3.2.1 双曲线及其标准方程同步练-2026-2027学年高二上学期数学选择性必修第二册

**基本信息** 本同步练习聚焦双曲线定义与标准方程，通过基础辨析、中档综合到提升应用的三层设计，构建从概念理解到问题解决的知识巩固路径，适配新授课学情，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|双曲线定义、标准方程条件|选择填空基础辨析，如第1题定义判断、第2题方程参数范围| |进阶层|离心率、焦点距离关系|中档综合题，如第3题离心率应用、第10题双曲线上点到焦点距离| |提升层|跨知识综合、几何性质应用|情境化与最值问题，如第7题光学性质、第14题圆与双曲线最值|

3.2.1 双曲线及其标准方程 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】 一、选择题（共8小题） 1.已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　) A.|PF1|－|PF2|＝±3 B.|PF1|－|PF2|＝±4 C.|PF1|－|PF2|＝±5 D.|PF1|2－|PF2|2＝±4 2.若方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是(　　) A.－2＜m＜2 B.m＞0 C.m≥0 D.|m|≥2 3.（2024-2025·湖南高二下期中）已知双曲线的离心率为2，左、右焦点分别为是双曲线上的一点，且，则（） A. B.5 C. D.或 4.如图，已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为(　　) A.2a＋2m B.4a＋2m C.a＋m D.2a＋4m 5.已知双曲线－＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m的值是(　　) A.1 B.－1 C.－ D. 6.“3＜m＜5”是“方程＋＝1表示的图形为双曲线”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线射向C上的点P(8，y0)后，被C反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是(　　) A. B.－ C. D.－ 8.若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是(　　) A.m－a B.(m－a) C.m2－a2 D.－ 二、多选题（共3小题） 9.已知曲线C：mx2－ny2＝1，下列说法正确的是(　　) A.若mn>0，则C为双曲线 B.若m>0且m＋n<0，则C为焦点在x轴上的椭圆 C.若m>0，n<0，则C不可能表示圆 D.若m>0，n>0，则C为两条直线 10.双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为(　　) A.17 B.7 C.22 D.2 11.已知双曲线＋＝1的焦点在坐标轴上，若该双曲线的焦距为4，则a等于(　　) A.1 B. C.4 D.0 三、填空题（共3小题） 12.（2024-2025·上海高二期中）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是                  . 13.已知平面内两点F1(－1，2)，F2(3，5)，且动点M满足|MF1|－|MF2|＝5，则M的轨迹为                  . 14.P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值是                  . 四、解答题（共2小题） 15.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝3，c＝4； (2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)． 16.给出曲线方程＋＝1. (1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围； (2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1 双曲线及其标准方程 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　) A.|PF1|－|PF2|＝±3 B.|PF1|－|PF2|＝±4 C.|PF1|－|PF2|＝±5 D.|PF1|2－|PF2|2＝±4 【答案】A 【解析】当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，满足双曲线的定义，所以选项A中P点的轨迹是双曲线． 2.若方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是(　　) A.－2＜m＜2 B.m＞0 C.m≥0 D.|m|≥2 【答案】A 【解析】∵已知方程表示双曲线， ∴(2＋m)(2－m)＞0. ∴－2＜m＜2. 3.（2024-2025·湖南高二下期中）已知双曲线的离心率为2，左、右焦点分别为是双曲线上的一点，且，则（） A. B.5 C. D.或 【答案】A 【解析】由双曲线,得． 由离心率, 得． 由, 得． 由双曲线定义，且在左支时,, 故． 当在右支时,, 故． 因为右支上点到右焦点的距离最小值为,,故舍去． 故． 故选:A. 4.如图，已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为(　　) A.2a＋2m B.4a＋2m C.a＋m D.2a＋4m 【答案】B 【解析】由双曲线的定义，知|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a．又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2|AB|＝4a＋2m． 5.已知双曲线－＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m的值是(　　) A.1 B.－1 C.－ D. 【答案】B 【解析】由焦点坐标，知焦点在y轴上，∴m<0， ∴双曲线的标准方程为－＝1， ∴由a2+b2＝c2可得－m－3m＝4，∴m＝－1. 6.“3＜m＜5”是“方程＋＝1表示的图形为双曲线”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】3＜m＜5时，m－5＜0，m2－m－6＞0， 方程＋＝1表示的图形为双曲线. 由(m－5)(m2－m－6)＜0，得3＜m＜5或m＜－2， 所以“3＜m＜5”是“方程＋＝1表示的图形为双曲线”的充分不必要条件. 7.双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线射向C上的点P(8，y0)后，被C反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是(　　) A. B.－ C. D.－ 【答案】C 【解析】设P(8，y0)在第一象限，将点P(8，y0)代入双曲线方程得－＝1⇒y0＝3， |PF2|＝＝6， 由双曲线定义可知，|PF1|－|PF2|=2a=8，所以|PF1|＝6＋8＝14，|F1F2|＝10，在△F1PF2中,由余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝. 8.若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是(　　) A.m－a B.(m－a) C.m2－a2 D.－ 【答案】A 【解析】由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2① 又由双曲线定义知||PF1|－|PF2||＝2② 由①2－②2，得4|PF1|·|PF2|＝4(m－a)， ∴|PF1|·|PF2|＝m－a. 二、多选题（共3小题） 9.已知曲线C：mx2－ny2＝1，下列说法正确的是(　　) A.若mn>0，则C为双曲线 B.若m>0且m＋n<0，则C为焦点在x轴上的椭圆 C.若m>0，n<0，则C不可能表示圆 D.若m>0，n>0，则C为两条直线 【答案】AB 【解析】若mn>0，则C为双曲线，所以A正确；若m>0且m＋n<0，则n<0，|n|>m>0，所以C为焦点在x轴上的椭圆，所以B正确；若m>0，n<0，当m＝1，n＝－1时，C是单位圆，所以C不正确；若m>0，n>0，则C为双曲线，所以D不正确． 10.双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为(　　) A.17 B.7 C.22 D.2 【答案】CD 【解析】设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2， 则a＝5，b＝3，c＝＝， 设P为双曲线上一点，不妨令|PF1|＝12(12>a＋c＝5＋)， ∴点P可能在左支，也可能在右支， 由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝2a＝10， 得|12－|PF2||＝10， ∴|PF2|＝22或2. ∴点P到另一个焦点的距离是22或2. 11.已知双曲线＋＝1的焦点在坐标轴上，若该双曲线的焦距为4，则a等于(　　) A.1 B. C.4 D.0 【答案】CD 【解析】由和 解得a＝4或a＝0. 三、填空题（共3小题） 12.（2024-2025·上海高二期中）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是                  . 【答案】 【解析】方程表示焦点在轴上的双曲线， 则可化为. 所以需满足. 解不等式，得； 解不等式，得. 取两者交集，可得. 所以实数的取值范围是. 13.已知平面内两点F1(－1，2)，F2(3，5)，且动点M满足|MF1|－|MF2|＝5，则M的轨迹为                  . 【答案】一条射线 【解析】由|F1F2|＝＝5，|MF1|－|MF2|＝|F1F2|， 又|MF1|>|MF2|，故M的轨迹为一条射线. 14.P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值是                  . 【答案】5 【解析】如图，双曲线的两个焦点F1(－4，0)，F2(4，0)为两个圆的圆心，半径分别为r1＝2，r2＝1， |PM|max＝|PF1|＋2， |PN|min＝|PF2|－1， 故|PM|－|PN|的最大值为|PF1|＋2－|PF2|＋1＝|PF1|－|PF2|＋3＝5， 四、解答题（共2小题） 15.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝3，c＝4； (2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)． 【答案】解　(1)由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2， 得b2＝c2－a2＝42－32＝7． 故双曲线的标准方程为－＝1或－＝1． (2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上． 因为点A(－5,6)在双曲线上，所以 2a＝|－|＝|13－5|＝8， 则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20． 所以所求双曲线的标准方程是－＝1． 16.给出曲线方程＋＝1. (1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围； (2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围． 【答案】(1)若方程表示双曲线，则有(4＋k)(1－k)<0， 即(k＋4)(k－1)>0， 解得k<－4或k>1， 因此实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞)． (2)若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有解得k<－4， 因此实数k的取值范围是(－∞，－4)． 学科网（北京）股份有限公司 $