专题11 与圆有关的最值问题讲义【8大考点】-2026-2027学年上学期高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦与圆有关的最值问题核心知识点，系统梳理圆上点到定点、直线的距离最值，切线长度、弦长最值，代数式几何意义（斜率、距离、截距）及圆的切线、切线长、弦长公式和参数方程，形成递进式学习支架，覆盖高频考点。 该资料以高频考点分类整合，通过典型例题强化数学思维中的推理与转化能力，如将代数最值转化为几何意义分析，培养用数学眼光发现问题、用数学语言表达解法的核心素养。课中助力教师系统教学，课后便于学生巩固练习，查漏补缺。

专题11 与圆有关的最值问题高频考点精讲 知识点1： 圆上的点到定点的距离最值问题 一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值 已知圆及圆外一定点，设圆的半径为 则圆上点到点距离的最小值为，最大值为 即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点. 知识点2： 圆上的点到直线的距离最值问题 已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于 知识点3： 切线长度最值问题 1、代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； 2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题． 已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为. 知识点4： 过圆内定点的弦长最值 已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦. 知识点5： 利用代数法的几何意义求最值 1、形如的最值问题，可以转化为过点和点的动直线斜率的最值问题； 2、形如的最值问题，可以转化为点和点的距离的平方的最值问题； 3、形如的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题 知识点6： 圆的切线 (1)过圆上一点的圆的切线 ①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0. 知识点7： 切线长 ①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 . ②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝. 注意：过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 知识点8： 圆的弦长 直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法： (1)几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. (2)代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. 知识点9： 圆的参数方程 圆的标准方程，圆心为，半径为， 它对应的圆的参数方程：. 理解：如图，易得有向线段， 有向线段. 圆的参数方程为 考点一　圆上的点到定点的距离最值 考点二　圆上的点到直线的距离最值 考点三　两圆上的动点的距离最值 考点四　过圆内定点的弦长最值 考点五　圆的切线长度最值问题 考点六　利用代数式几何意义求最值(截距、距离、斜率) 考点七　与向量有关的最值 考点八　与面积有关的最值 考点一　圆上的点到定点的距离最值 1．（25-26高二上·云南保山·期末）已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 2．（25-26高二上·河北雄安·期末）实数满足，则的取值范围为______． 3．（25-26高二上·江苏泰州·期中）如果实数、满足，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东广州·期中）已知，是圆：上的两点，且，点为坐标原点，则最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 考点二　圆上的点到直线的距离最值 5．（26-27高二上·全国·课后作业）已知点在圆上，点，，则点到直线的距离的最大值为__________；当最小时，的长度为__________． 6．（25-26高二上·河南开封·期末）经过原点，半径为2的圆的圆心为，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 7．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则（    ） A．1 B． C． D．2 8．（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知圆，，是圆C上的两个动点，且，则的最大值为（    ） A．25 B．35 C．40 D．50 考点三　两圆上的动点的距离最值 9．（25-26高二下·安徽滁州·开学考试）已知两定点，，如果动点满足，点是圆上的动点，则的最大值为__________． 10．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）在平面直角坐标系中，点为圆上的一动点，直线与直线相交于点．则当实数变化时，线段长的最大值是________. 11．（25-26高二上·安徽合肥·期末）已知点分别为圆与圆的任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·广东韶关·阶段检测）已知圆和圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点四　过圆内定点的弦长最值 13．（2026·陕西榆林·模拟预测）当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 14．（2026·福建宁德·二模）直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高三下·河南周口·开学考试）已知圆，过点的直线与圆交于两点，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）直线，圆，则直线被圆截得的弦长的取值范围为______．（用区间表示） 考点五　圆的切线长度最值问题 17．（25-26高二上·河北唐山·期末）过圆：上的动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形周长的最大值为（　　） A．8 B．16 C． D． 18．（25-26高二上·重庆·期中）点是圆：上一动点，过点向圆：作两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高二下·广东深圳·期末）（多选）已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，则（   ） A．的最小值为 B．四边形的面积可能为 C．直线的斜率存在 D．直线过定点 20．（25-26高三上·广西贵港·开学考试）已知圆，过直线上的动点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D．3 考点六　利用代数式几何意义求最值(截距、距离、斜率) 21．（25-26高二上·福建三明·阶段检测）（多选）已知点在圆上运动，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值为，最小值为 B．的最大值为，最小值为； C．的最大值为，最小值为； D．的最大值为，最小值为； 22．（2026高三·全国·专题练习）已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 23．（25-26高二上·安徽宣城·阶段检测）已知点P（x，y）是圆上的动点.求： （1）的取值范围； （2）的取值范围； （3）的取值范围； 24．（2026高二下·全国·专题练习）已知实数满足方程.求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； (3)的最大值和最小值． 考点七　与向量有关的最值 25．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知正三角形的边长为3，且，过点且垂直于的直线交的外接圆于两点，若点为边上的动点，则的最大值为___________． 26．（2026高二下·全国·专题练习）已知等边的边长为，点P是该三角形所在平面内的动点，满足，当向量的模取最大值时，与夹角的正切值为（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高一下·广东·期中）已知为平面向量，为单位向量.若非零向量与的夹角为，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 28．（25-26高二下·浙江·期中）已知是圆上的动点，，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点八　与面积有关的最值 29．（2026高三下·全国·专题练习）过作两条互相垂直的直线分别交圆于和，求四边形面积的最大值． 30．（25-26高二下·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 31．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 32．（2026·山东泰安·模拟预测）已知圆与直线相切于点，与圆有三条公切线，若圆心的横坐标为自然数，则满足条件的所有圆的面积之和为（） A． B． C． D． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 与圆有关的最值问题高频考点精讲 知识点1： 圆上的点到定点的距离最值问题 一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值 已知圆及圆外一定点，设圆的半径为 则圆上点到点距离的最小值为，最大值为 即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点. 知识点2： 圆上的点到直线的距离最值问题 已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于 知识点3： 切线长度最值问题 1、代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； 2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题． 已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为. 知识点4： 过圆内定点的弦长最值 已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦. 知识点5： 利用代数法的几何意义求最值 1、形如的最值问题，可以转化为过点和点的动直线斜率的最值问题； 2、形如的最值问题，可以转化为点和点的距离的平方的最值问题； 3、形如的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题 知识点6： 圆的切线 (1)过圆上一点的圆的切线 ①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0. 知识点7： 切线长 ①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 . ②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝. 注意：过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 知识点8： 圆的弦长 直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法： (1)几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. (2)代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. 知识点9： 圆的参数方程 圆的标准方程，圆心为，半径为， 它对应的圆的参数方程：. 理解：如图，易得有向线段， 有向线段. 圆的参数方程为 考点一　圆上的点到定点的距离最值 考点二　圆上的点到直线的距离最值 考点三　两圆上的动点的距离最值 考点四　过圆内定点的弦长最值 考点五　圆的切线长度最值问题 考点六　利用代数式几何意义求最值(截距、距离、斜率) 考点七　与向量有关的最值 考点八　与面积有关的最值 考点一　圆上的点到定点的距离最值 1．（25-26高二上·云南保山·期末）已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 【答案】 【详解】圆的标准方程为， 则圆心为，半径， 又圆心到点A的距离，所以点A在圆外， 则的最大值为，的最小值为， 则的取值范围为 2．（25-26高二上·河北雄安·期末）实数满足，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由的几何意义即可求解. 【详解】如图： 点为圆上一点，， 则表示线段的长度． 所以， 可得的取值范围为． 故答案为： 3．（25-26高二上·江苏泰州·期中）如果实数、满足，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的方程表示为标准方程，求出的范围，由可得，结合的范围可得出的范围，即可得解. 【详解】由可得可得，解得， 由可得，故的最大值为. 故选：D. 4．（25-26高二上·广东广州·期中）已知，是圆：上的两点，且，点为坐标原点，则最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设为的中点，由取得的最小值即可求解. 【详解】已知、是圆：上的两点，且， 点为坐标原点，由于，即为， 故圆的圆心为，半径为2，设为的中点，则， 结合，得到，即点在以为圆心，半径为的圆上， 又，则， 而， 的最小值为， 则的最小值为. 故选：D 考点二　圆上的点到直线的距离最值 5．（26-27高二上·全国·课后作业）已知点在圆上，点，，则点到直线的距离的最大值为__________；当最小时，的长度为__________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，利用几何性质，结合点到直线距离公式求出最大值，再作出图形，确定角最小时直线的位置求解. 【详解】依题意，直线的直线方程为，即，圆的圆心，半径为4， 圆心到直线的距离为，因此点到直线的距离的最大值为； 如图：当最小时，直线与圆相切，又，，所以. 6．（25-26高二上·河南开封·期末）经过原点，半径为2的圆的圆心为，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先明确点的轨迹为圆，圆心为，半径，再求点到直线的距离，则为所求. 【详解】由题意，圆心的轨迹为圆，其圆心为，半径， 则到直线的距离为. 所以点到直线的距离的最小值为. 故选：A 7．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据圆的性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 又因为圆上恰有三个点到直线的距离为1， 所以圆心到直线的距离为，所以有，得. 故选：B. 8．（25-26高二上·四川宜宾·期末）已知圆，，是圆C上的两个动点，且，则的最大值为（    ） A．25 B．35 C．40 D．50 【答案】D 【分析】取的中点，根据题意可得点的轨迹，再将看作点到直线的距离的5倍，结合圆的性质即可求解. 【详解】由题知，圆的圆心为，半径为2， 取的中点，连接，则， 因为，则， 可知点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆， 令， 可分别看作点到直线的距离， 则是点到直线的距离的2倍， 且点到直线的距离，则的最大值为， 所以的最大值为. 故选：D. 考点三　两圆上的动点的距离最值 9．（25-26高二下·安徽滁州·开学考试）已知两定点，，如果动点满足，点是圆上的动点，则的最大值为__________． 【答案】/ 【分析】由已知条件可求得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，则的最大值为两圆圆心距加两圆半径. 【详解】设点坐标，，， ，即，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又点是圆上的动点，如图， 由图可知，的最大值为两圆圆心距加两圆半径，即． 故答案为：． 10．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）在平面直角坐标系中，点为圆上的一动点，直线与直线相交于点．则当实数变化时，线段长的最大值是________. 【答案】8 【分析】直线为过点（-2,0）的直线，直线为过（2,0）的直线，根据题意，两直线垂直且两直线方程联立得 ，进而问题转化为圆上的点到圆上的点的距离的最大值. 【详解】直线 ，变形为y=k（x+2），即直线恒过过点（-2,0）， 直线，变形为y=（x-2），即直线恒过点（2,0）， 联立两条直线方程得 ，整理得 经验证，当k不存在时，直线：x=-2，直线：y=0，当k=0时，直线：y=0，直线：x=2，其交点都满足， 故问题转化为求圆上的点到圆上的点的距离的最大值， 故 【点睛】本题考查了直线的方程、圆的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系等，考查了推理能力与计算能力，难度中等，解答本题的关键得出交点的方程，将问题转化为求两个圆上的点的距离的最大值问题. 11．（25-26高二上·安徽合肥·期末）已知点分别为圆与圆的任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判定两圆的位置关系为相离的关系，然后利用几何方法得到的取值范围. 【详解】的圆心为,半径， 的圆心为,半径， 圆心距， ∴两圆相离， ∴， 故选：B. 12．（25-26高二上·广东韶关·阶段检测）已知圆和圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标，以及半径，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出的最小值. 【详解】圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为3， ∴若与关于x轴对称，则，即， 由图易知，当三点共线时取得最小值， ∴的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和， ∴. 故选：D. 考点四　过圆内定点的弦长最值 13．（2026·陕西榆林·模拟预测）当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线过定点，求出圆的圆心和半径，当时，直线与圆相交所得弦长最短，根据斜率得到方程，求出答案. 【详解】直线过定点， 圆的标准方程为，则圆心为，半径为. 定点在圆内，当时，直线与圆相交所得弦长最短. 因为，所以直线的斜率为1，故，解得. 14．（2026·福建宁德·二模）直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知直线过定点，且斜率存在，结合圆的性质求弦长的最小值. 【详解】直线即， 所以直线过定点，且斜率存在， 圆的圆心为，半径， 则，直线的斜率， 当时，直线被圆截得的弦长的最小值为， 此时直线的斜率，符合题意. 15．（25-26高三下·河南周口·开学考试）已知圆，过点的直线与圆交于两点，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆心到直线的距离为，结合点的位置求得的取值范围，利用弦长公式求得弦长，将的面积表示为关于的函数，设，利用二次函数的性质即可求得其取值范围. 【详解】圆的圆心为原点，半径， 直线过定点，在圆内，且, 设圆心到直线的距离为， 则，且， 故的面积为 . 设，则,函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，，当时，则. 故的面积的取值范围是. 【点睛】这道题核心是利用基本不等式求三角形面积的最值，先结合弦长公式表示面积，再通过二次函数性质范围. 16．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）直线，圆，则直线被圆截得的弦长的取值范围为______．（用区间表示） 【答案】 【分析】求出直线恒过的定点，易知直线过圆心时弦长最大，当圆心与定点连线与直线垂直时，弦长最小，由勾股定理得到最短弦长，即可得解 【详解】直线：， 令，所以直线恒过点， 因为，则点在圆C内部，直线与圆C相交， 圆心，半径，当截得弦长最长时，直线过圆心，即为直径长度6， 当圆心与点连线与直线垂直时，弦长最短，最短弦长为. 所以弦长的取值范围为． 故答案为： 考点五　圆的切线长度最值问题 17．（25-26高二上·河北唐山·期末）过圆：上的动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形周长的最大值为（　　） A．8 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】由勾股定理表示出切线长以及所求周长，根据几何关系可得当共线且按此顺序排列时取得最大值，计算求解即可. 【详解】由题意，， 四边形周长为， 当共线且按此顺序排列时，， 则四边形周长最大值为16， 故选：B. 18．（25-26高二上·重庆·期中）点是圆：上一动点，过点向圆：作两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将四边形的面积表示为，求得的最大值即可. 【详解】由圆为，可得圆心为，半径为， 由，可得圆心，半径为， 连接，则在中，， 所以四边形的面积， 所以最大时，四边形面积的最大值， 因为， 所以， 所以四边形面积的最大值为. 故选：D. 19．（25-26高二下·广东深圳·期末）（多选）已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，则（   ） A．的最小值为 B．四边形的面积可能为 C．直线的斜率存在 D．直线过定点 【答案】ABD 【分析】对A，根据条件得，再求出的最小值，即可求解；对B，利用A中结果，即可求解；对C，根据条件，直接求出直线的方程，再利用的取值范围，即可求解；对D，根据C可得直线的方程为，即可求解. 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 对于A，因为，又圆心到直线的距离， 则，所以的最小值为，故A正确， 对于B，因为四边形面积， 由选项A知，所以，故B正确， 对于C，设，则，， 以为圆心，为半径的圆的方程为，即①， 又在圆②上，由①②得到，即， 所以直线的方程为，又点在直线上运动， 当时，直线的斜率不存在，所以C错误， 对于D，由选项C知直线的方程为，且， 所以直线的方程为，即， 由，得到，所以直线恒过定点，故D正确. 20．（25-26高三上·广西贵港·开学考试）已知圆，过直线上的动点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D．3 【答案】B 【分析】连接，则有，当最小时，最小， 则为圆心到直线的距离，从而得到的最小值． 【详解】连接，则， 当最小时，最小，又圆的圆心为，半径为， 则，故的最小值为． 故选：B． 考点六　利用代数式几何意义求最值(截距、距离、斜率) 21．（25-26高二上·福建三明·阶段检测）（多选）已知点在圆上运动，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值为，最小值为 B．的最大值为，最小值为； C．的最大值为，最小值为； D．的最大值为，最小值为； 【答案】BC 【分析】（1）设，利用斜率模型，可转化为，根据圆心到直线的距离等于半径即可求解； （2）设，利用截距模型，可转化为，根据圆心到直线的距离等于半径即可求解． 【详解】解：（1）设，整理得，则表示点与点连线的斜率． 当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值，所以，解得， 所以的最大值为，最小值为； （2）设，整理得，则表示直线在轴上的截距． 当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值，所以，解得， 的最大值为，最小值为． 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是，根据及的几何意义，当直线与圆相切时取得最大与最小值. 22．（2026高三·全国·专题练习）已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 【答案】(1) (2) (3)最小值为，最大值为． 【分析】（1）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （2）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （3）解法一：通过的几何意义即可求解；解法二：令，，，通过三角函数求解的最值即可. 【详解】（1）已知原式可化为，它表示以为圆心，以为半径的圆，    设，则，直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时，解得或（舍去）， 所以的最大值为． （2）设，即直线，为直线在轴上的截距， 由图可知，当直线与圆切于点时，有最小值，此时圆心到直线的距离为半径， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为． （3）解法一：记，则，其中为圆上任一动点．易求， 由图可知，当点位于点时，最大；当点位于点时，最小． 因此所求的最大值为，最小值为， 即的最大值为，最小值为. 解法二：设为圆上任一动点，令，，， 则，其中， 由于，所以，所以， 即的最大值为，最小值为. 23．（25-26高二上·安徽宣城·阶段检测）已知点P（x，y）是圆上的动点.求： （1）的取值范围； （2）的取值范围； （3）的取值范围； 【答案】（1），（2），（3） 【解析】（1）表示圆上的点到点的距离的平方，只要求出点到圆心的距离，而，从而可得答案 （2）设，则，则直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，从而求出的取值范围即为秘求； （3）设，即，直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，从而求出的取值范围即为所求 【详解】解：圆可化为，则圆心，半径， （1）表示圆上的点到点的距离的平方， 因为， 所以，即， 所以， 所以的取值范围为； （2）设，则，则直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，解得， 所以的取值范围为； （3）设，即，直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，解得，所以的取值范围为 【点睛】方法点睛：此题考查与圆有关的最值问题，求解与圆有关的最值问题的两大规律： （1）借助几何性质求最值 处理与圆有关的最值问题应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合的思想求解， （2）建立函数关系式求最值 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的方法 24．（2026高二下·全国·专题练习）已知实数满足方程.求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； (3)的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据圆心坐标和半径可知表示圆上的点与原点连线的斜率，再由直线与圆相切即可得出结果； （2）令，可知其几何意义表示直线在轴上的截距，由点到直线距离计算可得结果； （3）易知表示圆上的点与原点距离的平方，又圆心到原点的距离为2，得出圆上的点到原点距离的最大值和最小值，再平方即可. 【详解】（1）原方程表示以点为圆心，为半径的圆． 设，即，则当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 此时，解得， 故的最大值为，最小值为. （2）设，即， 则当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值， 此时，解得， 故的最大值为，最小值为. （3）易知表示圆上的点与原点距离的平方． 由平面几何知识知，它在原点与圆心所在的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为2， 故，. 考点七　与向量有关的最值 25．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知正三角形的边长为3，且，过点且垂直于的直线交的外接圆于两点，若点为边上的动点，则的最大值为___________． 【答案】5 【分析】设为外接圆的圆心，结合垂径定理和正弦定理可得的值，再由极化恒等式推出，于是问题转化为求的最大值，然后结合余弦定理，即可得解． 【详解】设为外接圆的圆心，连接并延长交于点，连接， 因为，所以， 因为为正三角形，所以也是的重心， 所以，所以，， 因为，所以， 在中，由正弦定理可知，外接圆半径， 即，所以， 因为， 所以，所以， 因为点为边上的动点，当点与点重合时，， 在中，由余弦定理可知，， 所以， 所以. 26．（2026高二下·全国·专题练习）已知等边的边长为，点P是该三角形所在平面内的动点，满足，当向量的模取最大值时，与夹角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过化简向量条件得出动点P的轨迹，再利用三点共线确定使线段最长时P的位置，最后在直角三角形中解出目标夹角的正切值即可. 【详解】设的中点为，以为原点建系，则有，， ，解得， 所以点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆， 易得等边的高，所以点在圆外， 要使的模取最大值，此时三点共线，由圆的图像性质易得此时， 则，与的夹角为， 在中，. 27．（25-26高一下·广东·期中）已知为平面向量，为单位向量.若非零向量与的夹角为，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查向量模的几何意义，先建立平面直角坐标系，有两种方法可以解决本问题，方法一几何法：不妨假设单位向量方向与轴正方向同向，利用非零向量与的夹角为构造出向量，由于，根据向量减法以及向量数量积的几何意义知的终点运动轨迹，最后再表示出，求解的最小值；方法二代数法：不妨假设单位向量方向与轴正方向同向，假设，利用非零向量与的夹角为，且，找出的关系，最后把用表示出来求解最小值. 【详解】法一：如图，，， 设的起点为原点，终点为的起点为原点，则， 由题意得的终点在射线或射线上，不妨假设的起点为原点，终点为点, 那么， 所以，, 根据向量减法以及向量数量积的几何意义知的终点的运动轨迹是以线段为直径的圆， 所以的最小值为圆心到射线或射线的距离减去半径1，即. 法二：设， 由，得，则， 所以. 由，得， 即， 所以，点在以为圆心，半径为1的圆上运动 即圆上的点到直线的距离， 所以的最小值即为圆心到直线的距离减去半径1， 即. 28．（25-26高二下·浙江·期中）已知是圆上的动点，，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】取线段的中点，可得，依题意即求的最小值，由图可知，当且仅当且(三点共线且点在线段上)时，最小，利用点到直线的距离公式与圆的弦长公式计算即得. 【详解】如图，取线段的中点，连接，则， 由图知，当且仅当且(三点共线且点在线段上)时， 点到直线的距离与点到直线的距离之差的绝对值取得最大值， 即的最小值为，故此时取得最小值为. 考点八　与面积有关的最值 29．（2026高三下·全国·专题练习）过作两条互相垂直的直线分别交圆于和，求四边形面积的最大值． 【答案】23 【分析】把面积最值转化为两条弦长乘积的最值，利用圆的弦长公式把两条弦长转换成圆心到两弦的距离，又因为两弦心距与存在数量关系，再利用基本不等式可求解. 【详解】圆的方程为，圆心为原点，半径. 点在圆内，圆心到点��的距离. 如图，过作交于点，过作交于点. 又因为，所以四边形为矩形，所以.    由于，所以. 在圆中，，所以. 同理可得. 所以， 当且仅当即时等号成立. 所以. 所以. 30．（25-26高二下·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点在圆上，分析可得，要使四边形面积取到最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【详解】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 31．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】圆，得圆，圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 四边形的面积， 要使其最小，需取最小值，而，此时. 32．（2026·山东泰安·模拟预测）已知圆与直线相切于点，与圆有三条公切线，若圆心的横坐标为自然数，则满足条件的所有圆的面积之和为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由切线垂直于半径得圆心纵坐标与横坐标满足，整理已知圆方程得出圆心与半径，依据三条公切线推出两圆外切，利用点到直线距离表示圆半径，结合两点距离公式建立等式化简得到，结合为自然数且半径不为零确定取值，再代入面积公式求出面积相加得到结果. 【详解】圆与直线相切于点，切线斜率为. 故圆心与连线垂直于切线，斜率为. 设圆心，则，得，即. 圆：化为标准式. 圆心，半径. 两圆有三条公切线，故两圆外切，即. 设圆半径为，由相切得.. 由外切得，约去得. 圆心横坐标为自然数，分情况讨论： 时，，无解； 时，，得，舍去； 时，，恒成立. 结合，为自然数，得. 圆面积，时，；时，. 故满足条件的所有圆的面积之和为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $