2.3.2 两点间的距离公式（五大题型）专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以两点间距离公式为核心，通过正用、逆用、几何应用、代数转化及新定义拓展五大题型，系统构建距离计算的知识逻辑链，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求平面两点间的距离|4题|直接应用公式计算距离|公式的直接应用，巩固距离公式的基本运算| |判断三角形形状|4题|结合顶点坐标计算边长关系|距离公式与三角形几何性质的结合，体现数形结合| |由距离求点坐标|4题|已知距离反求参数或坐标|公式的逆用，强化方程思想与运算能力| |求函数最值|4题|距离公式与函数表达式转化|代数与几何的转化，培养模型意识| |距离新定义|4题|迁移公式解决新定义问题|拓展距离概念，发展创新意识与数学表达|

2.3.2 两点间的距离公式 题型一 求平面两点间的距离 1．已知点，则（   ） A．26 B．18 C． D．6 【答案】C 【分析】由两点间距离公式即可求解. 【详解】由两点间距离公式可得. 故选：C 2．对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线l恒过点 B．当时，直线l在y轴上的截距为3 C．若直线l不经过第二象限，则 D．坐标原点到直线l的距离的最大值为 【答案】AD 【分析】将方程变形为，即可列方程求解定点判断A，令，即可求解截距判断B，取，即可判断C，根据垂直即可求解最大距离判断D. 【详解】已知直线，则， 由，得， 所以直线恒过点，故A正确； 当时，直线,令，，故在轴上的截距为，B错误， 当时，直线的方程为，直线不经过第二象限，故C不正确； 因为直线过定点， 所以坐标原点到直线的距离的最大值为，故D正确． 故选：AD． 3．已知两点都在直线上，且两点横坐标之差为，则两点之间的距离为__________. 【答案】 【分析】由两点的距离公式，即可解出答案. 【详解】设，则， ， 故答案为：. 4．已知直线的方程为. (1)求出直线所过的定点，并求出到原点O的距离. (2)过点的直线交轴非正半轴与轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）化简后令，解出即可得定点坐标，再利用两点间距离公式计算即可得解； （2）分别令、可表示出、两点坐标，即可表示出面积，结合基本不等式取等条件即可得、两点坐标，即可求出周长. 【详解】（1）化简得到，令， 解得，，所以直线过定点， 到原点距离； （2）设，令，则， 令，则， 所以， 当且仅当，即时取等， 则当时，，当时，， 则此时交点为，， 则， 即周长为. 题型二 由顶点坐标判断三角形的形状 5．已知点A(5，-1)，B(1，1)，C(2，3)，则的形状是 （   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】利用两点间的距离公式求得的边长，由此判断出的形状. 【详解】|AB|==， |AC|==5，|BC|=， ∴|AC|2=|AB|2+|BC|2， ∴为直角三角形. 故选:B 6．已知顶点坐标是，则下列结论正确的是（    ） A．若为直角三角形，则或 B．若为锐角三角形，则 C．若为钝角三角形，则或 D．若为等腰三角形，则 【答案】AB 【分析】画出图像，逐一分析，即可. 【详解】解：如图所示， 当点与D、F重合时，为直角三角形，此时或，故A对， 当点介于D、F之间时，为锐角三角形，此时，故B对， 当点于位于D点左侧且不与B点重合时，为钝角三角形，此时且，故C错误， 当点与E、F、G重合时，为等腰三角形，此时或，故D错误， 故选：AB. 7．已知，以及点，则的面积为______． 【答案】3 【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形，求解即可. 【详解】,, , , ， 故答案为：3 8．已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)26 【分析】（1）由三角形的三个顶点的坐标分别求出三边长，再由勾股定理的逆定理能得到这个三角形是等腰直角三角形； （2）由三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】（1）因为，，， 所以，， ， 所以， 所以是等腰直角三角形. （2）由（1）得. 题型三 由距离求点的坐标 9．已知与两点间的距离是17，则的值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】直接用两点间得距离公式计算即可. 【详解】由两点间的距离公式得：，解得. 故选：D 10．已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设点，利用两点间距离公式列出方程，即可得解. 【详解】设，则，整理得， 解得或.当时，；当时，， 所以点的坐标是或， 故选：BD. 11．已知点，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为______． 【答案】或 【分析】根据题意设，再利用两点间的距离公式即可求出的值，从而得到点的坐标． 【详解】点在轴上，设， 点与点的距离等于13， ，解得或， 点的坐标为或， 故答案为：或． 12．已知倾斜角为的直线l过点和点B，点B在第一象限，. (1)求点B的坐标； (2)若直线l与两平行直线，相交于E、F两点，且，求实数c的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求得直线的方程，根据已知条件列方程求得点的坐标. （2）先求得的坐标，然后根据求得. 【详解】（1）直线的方程为. 设，其中， 由，解得（负根舍去）， 所以. （2）由解得，所以. 由解得，所以， 由， 解得或. 题型四 用两点间的距离公式求函数最值 13．函数的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】由，则可以看作是x轴上的动点分别与两点，的距离之和，结合图形分析即可求解. 【详解】由题可得的定义域为，又，所以可以看作是x轴上的动点分别与两点，的距离之和，如图，点关于x轴对称的点为，则当与，三点共线时，距离之和最小，则． 故选：B 14．下列说法正确的是（    ） A．函数的图象表示过原点的所有直线 B．函数的最小值为5 C．经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为 D．若将直线上一点向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，仍在该直线上，则该直线的斜率为 【答案】BD 【分析】根据点斜式适合范围判断A，根据距离和最小确定B,应用截距相等判断C,应用平移得出直线结合待定系数法判断D. 【详解】对于A：函数不能表示与轴重合的直线，故A不正确； 对于B： ， 表示点与，距离之和， 如图所示，当三点，，不共线时，， 当三点，，共线时，， 所以的最小值为，故B正确； 对于C：当直线与两坐标轴的截距为0时，即直线过原点时，设直线方程为， 把点代入，得，所以直线方程为. 当直线不过原点时，设直线方程为，即， 把点代入，得，所以直线方程为. 综上直线方程为或，故C不正确； 对于D：设直线的方程为， 沿着轴向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得， 即， 所以，即，故D正确. 故选：BD. 15．函数的最大值为________． 【答案】 【分析】采用数形结合的方法求函数的最大值. 【详解】因为， 所以问题可转化为求动点与点，的距离之差的最大值． 如图： 因为，当且仅当，，三点共线时等号成立， 所以，此时． 故答案为： 16．有三个新兴城镇分别位于、、三点处，且，，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在的垂直平分线上的点处（建立坐标系如图） (1)若希望点到三镇距离的平方和最小，则应位于何处？ (2)若希望点到三镇的最远距离为最小，则应位于何处？ 【答案】(1) (2)当时，点的坐标是；当时，点的坐标是，其中 【分析】（1）设出的坐标，表示出至三镇距离的平方和，利用配方法，可得结论； （2）记，表示出至三镇的最远距离，分类讨论，确定函数的单调性，从而可得结论． 【详解】（1）解：由题设条件，设的坐标为，则至三镇距离的平方和为 所以，当时，函数取得最小值． 则点的坐标是 （2）解：记 至三镇的最远距离为 由解得，记， 于是 当，即时， 因为在，上是增函数，而在，上是减函数． 所以时，函数取得最小值．点的坐标是 当，即时，因为在，上当函数取得最小值，而在，上是减函数，且，所以时，函数取得最小值． 则当时，点的坐标是；当时，点的坐标是，其中 题型五 距离新定义 17．设，为平面上两点，定义为，的“直角距离”.若，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】令，根据题意可化为二次函数，即可求出结果. 【详解】根据题意，直角距离， 令，则，， 线段长度， 由，得，代入得： ， 当时，取最小值为，此时，即，满足条件. 故选：A 18．在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（    ） A．，，则 B．为坐标原点，动点满足，则的轨迹为圆 C．对任意三点、、，都有 D．已知点和直线：，则 【答案】ACD 【分析】对于A：根据切比雪夫距离的定义直接运算即可；对于B：设，分析可得，且等号至少有一个成立，即可得结果；对于C：根据题意结合绝对值不等式的分析判断；对于D：设点可得，讨论可得距离，再由函数的性质，求得最小值. 【详解】对于选项A：若，，则， 因为，所以，故A正确； 对于选项B：设， 若，则，且等号至少有一个成立， 可得的轨迹如图所示，为正方形，故B错误； 对于选项C：设， 则 ， 同理可得， 所以，故C正确； 对于选项D：设为直线上一点， 则， 当，即时，则， 可知当时，取得最小值； 当，即或，则，无最小值； 综上可得：，故D正确； 故选：ACD. 19．在平面直角坐标系xOy中，定义为，两点之间的“折线距离”．已知点，若动点P满足，则点P的轨迹所围成图形的面积为______． 【答案】/0.5 【分析】设，得到，分类讨论得到点P的轨迹为正方形，求出面积. 【详解】设，， 当时，则，即， 当时，则，即， 当时，则，即， 当时，则，即， 联立，解得，同理可得其他点的坐标， 故点的轨迹所围成图形为正方形， 则 故答案为： 20．“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出的（如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过），所以在“曼哈顿几何中”，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”；即，因此：“曼哈顿两点间距离”：若，，则，在平面直角坐标系中，我们把到两定点，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“新椭圆”，“新椭圆”上任意一点设为. (1)已知，，求的值； (2)分别求，的取值范围； (3)若，，求“新椭圆”围成的面积. 【答案】(1) (2)的取值范围为；的取值范围为 (3)6 【分析】（1）根据定义直接运算求解即可； （2）设“新椭圆”上任意一点为，可得，分类讨论去绝对值，作出图象，即可得，的范围； （3）根据（2）中图象，代入，即可得面积. 【详解】（1）因为，，所以. （2）设“新椭圆”上任意一点为， 根据“新椭圆”的定义，可得，即， 当时，可得，即； 当时，可得，即； 当时，可得，即； 当时，可得，即； 当时，可得；当时，可得； 当时，可得；当时，可得；当时，可得； 作出“新椭圆”的图象，如图所示， 结合图象可知：的取值范围为；的取值范围为. （3）设“新椭圆”的图象，围成的六边形为， 若，，由（2）可知：， 所以“新椭圆”围成的面积为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.2 两点间的距离公式 题型一 求平面两点间的距离 1．已知点，则（   ） A．26 B．18 C． D．6 2．对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线l恒过点 B．当时，直线l在y轴上的截距为3 C．若直线l不经过第二象限，则 D．坐标原点到直线l的距离的最大值为 3．已知两点都在直线上，且两点横坐标之差为，则两点之间的距离为__________. 4．已知直线的方程为. (1)求出直线所过的定点，并求出到原点O的距离. (2)过点的直线交轴非正半轴与轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长. 题型二 由顶点坐标判断三角形的形状 5．已知点A(5，-1)，B(1，1)，C(2，3)，则的形状是 （   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 6．已知顶点坐标是，则下列结论正确的是（    ） A．若为直角三角形，则或 B．若为锐角三角形，则 C．若为钝角三角形，则或 D．若为等腰三角形，则 7．已知，以及点，则的面积为______． 8．已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 题型三 由距离求点的坐标 9．已知与两点间的距离是17，则的值为（    ） A．8 B． C． D． 10．已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 11．已知点，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为______． 12．已知倾斜角为的直线l过点和点B，点B在第一象限，. (1)求点B的坐标； (2)若直线l与两平行直线，相交于E、F两点，且，求实数c的值. 题型四 用两点间的距离公式求函数最值 13．函数的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 14．下列说法正确的是（    ） A．函数的图象表示过原点的所有直线 B．函数的最小值为5 C．经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为 D．若将直线上一点向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，仍在该直线上，则该直线的斜率为 15．函数的最大值为________． 16．有三个新兴城镇分别位于、、三点处，且，，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在的垂直平分线上的点处（建立坐标系如图） (1)若希望点到三镇距离的平方和最小，则应位于何处？ (2)若希望点到三镇的最远距离为最小，则应位于何处？ 题型五 距离新定义 17．设，为平面上两点，定义为，的“直角距离”.若，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 18．在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（    ） A．，，则 B．为坐标原点，动点满足，则的轨迹为圆 C．对任意三点、、，都有 D．已知点和直线：，则 19．在平面直角坐标系xOy中，定义为，两点之间的“折线距离”．已知点，若动点P满足，则点P的轨迹所围成图形的面积为______． 20．“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出的（如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过），所以在“曼哈顿几何中”，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”；即，因此：“曼哈顿两点间距离”：若，，则，在平面直角坐标系中，我们把到两定点，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“新椭圆”，“新椭圆”上任意一点设为. (1)已知，，求的值； (2)分别求，的取值范围； (3)若，，求“新椭圆”围成的面积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $