3.2.1 双曲线及其标准方程同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 《双曲线及其标准方程》高一升高二暑假预习同步练，以“基础概念-性质应用-综合建模”分层设计，通过选择、填空、解答题梯度进阶，强化数学抽象与逻辑推理，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|双曲线定义、方程条件|选择1（定义判断）、2（方程条件），聚焦数学抽象能力| |中档|焦点距离、面积性质|选择3（焦点距离计算）、9（面积与性质综合），培养运算推理能力| |提升|轨迹方程、光学应用|填空12（轨迹推导）、解答15（几何建模），发展数学建模与应用意识|

3.2.1 双曲线及其标准方程 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.平面内到两定点、的距离之差等于10的点的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 双曲线的一支 D. 以上选项都不对 2.k>9是方程＋＝1表示双曲线的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.若双曲线4x2－y2＋16＝0上一点P到它的一个焦点的距离为1，则点P到另一个焦点的距离为(　　) A.3 B.5 C.7 D.9 4.已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线上任一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|等于(　　) A.1 B.2 C.4 D. 5.（2025-2026·湖南永州高二上期中）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（） A. B.6 C.8 D.10 6.（2024-2025·湖南邵阳高二上期末）已知双曲线，是它的两个焦点，为坐标原点，是双曲线右支上一点，，则（） A. B. C. D. 7.已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，O为坐标原点，点P是双曲线C上的一点，，且的面积为4，则实数（ ） A. B. 2 C. D. 4 8.双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线射向C上的点P(8，y0)后，被C反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是(　　) A. B.－ C. D.－ 二、多选题（共3小题） 9.已知点P在双曲线C：－＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有(　　) A.点P到x轴的距离为 B.|PF1|＋|PF2|＝ C.△PF1F2为钝角三角形 D.∠F1PF2＝ 10.（2025-2026·湖南永州高二上期中）变化时，方程表示的曲线的形状可以是（） A.两条平行直线 B.圆 C.焦点在轴上的椭圆 D.焦点在轴上的双曲线 11.双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为(　　) A.17 B.7 C.22 D.2 三、填空题（共3小题） 12.已知圆C：(x＋3)2＋y2＝4及点A(3,0)，Q为圆周上一点，AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，则动点M的轨迹方程为                  ． 13.已知平面内两点F1(－1，2)，F2(3，5)，且动点M满足|MF1|－|MF2|＝5，则M的轨迹为                  . 14.（2025-2026·湖南湘潭高二下期末）已知为双曲线的左焦点，，为右支上的两点.若，点在直线上，则的周长为                   . 四、解答题（共2小题） 15.在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN=90°，tan∠PMN=，以MN的中点为坐标原点，MN所在直线为x轴，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线的标准方程. 16.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝3，c＝4； (2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1 双曲线及其标准方程 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——解析版 一、选择题（共8小题） 1.平面内到两定点、的距离之差等于10的点的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 双曲线的一支 D. 以上选项都不对 【答案】D 【解析】由、， 可知两定点间的距离为 ， 所以平面内到两定点、的距离之差等于的点的轨迹为一条射线. 故选：D. 2.k>9是方程＋＝1表示双曲线的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】∵方程＋＝1表示双曲线， ∴(9－k)(k－4)<0，即k>9或k<4， ∴k>9是该方程表示双曲线的充分不必要条件． 3.若双曲线4x2－y2＋16＝0上一点P到它的一个焦点的距离为1，则点P到另一个焦点的距离为(　　) A.3 B.5 C.7 D.9 【答案】D 【解析】双曲线方程4x2－y2＋16＝0可化为－＝1. 可得a＝4,2a＝8，b=2，c＝＝2. 设点P到另一个焦点的距离为m(m>0)． 根据双曲线的定义可得，|m－1|＝2a＝8，解得m＝9. 即点P到另一个焦点的距离为9.故选D. 4.已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线上任一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|等于(　　) A.1 B.2 C.4 D. 【答案】A 【解析】不妨在双曲线右支上取点P，延长PF2，F1H交于点Q，由角平分线性质可知|PF1|＝|PQ|.根据双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2a=2，从而|QF2|＝|PQ|-|PF2|=2，在△F1QF2中，OH为其中位线，故|OH|＝|QF2|＝1. 5.（2025-2026·湖南永州高二上期中）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（） A. B.6 C.8 D.10 【答案】B 【解析】由双曲线方程，可知. 焦点间距离，故. 由双曲线中，得，即. 点在双曲线右支上，根据双曲线定义，. 故答案为：B. 6.（2024-2025·湖南邵阳高二上期末）已知双曲线，是它的两个焦点，为坐标原点，是双曲线右支上一点，，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由双曲线方程得,, 焦距,焦点,. 设在右支上，满足. 在中，由余弦定理得. 将代入，化简得. 由得. 利用面积公式. 代入数据解得. 将代入双曲线方程得. 因此. 7.已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，O为坐标原点，点P是双曲线C上的一点，，且的面积为4，则实数（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】由点P是双曲线C：上的一点，且， 则.进而得为直角三角形，且； 则有①，②， 因为的面积为4，所以的面积为8，则有③. 联立①②③，解得. 故选：C. 8.双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线射向C上的点P(8，y0)后，被C反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是(　　) A. B.－ C. D.－ 【答案】C 【解析】设P(8，y0)在第一象限，将点P(8，y0)代入双曲线方程得－＝1⇒y0＝3， |PF2|＝＝6， 由双曲线定义可知，|PF1|－|PF2|=2a=8，所以|PF1|＝6＋8＝14，|F1F2|＝10，在△F1PF2中,由余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝. 二、多选题（共3小题） 9.已知点P在双曲线C：－＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有(　　) A.点P到x轴的距离为 B.|PF1|＋|PF2|＝ C.△PF1F2为钝角三角形 D.∠F1PF2＝ 【答案】BC 【解析】因为双曲线C：－＝1，所以c＝＝＝5.又因为＝·2c|yP|＝·10·|yP|＝20，所以|yP|＝4，所以选项A错误； 将|yP|＝4代入C：－＝1得－＝1，解得x=±，即|xP|＝.由对称性，不妨取P的坐标为，可知|PF2|＝＝.由双曲线定义可知|PF1|＝|PF2|＋2a＝＋8＝，所以|PF1|＋|PF2|＝＋＝，所以选项B正确； 由对称性，对于点P，在△PF1F2中，|PF1|＝>|F1F2|＝10>|PF2|＝.且cos∠PF2F1＝＝－<0，则∠PF2F1为钝角， 所以△PF1F2为钝角三角形，选项C正确； 由余弦定理得 cos∠F1PF2＝＝≠，所以∠F1PF2≠，所以选项D错误． 10.（2025-2026·湖南永州高二上期中）变化时，方程表示的曲线的形状可以是（） A.两条平行直线 B.圆 C.焦点在轴上的椭圆 D.焦点在轴上的双曲线 【答案】AB 【解析】当，，方程变为，解得，是两条平行直线，A正确； 当，，方程为，是圆，B正确； 当，，方程，，是焦点在轴上的椭圆， C错误； 当，，若，方程，是焦点在轴上的双曲线； 但时是等轴双曲线，不过说焦点在轴上错误，D错误. 答案为AB. 11.双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为(　　) A.17 B.7 C.22 D.2 【答案】CD 【解析】设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2， 则a＝5，b＝3，c＝＝， 设P为双曲线上一点，不妨令|PF1|＝12(12>a＋c＝5＋)， ∴点P可能在左支，也可能在右支， 由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝2a＝10， 得|12－|PF2||＝10， ∴|PF2|＝22或2. ∴点P到另一个焦点的距离是22或2. 三、填空题（共3小题） 12.已知圆C：(x＋3)2＋y2＝4及点A(3,0)，Q为圆周上一点，AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，则动点M的轨迹方程为                  ． 【答案】x2－＝1 【解析】由AQ的垂直平分线交直线CQ于点M， 得|MA|＝|MQ|，又圆的半径为2， 所以||MC|－|MA||＝2<|AC|＝6， 故点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线， 所以2a＝2,2c＝6， 所以a＝1，c＝3，b2＝c2－a2＝8. 又焦点在x轴上，故动点M的轨迹方程为x2－＝1. 13.已知平面内两点F1(－1，2)，F2(3，5)，且动点M满足|MF1|－|MF2|＝5，则M的轨迹为                  . 【答案】一条射线 【解析】由|F1F2|＝＝5，|MF1|－|MF2|＝|F1F2|， 又|MF1|>|MF2|，故M的轨迹为一条射线. 14.（2025-2026·湖南湘潭高二下期末）已知为双曲线的左焦点，，为右支上的两点.若，点在直线上，则的周长为                   . 【答案】36 【解析】由双曲线得，，计算得，故为双曲线的右焦点. 因为，为右支上的两点，且点在直线上，由双曲线定义得，. 两式相加得，结合，得. 的周长为. 故答案为：. 四、解答题（共2小题） 15.在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN=90°，tan∠PMN=，以MN的中点为坐标原点，MN所在直线为x轴，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线的标准方程. 【答案】解　因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN=， 所以设|PN|=3k，|PM|=4k，则|MN|=5k. 由3k+4k+5k=48，得k=4. 所以|PN|=12，|PM|=16，|MN|=20. 又MN所在直线为x轴，MN的中点为坐标原点，如图所示. 设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0). 由|PM|-|PN|=4， 得2a=4，a=2，a2=4. 由|MN|=20， 得2c=20，c=10，c2=100， 所以b2=c2-a2=100-4=96， 故所求双曲线的标准方程为-=1. 16.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝3，c＝4； (2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)． 【答案】解　(1)由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2， 得b2＝c2－a2＝42－32＝7． 故双曲线的标准方程为－＝1或－＝1． (2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上． 因为点A(－5,6)在双曲线上，所以 2a＝|－|＝|13－5|＝8， 则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20． 所以所求双曲线的标准方程是－＝1． 学科网（北京）股份有限公司 $