2.3.3 点到直线的距离公式（八大题型）专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以点到直线的距离公式为核心，通过八大递进题型构建从直接应用到综合迁移的训练体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求点到直线的距离|4题|直接应用公式计算距离|公式的基础应用，巩固概念| |直线围成图形的面积问题|4题|结合距离公式求三角形面积|公式的几何意义拓展| |已知距离求参数|4题|逆向运用公式建立方程求参数|公式的逆向思维训练| |到两点距离相等的直线方程|4题|利用距离相等条件求直线方程|对称思想与公式结合| |点关于直线的对称点|4题|通过距离和垂直关系求对称点|对称变换的代数表达| |两点的对称轴|4题|求两点对称轴方程|两点对称的性质应用| |光线反射问题|4题|直线关于直线对称的应用|实际情境中的对称转化| |坐标法的应用|4题|用坐标法解决距离相关实际问题|数学建模与应用意识|

2.3.3 点到直线的距离公式 题型一 求点到直线的距离 1．点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】点到直线的距离为. 故选：B. 2．已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】BD 【分析】利用点到直线的距离公式为，再解方程即可求解. 【详解】由到直线距离相等可得 ， 即，分两种情况： ①，解得， 此时斜率为，直线斜率为，符合平行条件，距离相等； ②，解得， 此时中点为，代入直线得，即，符合条件； 所以和都满足题意. 3．点到直线上的距离为__________. 【答案】/ 【分析】由点到直线的距离公式求解即可． 【详解】直线，即， 所以点到直线的距离． 故答案为：． 4．已知的三个顶点分别是，，，为中点. (1)求中线和线段分别所在的直线方程； (2)求ABC的面积. 【答案】(1)， (2)5 【详解】（1）由，，为中点，可得， 由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：； 由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：； （2）由点到直线的距离公式可得点到直线的距离为：. 由两点间的距离公式可得，两点间距离： . 所以的面积. 题型二 直线围成图形的面积问题 5．已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】C 【分析】首先求得直线与直线的交点的坐标，利用到直线的距离相等列方程，解方程求得点的坐标.利用到直线的距离以及的长，求得三角形的面积. 【详解】直线的方程为，即. 由解得. 设，直线的方程分别为 ，即 ，.根据角平分线的性质可知，到直线的距离相等，所以 ， ，由于，所以上式可化为，两边平方并化简得 ，解得（），所以. 所以到直线的距离为，而，所以. 故选：C    6．下列说法不正确的是（　　） A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B．点关于直线的对称点为（1，1） C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】BCD 【分析】对选项A，根据倾斜角和斜率的概念即可判断A正确，对选项B，，设关于直线对称的点为，得到，再解方程即可判断B错误，对选项C，分别求出直线与两坐标轴的交点，即可判断C错误，对选项D，分别讨论直线过原点和不过原点两种情况，即可判断D错误. 【详解】对选项A，任意一条直线都有倾斜角，当倾斜角为时，不存在斜率，故A正确. 对选项B，设关于直线对称的点为， 则，即关于直线对称的点为，故B错误. 对选项C，直线，令，得，令，， 则直线与坐标轴围成的面积，故C错误. 对选项D，当所求直线过原点时，设直线为， 因为点在上，所以，所求直线为. 当直线不过原点时，设所求直线为， 因为点在上，所以，所求直线为. 综上所求直线为：或，故D错误. 故选：BCD 7．在中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为___________. 【答案】8 【分析】求出关于直线的对称点，可得的直线方程，联立解出即可得出的坐标．利用点到直线的距离公式可得到的距离，可得面积． 【详解】关于直线的对称点； ，，， 的直线方程为， 联立，解得，． ； 到的距离； 的面积． 故答案为：． 8．已知，、、，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在的直线的方程； (3)三角形的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出线段的中点的坐标，求出线段的两点式方程，化为一般式方程即可； （2）求出直线的斜率，可求出边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式方程可得出所求直线的方程； （3）求出直线的方程，即可求出点到直线的距离，再求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）由题意可知线段的中点为， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. （2）直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为， 因此边上的高所在的直线的方程为，即. （3）直线的方程为，即， ， 点到直线的方程为， 因此，. 题型三 已知点到直线的距离求参数 9．若点到直线：的距离为，则（   ） A．1 B． C．或9 D．1或 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式列式计算即可. 【详解】由点到直线：的距离为，得， 所以或. 故选：D 10．已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】直线l：可化为， 依题意得，整理得，所以或． 当时，点的坐标为； 当时，点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或. 故选：AB． 11．已知点到直线的距离为2，则m的值为________． 【答案】或 【分析】由点到直线的距离公式可得. 【详解】点到直线的距离为，所以. 解得，或. 故答案为:或. 12．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，，. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于，且点在直线上，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用两点坐标可得直线斜率，由此可写出直线点斜式方程，整理可得一般式方程； （2）根据三角形面积和长可求得点到直线的距离，利用点到直线距离公式可构造方程求得结果. 【详解】（1），，边所在直线斜率， 直线方程为：，即， 即边所在直线的一般式方程为：. （2），， 点到直线的距离， 在直线上，，即， ，解得：或， 当时，；当时，； 或. 题型四 求到两点距离相等的直线方程 13．已知两点到直线的距离相等，则（    ） A．2 B． C．2或 D．2或 【答案】D 【分析】分在的同侧和异侧分类讨论求解. 【详解】（1）若在的同侧， 则，所以，， （2）若在的异侧， 则的中点在直线上， 所以解得, 故选:D. 14．已知直线过原点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先分析题意设直线为，再利用两点到直线的距离相等列式计算求得参数，即得结果. 【详解】设所求直线的方程为，即， 因为点，到直线的距离相等， 所以， 解得或， 即所求直线方程为或， 故选：AC． 15．已知直线经过点，且点到直线的距离相等，则直线的方程为__________. 【答案】或 【分析】根据点到直线的距离公式，即可根据直线有无斜率求解. 【详解】当直线有斜率时，设直线方程为， 到直线的距离相等，则，解得， 所以直线方程为，即， 当直线无斜率时，则直线方程为，此时到直线的距离均为3，符合题意， 综上可得：或， 故答案为：或 16．已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高线所在直线的方程； (2)若直线过点，且点､到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1). (2)或. 【分析】（1）求出直线的斜率，进而求出直线的斜率及方程. （2）根据给定条件，求直线与边所在的直线平行或过边的中点的直线方程即可. 【详解】（1）由，，得直线的斜率为， 因为是边上的高线，所以直线的斜率为， 而，所以直线的方程为，即. （2）由点､到直线的距离相等，得直线与边所在的直线平行或过边的中点， ①当直线与直线平行时，由，，知直线的斜率为， 所以直线的斜率为，而直线过点， 所以直线的方程为，即； ②当直线过边的中点时，由，，得边的中点为， 又，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 题型五 求点关于直线的对称点 17．直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用关于直线的对称点为求解. 【详解】设为所求直线上的任意一点， 关于直线的对称点为， 则在直线上， 则，整理得到即为所求. 故选：B. 18．已知直线，以下结论正确的有（    ） A．无论为何值，与都互相垂直 B．无论为何值，与都关于直线对称 C．与分别经过定点和 D．存在实数，使得与的交点在轴上 【答案】ACD 【分析】对于A，根据恒成立判断；对于B，任取直线上的点，求其关于直线对称的点为代入的方程检验判断；对于C，根据直线的斜截式方程直接判断；对于D，根据直线与轴交点为代入求解判断D. 【详解】对于A，由恒成立，故无论为何值，与都互相垂直，正确； 对于B，任取直线上的点，其关于直线对称的点为，代入得显然不恒成立，故错误； 对于C，由题知，进而直线与分别经过定点和，故正确； 对于D，令，代入得，即直线与轴交点为，代入得，故存在实数，使得与的交点在轴上，正确. 故选：ACD 19．已知点与点关于直线对称，则点的坐标为_____. 【答案】 【分析】设出点的坐标，再利用轴对称列出方程求解. 【详解】设点，由点与点关于直线对称， 得，解得， 所以点的坐标为. 故答案为： 20．已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标； (2)求所在的直线方程； (3)若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）联立、边上高所在的直线方程，解方程组得到垂心的坐标. （2）利用垂心性质得以确定的斜率，再通过与边上高垂直求出的方程，联立与边上的高得点坐标，最后用点斜式写出的直线方程. （3）根据对称点的垂直关系与中点在对称轴上的性质列方程组求出的坐标，再用点到直线的距离公式计算到的距离. 【详解】（1）如图所示：设的边上的高为，边上的高为，    设：，：，联立得， 解得，所以垂心； （2）， 由“三条高线交于一点”可得：，所以， 因为，设所在直线方程为，代入解得：， 所以所在直线方程：，联立直线与的方程， 可得， 解得，所以，所以所在直线方程：， 整理后可得：.    （3）设关于直线：的对称点，则有， 且的中点在上，所以， 整理得，解得， 所以，所以到直线的距离为． 题型六 求两点的对称轴 21．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意直线为线段的中垂线，先求出直线的斜率及中点坐标，再根据两直线垂直的性质得到直线的斜率，最后利用点斜式求出方程，化简即可得出. 【详解】因为点关于直线对称的点为，所以直线为线段的中垂线， 因为，中点为，且， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为即. 故选：D 22．下列选项中两点关于对称的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】AC 【分析】根据中点坐标公式求解判断即可. 【详解】两点关于对称，即为两点连线的中点. 选项A：和的中点为，A正确. 选项B：和的中点为，B错误. 选项C：和的中点为，C正确. 选项D：和的中点为，D错误. 23．若点与点关于直线对称，则直线的一般式方程为 _______． 【答案】 【分析】利用直线的位置关系结合点斜式计算两点中垂线即可. 【详解】易知的中点坐标为，两点连线斜率为， 所以直线的斜率为2，由点斜式可知其方程为：， 整理得. 故答案为： 24．已知的顶点，，直线l：过定点． (1)若是的重心，求三边所在直线的方程； (2)若，且，求顶点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】（1）由题意可得，解出即可得点坐标，结合重心性质即可得点坐标，即可逐个计算三边所在直线的方程； （2）由可得点C在的垂直平分线上，借助坐标及方程可求出其垂直平分线的坐标及方程，结合点到直线距离公式计算即可得点坐标. 【详解】（1）将l：整理得， 由，得，所以， 设，因为是的重心， 所以，解得，所以， 故所在直线的方程为，整理得， 所在直线的方程为，整理得， 所在直线的方程为，整理得； （2）因为点到直线的距离， 又，所以点C到直线的距离为， 因为，所以点C在的垂直平分线上， 中点坐标为，即， 则的垂直平分线的方程为，即， 所以，解得或， 所以或． 题型七 光线反射问题（2）——直线关于直线对称 25．一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出入射点坐标，以及关于直线对称的点的坐标，再根据反射光线经过所求两点即可求解反射光线所在直线方程． 【详解】入射光线所在直线的方程为，即， 由解得，即入射点的坐标为， 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 因为反射光线所在直线经过入射点和点，所以反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在直线的方程为，即． 故选：B． 26．光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则实数a可能为（    ） A．6 B． C．2 D． 【答案】AD 【分析】根据入射光线上的点关于直线的对称点一定在反射光线上，即可求解. 【详解】在直线上任意取一点， 由题知点关于直线的对称点在直线上， 则整理得， 解得或. 故选：AD. 27．已知光线通过点，经轴反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______. 【答案】 【分析】求出点关于轴的对称点的坐标，可知反射光线所在直线为直线，求出该直线的方程即可. 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为， 由题意可知，反射光线所在直线为直线，且该直线的斜率为， 故反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 28．已知点 ，直线 . (1)求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程； (2)光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行设出直线方程，再根据点在线上求参即可； （2）设点关于直线的对称点为，再根据斜率及中点在直线上求出，最后应用两点式写出直线方程. 【详解】（1）因为直线与直线平行，直线的方程为， 故可设直线的方程为， 因为点在直线上， 所以， 所以， 所以直线的方程为 （2）设点关于直线的对称点为． 由题意得， 解得，所以点的坐标为， 所以反射光线所在直线斜率为， 直线方程为． 题型八 坐标法的应用——点到直线的距离 29．已知为直线上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用两点的距离公式结合“将军饮马”模型计算最值即可. 【详解】如图，为点到原点和到点的距离之和， 即． 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 则，当三点共线时，取到最小值， 且最小值为． 故选：D. 30．已知直线与，过定点，则下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的充要条件是“” C．点的坐标为 D．点到直线的距离的最大值为1 【答案】BCD 【分析】根据两直线平行列方程求解，然后根据充分不必要定义判断A，根据直线垂直列方程求解，然后根据充要条件判断B，将直线变形即可求得定点判断C，由到所过定点距离为最大距离，即可判断D. 【详解】因为直线，所以，解得或，经检验都成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误. 因为直线，所以，解得， 所以“”的充要条件是“”，故B正确. 因为，即，所以过定点，故C正确. 因为过定点，所以点到直线距离的最大值， 是到定点的距离，即为，故D正确. 故选：BCD 31．已知，，为某一直角三角形的三边长，为斜边，若点在直线：上，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据题意可得，，的等量关系，由两点间距离公式可知为原点到距离的平方.结合题意，点在直线上，即可由点到直线距离公式求得的最小值. 【详解】，，为某一直角三角形的三边长，为斜边 则 点在直线：上， 表示原点到的距离平方， 当取最小值时，即为原点到直线：的距离平方最小 则由点到直线距离公式可得 所以的最小值为9 故答案为：. 32．如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． (1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以直线AN的方程是， 设点，且点P到直线AM的距离为3，故． 由点P到直线AN的距离为，可得， 解得或（舍去），所以点． （2）显然，直线BC的斜率存在． 设直线BC的方程为， 令，得．由，解得， 故，解得， 故公路BC所在直线的方程为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.3 点到直线的距离公式 题型一 求点到直线的距离 1．点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 2．已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 3．点到直线上的距离为__________. 4．已知的三个顶点分别是，，，为中点. (1)求中线和线段分别所在的直线方程； (2)求ABC的面积. 题型二 直线围成图形的面积问题 5．已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（    ） A． B． C．8 D． 6．下列说法不正确的是（　　） A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B．点关于直线的对称点为（1，1） C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 7．在中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为___________. 8．已知，、、，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在的直线的方程； (3)三角形的面积. 题型三 已知点到直线的距离求参数 9．若点到直线：的距离为，则（   ） A．1 B． C．或9 D．1或 10．已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 11．已知点到直线的距离为2，则m的值为________． 12．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，，. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于，且点在直线上，求点的坐标. 题型四 求到两点距离相等的直线方程 13．已知两点到直线的距离相等，则（    ） A．2 B． C．2或 D．2或 14．已知直线过原点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 15．已知直线经过点，且点到直线的距离相等，则直线的方程为__________. 16．已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高线所在直线的方程； (2)若直线过点，且点､到直线的距离相等，求直线的方程. 题型五 求点关于直线的对称点 17．直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 18．已知直线，以下结论正确的有（    ） A．无论为何值，与都互相垂直 B．无论为何值，与都关于直线对称 C．与分别经过定点和 D．存在实数，使得与的交点在轴上 19．已知点与点关于直线对称，则点的坐标为_____. 20．已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． (1)求垂心的坐标； (2)求所在的直线方程； (3)若关于直线：的对称点为，求点到直线的距离． 题型六 求两点的对称轴 21．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 22．下列选项中两点关于对称的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 23．若点与点关于直线对称，则直线的一般式方程为 _______． 24．已知的顶点，，直线l：过定点． (1)若是的重心，求三边所在直线的方程； (2)若，且，求顶点的坐标． 题型七 光线反射问题（2）——直线关于直线对称 25．一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 26．光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则实数a可能为（    ） A．6 B． C．2 D． 27．已知光线通过点，经轴反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______. 28．已知点 ，直线 . (1)求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程； (2)光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程. 题型八 坐标法的应用——点到直线的距离 29．已知为直线上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 30．已知直线与，过定点，则下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的充要条件是“” C．点的坐标为 D．点到直线的距离的最大值为1 31．已知，，为某一直角三角形的三边长，为斜边，若点在直线：上，则的最小值为______. 32．如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． (1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $