直线平行，故它们的距离. 23．（2026·北京海淀·二模）若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题意得，解得， 当时，不重合，故， 可化为， 所以与的距离为. 24．（2026·山东聊城·二模）已知直线，，且，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行求出实数的值，再利用平行线间的距离公式可求得结果. 【详解】因为，则，解得，即直线的方程为，可化为， 故与的距离为. 典例七 由距离求已知直线的平行线 25．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设与直线平行的直线方程为，，然后由平行直线间的距离公式可得答案. 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为，， 由两平行直线间的距离公式可得，解得或， 故所求直线方程为或． 故选：AC 26．（25-26高二·全国·寒假作业）（多选）到直线的距离为3且与此直线平行的直线方程有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设出该直线方程后，利用平行线间距离公式计算即可得. 【详解】设该直线为， 则有，化简得，则或， 故该直线为或. 故选：AC. 27．（25-26高二上·重庆石柱·阶段检测）（多选）下列直线中与直线：平行且距离为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据两直线互相平行设直线方程，再结合两直线间距离公式解方程即可. 【详解】设与与直线：平行的直线为， 又， 解得或， 即该直线为或， 故选：AC. 28．（25-26高二上·青海西宁·期末）与直线平行，且距离为的直线方程为______． 【答案】或 【分析】由题意，设所求直线方程为，根据两平行直线间的距离公式即可求解. 【详解】解：由题意，设所求直线方程为， 因为直线与直线的距离为， 所以，解得或， 所以所求直线方程为或， 故答案为：或. 典例八 求到两点距离相等的直线方程 29．（25-26高二上·广东佛山·期中）（多选）已知三边所在直线分别为，则（    ） A．AB边上的高所在直线方程为 B．AB边上的高为 C．的面积为 D．是直角三角形 【答案】ABC 【分析】先联立方程求出顶点坐标，求出AB边上的高所在直线斜率即可得出方程，利用点到直线距离公式可求出高，利用两点间距离公式求出，即可求出三角形面积，根据斜率关系可判断D. 【详解】由得；由得；由得； 因为，所以AB边上的高所在直线斜率为，则方程为，即，故A正确； AB边上的高为点到直线的距离，故B正确； 因为，所以的面积为，故C正确： 由斜率关系可知，是的任意两边均不垂直，D错误. 故选：ABC. 30．（25-26高二上·北京·期中）已知的顶点为，，． (1)求边所在的直线的方程； (2)求边的高线所在的直线的方程； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)10 【分析】（1）直接由点坐标得到两点式方程，化简即可； （2），则边上高线的斜率为，直接写出点斜式方程，化简即可； （3）首先求出到直线的距离，再求出的长，则可计算出三角形面积. 【详解】（1）直线的两点式方程为，化简得，故边所在的直线方程为. （2）由（1）知，故边上高线的斜率为， 故其所在直线方程为，化简得 （3）边所在的直线方程为，故到直线的距离 , 故 31．（25-26高二·全国·课后作业）已知的顶点为、、，直线与平行，且将分成面积相等的两部分，则直线的方程为______． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】设直线与 、分别交于两点，因为直线与平行， 所以∽，设点到直线与的距离分别为， 因为直线与平行，且将分成面积相等的两部分， 所以， 因为、， 所以直线的方程为：， 因为直线与平行，所以设直线的方程为， 于是有，， 因此有， 当时，直线的方程为，令，得， 此时显然点在直线与直线之间，不符合题意， 当时，直线的方程为，令，得， 此时显然直线与边 、分别相交，符合题意， 故答案为： 32．（25-26高二上·江苏·单元测试）直线经过两条直线和的交点，且_____． 试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． ①与直线平行，②直线在轴上的截距为． (1)求直线的方程； (2)求直线与坐标轴围成的三角形面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选①可设直线的方程，求出交点并代入即可求解；选②，由点斜式求解即可； （2）求出直线与坐标轴的交点，结合面积公式即可求解 【详解】（1）解：选①直线经过两条直线和的交点， ，解得，，即， 直线与直线平行． 可设直线的方程，把代入可得， 直线的方程为， 选②直线经过两条直线和的交点， ，解得，，即， 由题意可知直线的斜率存在，设为且， 则过， 代入即解得， 直线的方程， （2）解：在直线中， 令可得， 令可得， 所以直线与坐标轴围成的三角形面积． 典例九 直线围成图形的面积问题 33．（25-26高二上·湖南·期中）已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】分别研究位于直线同侧以及位于直线两侧时的情况，即可得出答案. 【详解】当位于直线同侧时，只有时，且两平行线之间的距离为时，满足条件，这样的直线有2条； 又， 所以位于直线两侧时，只有当直线恰为直线的中垂线时，满足条件，此时的直线有1条. 综上所述，满足条件的直线共有3条. 故选：C． 34．（25-26高二·全国·课后作业）已知直线过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】设出直线方程，根据点到直线距离公式建立关系可求解. 【详解】由题可知，直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，即， 根据点，到直线的距离相等，得，解得或， 故直线的方程为或. 故选：A. 35．（25-26高二上·江苏·期中）求下列直线方程： (1)已知直线过点，且与点，点的距离相等，求直线的方程． (2)已知直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用距离相等得出直线与直线平行或经过的中点，分别求解方程即可； （2）设出直线方程，表示出三角形的面积，根据面积可得答案. 【详解】（1）由题意可知，直线与直线平行时或者经过线段的中点时符合题意； 直线的斜率为：，当直线与直线平行时，可设直线方程为， 故，，直线方程为； 线段的中点为，当经过线段的中点时，方程为，即. 综上，求直线的方程为或. （2）显然直线的斜率存在，设方程为， 令，得，令，得， 因为与坐标轴围成的三角形面积为2，所以， 解得或，即直线的方程为或. 36．（25-26高二上·山东·阶段检测）过原点作直线，若点，到直线的距离相等，则直线的方程为______． 【答案】或 【分析】分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，再结合点到直线的距离公式求出直线的斜率，即可得解. 【详解】当直线的斜率不存在时，则方程为，此时不符题意， 当直线的斜率存在时，设方程为，即， 因为点，到直线的距离相等， 所以，解得或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 第四部分：课后检测 1．（25-26高二上·全国·课后作业）以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 【答案】C 【分析】计算出，由此确定三角形的形状. 【详解】， ， ， ， 所以三角形是直角三角形. 故选：C 2．（25-26高二上·天津河西·阶段检测）已知与两点间的距离是17，则的值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】直接用两点间得距离公式计算即可. 【详解】由两点间的距离公式得：，解得. 故选：D 3．（25-26高二上·河北张家口·期中）已知点，直线，则点到直线的距离为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式直接求解. 【详解】由点到直线的距离公式得，点到直线的距离为： . 故选：D 4．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知两点到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．或 【答案】D 【分析】 利用点到直线的距离公式列方程即可得出． 【详解】由题意可得，即， 解得或 故选：D. 5．（25-26高二上·河北石家庄·期中）若点到直线l：的距离为3，则（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离求解. 【详解】由点到直线距离公式知，， 解得， 故选：A 6．（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知直线和直线平行，则两条直线之间的距离为（    ） A．3 B． C． D．无法确定，与有关 【答案】B 【分析】由两直线平行求出，再由平行线间距离公式得解. 【详解】因为两直线平行，所以， 直线和直线距离. 故选：B. 7．（25-26高二·全国·课后作业）到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设出直线方程，根据平行线间的距离公式得到方程，求出答案. 【详解】设所求直线方程为．由题意知，解得或， 即所求直线方程为或． 故选：D． 8．（25-26高二上·新疆喀什·期中）过定点的直线与过定点的直线交于点（与、不重合），则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知方程求得点A，点B的坐标，求得直线的方程；用m表示出点P的坐标，利用点到直线的距离公式求得点P到直线的距离，并求得其取值范围，从而得到面积的最大值.或根据方程得两直线垂直，从而得到面积为，根据不等式得到其最大值. 【详解】由，得; 由，得. 所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即. 由，得，且. 所以，所以点P到直线的距离为. 因为且，所以且，所以且， 即且. 所以面积为，当且仅当时，等号成立. 所以当时，面积取得最大值，最大值为2. 故选：D. 方法二：由，得; 由，得.所以. 易知直线与直线垂直. 所以. 所以面积为. 所以时，面积取得最大值，最大值为2. 故选：D. 9．（25-26高一下·浙江杭州·期中）（多选）在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（   ） A．为直角三角形 B．，，，依次连起来是一个四边形 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式、两点间距离公式逐项分析判断. 【详解】对于A，直线的斜率，直线的斜率， ，即，为直角三角形，A正确； 对于B，直线的斜率，点共线，B错误； 对于C，在中，，， ，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：ACD    10．（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）（多选）已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】直线l：可化为， 依题意得，整理得，所以或． 当时，点的坐标为； 当时，点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或. 故选：AB． 11．（25-26高二上·山东烟台·阶段检测）（多选）平行于直线0，且与它距离为的直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设与直线平行的直线方程为，然后由平行直线距离公式可得答案. 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为，由两平行直线间的距离公式可得，解得或，故所求直线方程为或． 故选：AD 12．（25-26高二·全国·课后作业）已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为______；的面积为______. 【答案】 直角三角形 5 【分析】根据两点距离公式，结合勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式进行求解即可. 【详解】因为， ，， 所以，即是以A为直角顶点的直角三角形． 由于是以A为直角顶点的直角三角形，所以. 故答案为：直角三角形； 13．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知，两点到直线的距离相等，则_____. 【答案】或 【分析】利用点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】因为，两点到直线的距离相等， 所以有或， 解得或. 故答案为：或 14．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知直线与直线平行，且两条直线之间的距离为，则直线的方程为__________. 【答案】或 【分析】设与直线平行的直线的方程为，再根据两平行线距离公式求出的值即可求解. 【详解】设与直线平行的直线的方程为， 所以 解得或. 所以所求直线的方程为或. 故答案为：或. 15．（25-26高二上·北京·期中）已知点、、，点是线段的中点，，垂足为. (1)求直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出线段的中点的坐标，利用两点式可得出直线的方程； （2）求出直线的方程，将直线、的方程联立，即可解得点的坐标； （3）求出、，由可得结果. 【详解】（1）解：因为、，所以的中点为， 所以直线的方程为，即. （2）解：由（1）知，因为，所以， 所以直线方程为，即. 联立，解得，所以点的坐标为. （3）解：因为，， 所以. 16．（2026·河北沧州·三模）已知直线的方程为 ，其中 (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值 (2)若直线分别与轴的负半轴和轴的负半轴交于点、，求为坐标原点面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1) (2)4，． 【分析】（1）把直线方程整理成关于的方程，可得定点坐标，点到直线的距离最大时，一定有与该直线垂直，可得结论； （2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值． 【详解】（1）直线方程为即为， 由，可得，则已知直线恒过定点， 所以到直线的最大距离为. （2）设直线的斜率为，则其方程为， 可得，， 则. 由，可得，所以， 当且仅当， 即时取等号. 所以的面积的最小值是4. 此时直线的方程为 ，即． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.2~4 两点间、点到线、线到线的距离公式 第一部分：知识清单 知识点一：两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 知识点二：点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 知识点三：两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝. 第二部分：典型例题汇总 典例一 求平面两点间的距离 典例二 由顶点坐标判断三角形的形状 典例三 由距离求点的坐标 典例四 点到直线的距离 典例五 已知点到直线距离求参数 典例六 两条平行直线间的距离 典例七 由距离求已知直线的平行线 典例八 求到两点距离相等的直线方程 典例九 直线围成图形的面积问题 第三部分：典型例题 典例一 求平面两点间的距离 1．（25-26高二上·河南南阳·开学考试）已知是直线上的两点，若，求__________. 2．（25-26高二·全国·课后作业）在数轴上，已知的中点为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 3．（25-26高二·全国·课后作业）已知，那么________，中点坐标为________. 4．（25-26高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 典例二 由顶点坐标判断三角形的形状 5．（25-26高一下·贵州遵义·期末）已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 6．（25-26高二·全国·课堂例题）已知的三个顶点分别为，，． (1)求边上的中线的长； (2)证明：为等腰直角三角形． 7．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点，判断的类型. 8．（25-26高一下·浙江·阶段检测）（多选）已知顶点坐标是，则下列结论正确的是（    ） A．若为直角三角形，则或 B．若为锐角三角形，则 C．若为钝角三角形，则或 D．若为等腰三角形，则 典例三 由距离求点的坐标 9．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）已知，且，则a的取值可能为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二·云南普洱·期中）已知和间的距离是，则的值是__________. 11．（25-26高一下·江苏苏州·期中）在平面直角坐标中，已知、、，平面内的点满足，则点的坐标为_______． 12．（25-26高一·全国·课后作业）已知点A(-3，4)，，在x轴上找一点P使得，并求出的值. 典例四 点到直线的距离 13．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边所在直线的方程； (2)求的面积. 14．（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）点到直线的距离为________． 15．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知两点. (1)求直线AB的方程; (2)直线与直线交于点C， 求△ABC的面积. 16．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）据所给条件求直线的方程： (1)直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12； (2)直线过点，且原点到直线的距离为5. 典例五 已知点到直线距离求参数 17．（2026高二·全国·专题练习）（1）已知点在直线上，且点到直线的距离等于，求点的坐标． （2）设为实数，若两条平行直线和之间的距离等于2，求的值． 18．（25-26高二下·贵州·阶段检测）已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A．1或 B．1或 C． D．1 19．（25-26高二下·浙江·开学考试）（多选）已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 20．（25-26高二上·海南·阶段检测）已知点到直线的距离为1，则____________. 典例六 两条平行直线间的距离 21．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线和. (1)若，求实数的值； (2)当时，求直线与之间的距离. 22．（25-26高二下·上海·期中）平行线与之间的距离为________． 23．（2026·北京海淀·二模）若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 24．（2026·山东聊城·二模）已知直线，，且，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 典例七 由距离求已知直线的平行线 25．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高二·全国·寒假作业）（多选）到直线的距离为3且与此直线平行的直线方程有（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高二上·重庆石柱·阶段检测）（多选）下列直线中与直线：平行且距离为的是（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高二上·青海西宁·期末）与直线平行，且距离为的直线方程为______． 典例八 求到两点距离相等的直线方程 29．（25-26高二上·广东佛山·期中）（多选）已知三边所在直线分别为，则（    ） A．AB边上的高所在直线方程为 B．AB边上的高为 C．的面积为 D．是直角三角形 30．（25-26高二上·北京·期中）已知的顶点为，，． (1)求边所在的直线的方程； (2)求边的高线所在的直线的方程； (3)求的面积． 31．（25-26高二·全国·课后作业）已知的顶点为、、，直线与平行，且将分成面积相等的两部分，则直线的方程为______． 32．（25-26高二上·江苏·单元测试）直线经过两条直线和的交点，且_____． 试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． ①与直线平行，②直线在轴上的截距为． (1)求直线的方程； (2)求直线与坐标轴围成的三角形面积． 典例九 直线围成图形的面积问题 33．（25-26高二上·湖南·期中）已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 34．（25-26高二·全国·课后作业）已知直线过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 35．（25-26高二上·江苏·期中）求下列直线方程： (1)已知直线过点，且与点，点的距离相等，求直线的方程． (2)已知直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，求直线的方程． 36．（25-26高二上·山东·阶段检测）过原点作直线，若点，到直线的距离相等，则直线的方程为______． 第四部分：课后检测 1．（25-26高二上·全国·课后作业）以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 2．（25-26高二上·天津河西·阶段检测）已知与两点间的距离是17，则的值为（    ） A．8 B． C． D． 3．（25-26高二上·河北张家口·期中）已知点，直线，则点到直线的距离为（   ） A．1 B．2 C． D． 4．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知两点到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．或 5．（25-26高二上·河北石家庄·期中）若点到直线l：的距离为3，则（    ） A．2 B．3 C． D．4 6．（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知直线和直线平行，则两条直线之间的距离为（    ） A．3 B． C． D．无法确定，与有关 7．（25-26高二·全国·课后作业）到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 8．（25-26高二上·新疆喀什·期中）过定点的直线与过定点的直线交于点（与、不重合），则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·浙江杭州·期中）（多选）在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（   ） A．为直角三角形 B．，，，依次连起来是一个四边形 C． D． 10．（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）（多选）已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·山东烟台·阶段检测）（多选）平行于直线0，且与它距离为的直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二·全国·课后作业）已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为______；的面积为______. 13．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知，两点到直线的距离相等，则_____. 14．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知直线与直线平行，且两条直线之间的距离为，则直线的方程为__________. 15．（25-26高二上·北京·期中）已知点、、，点是线段的中点，，垂足为. (1)求直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求的面积. 16．（2026·河北沧州·三模）已知直线的方程为 ，其中 (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值 (2)若直线分别与轴的负半轴和轴的负半轴交于点、，求为坐标原点面积的最小值及此时直线的方程． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $