3.2.2 双曲线的简单几何性质课后同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本练习围绕双曲线几何性质，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，实现从概念理解到复杂问题解决的递进，培养数学思维与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|渐近线、离心率等单一概念|单选形式直接考查定义与公式（如焦距计算、实虚轴关系）| |中档层|焦点、渐近线综合性质|结合图形与几何关系（如渐近线垂直求离心率、焦点三角形）| |拔高层|跨知识综合应用|填空与解答题融合直线与双曲线位置关系、椭圆双曲线交汇问题|

3.2.2 双曲线的简单几何性质课后同步练习 1．（2026高二·全国·专题练习）已知、是双曲线的左、右焦点，点在上，与的一条渐近线垂直，且，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·陕西安康·期末）已知双曲线：的离心率为，则的焦距为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·广东肇庆·二模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 4．（2026·甘肃兰州·三模）已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·重庆·三模）已知双曲线的离心率，焦点到渐近线的距离为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）圆心为原点、半径为的圆分别与轴负半轴、双曲线：（，）的一条渐近线交于，两点（在第一象限），若的另一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的左右焦点为，，为上一点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·内蒙古·期末）（多选）已知双曲线：，则的（    ） A．实轴长为定值 B．焦点在轴上 C．离心率为定值 D．渐近线方程为 9．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）（多选）如图，双曲线的左右焦点分别为，，过的直线l与其右支交于P，Q两点，已知且，则下列说法正确的是（   ） A． B．双曲线的离心率为3 C． D．的面积为 10．（25-26高二下·四川凉山·期末）（多选）已知，分别是双曲线：，（，）的左、右焦点，为其右支上一点（异于右顶点），的内切圆与轴相切于点，则下列说法正确的是（     ） A．点到轴的距离为 B．若，则的渐近线方程为 C．若且，则的离心率为 D．若，则的周长为 11．（25-26高二上·上海虹口·期中）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则__________． 12．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚半轴长为________． 13．（2026高三·全国·专题练习）两条渐近线为，的双曲线，则被直线截得弦长为，双曲线方程为__________． 14．（2026高三上·全国·专题练习）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，分别是两曲线的离心率，求的最小值． 15．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知双曲线，过点的直线l与交于不同两点A、B. (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)若点A坐标为，点B在双曲线右支上，且B为线段AM的中点，求直线l的斜率； (3)若，点、分别是双曲线的左、右焦点，点是点A关于y轴的对称点，若存在直线l，使得，求m的取值范围. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 双曲线的简单几何性质课后同步练习 1．（2026高二·全国·专题练习）已知、是双曲线的左、右焦点，点在上，与的一条渐近线垂直，且，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点到双曲线的渐近线的距离，结合可得出与的等量关系，即可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意可设与的一条渐近线垂直时，垂足为点，不妨设点在第一象限内. 点到双曲线的一条渐近线的距离为， 所以，即，即，故， 所以的渐近线方程为. 2．（25-26高二下·陕西安康·期末）已知双曲线：的离心率为，则的焦距为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知双曲线：，则或. 当焦点在轴上时：此时，实半轴平方，虚半轴平方， 半焦距平方，离心率， 已知，则，与冲突，故不成立； 当焦点在轴上时：此时，此时方程可化为， 实半轴平方，虚半轴平方， 半焦距平方， 离心率， 满足，故半焦距，则焦距为，B正确. 3．（2026·广东肇庆·二模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 【答案】B 【分析】由题意确定的范围，进而逐项判断即可. 【详解】由表示双曲线， 得，得，所以焦点在轴上， 又， 所以顶点坐标，焦点坐标，虚轴长，离心率， 双曲线的顶点坐标，焦点坐标，虚轴长，离心率， 因此两个双曲线具有相同的焦点，其他选项均不能确定满足. 4．（2026·甘肃兰州·三模）已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到方程，求出，得到双曲线方程和渐近线方程. 【详解】由题意得，解得， ，故渐近线方程为. 故选：C 5．（2026·重庆·三模）已知双曲线的离心率，焦点到渐近线的距离为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得出的值. 【详解】因为，则，故， 双曲线的渐近线方程为，即， 双曲线的焦点为，双曲线的焦点到渐近线的距离为， 故． 6．（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）圆心为原点、半径为的圆分别与轴负半轴、双曲线：（，）的一条渐近线交于，两点（在第一象限），若的另一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得交点、的坐标，结合两条直线垂直斜率乘积为建立方程，再利用双曲线中，，的关系求解离心率. 【详解】 双曲线的渐近线方程为，半径为的圆的方程为. 圆与轴负半轴交点为，联立圆与渐近线的方程： 代入得， 结合，解得第一象限交点. 由题意，另一条渐近线与直线垂直，故两条直线斜率乘积为. 直线的斜率为： . 因此有： 化简得，结合双曲线关系，代入得： . 两边同除以，结合离心率，得，解得（不符合离心率取值范围，舍去）. 7．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的左右焦点为，，为上一点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点在的右支上，,则，由，可得①，在中，由余弦定理可得②，由①②即可得与的关系，再根据离心率公式求解即可. 【详解】不妨设点在的右支上，, 则， 又因为为中点， 所以， 平方得， 即， 整理得，① 在中，由余弦定理可得：, 即， 整理得，② 由①②可得：，即， 所以双曲线的离心率， 又因为， 所以. 8．（25-26高二下·内蒙古·期末）（多选）已知双曲线：，则的（    ） A．实轴长为定值 B．焦点在轴上 C．离心率为定值 D．渐近线方程为 【答案】BC 【详解】因为，可得， 则，，， 可得实轴长为，不为定值，故A错误； 焦点在轴上，故B正确； 离心率为，为定值，故C正确； 渐近线方程为，故D错误. 9．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）（多选）如图，双曲线的左右焦点分别为，，过的直线l与其右支交于P，Q两点，已知且，则下列说法正确的是（   ） A． B．双曲线的离心率为3 C． D．的面积为 【答案】ACD 【分析】A.结合等角条件证明三角形相似；B.由三角形相似得到线段比例，求解离心率；C.借助余弦定理求解；D.由三角形的面积公式求解. 【详解】对于 A，因为，且 （公共角）， 所以，A 正确； 对于B，双曲线 ，， 因为 ，联立得：，， 由，得， 则，，所以， 又，即，得，故 ，B 错误； 对于 C，在中， ，，， 由余弦定理得，C 正确； 对于 D， ， 因为，所以, 又因为，， 所以 的面积 ，D 正确. 10．（25-26高二下·四川凉山·期末）（多选）已知，分别是双曲线：，（，）的左、右焦点，为其右支上一点（异于右顶点），的内切圆与轴相切于点，则下列说法正确的是（     ） A．点到轴的距离为 B．若，则的渐近线方程为 C．若且，则的离心率为 D．若，则的周长为 【答案】BCD 【分析】先由双曲线的定义及圆的切线长定理得，从而可得，进而可判断A错误；对B由向量的坐标运算可得，从而可判断渐近线方程；对C在焦点三角形中用余弦定理可得离心率；对D由勾股定理及双曲线的定义可得. 【详解】 设双曲线焦点 ，设的内切圆与相切于. 因为点在右支上，故. 根据三角形内切圆切线长相等：， 所以， 即. 设 ，则，得，即 . 选项A，因为到轴距离为，不一定等于，故A错误； 选项B，由 ，所以， 故，又，得，即​， 所以双曲线的渐近线方程为，故B正确； 选项C，由题意 ，，，， 由余弦定理：， 代入上述值得，， ，所以，，因此​​ ，C正确； 选项D，设，由，得， 又，所以 ，得​， 故​周长为 ，故D正确. 11．（25-26高二上·上海虹口·期中）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则__________． 【答案】 【分析】利用椭圆与双曲线焦点相同建立方程求出参数即可. 【详解】由题知双曲线的焦点在轴上， 设半焦距为，由双曲线性质得：， 因为椭圆与双曲线焦点相同，故椭圆的焦点也在轴上，即， 由椭圆的性质得：， 所以，即，由，解得：. 12．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚半轴长为________． 【答案】 【分析】通过四边形的面积计算，并得到点的坐标，代入双曲线的方程求解. 【详解】不妨设点在第一象限，如图， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，故， 因为，所以，由对称性易得四边形是平行四边形， 其面积为， 得，则，代入双曲线方程得，又， 解得，，则，即的虚半轴长为. 13．（2026高三·全国·专题练习）两条渐近线为，的双曲线，则被直线截得弦长为，双曲线方程为__________． 【答案】 【分析】根据渐近线方程设出双曲线方程，与直线方程联立，结合弦长公式及韦达定理求解即可. 【详解】已知两条渐近线为，，即. 可设双曲线的方程为. 联立，整理得. ，则. 设方程的两根为，，则，， 代入弦长公式得， 即，，解得. 故双曲线方程为，即. 14．（2026高三上·全国·专题练习）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，分别是两曲线的离心率，求的最小值． 【答案】 【分析】令在双曲线的右支上，设的焦距均为，由已知条件结合椭圆和双曲线的定义可得，再利用基本不等式即可求得的最小值． 【详解】令在双曲线的右支上，设的焦距均为， 则由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得， 所以，故， 又，则，故， 因此， 当时等号成立，所以的最小值为． 15．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知双曲线，过点的直线l与交于不同两点A、B. (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)若点A坐标为，点B在双曲线右支上，且B为线段AM的中点，求直线l的斜率； (3)若，点、分别是双曲线的左、右焦点，点是点A关于y轴的对称点，若存在直线l，使得，求m的取值范围. 【答案】(1)焦距为4，离心率 (2) (3)且 【分析】（1）根据双曲线方程求出，即可求得焦距和离心率； （2）根据中点公式用表示出点的坐标，根据点在双曲线右支上，列方程求出，再由斜率公式即可解出； （3）设，，联立直线和双曲线方程可得，再根据，代入并化简，可得到的关系，然后由，即可求出的取值范围. 【详解】（1）由题可知，，，所以焦距. 离心率. （2）因为B是线段AM的中点，所以， 同时B又在双曲线右支上，所以有，且， 解得， 所以l斜率. （3），设，， 则， 双曲线和直线l联立得， 化简得到， 因此有， . 由得， 代入并化简得， 再代入并化简得， 方程有解，代入t的范围，得到且. 由于，所以的取值范围为且. 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $