专题4.1 整式 讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“整式”核心知识点，系统梳理单项式（系数、次数）、多项式（项、次数、升/降幂排列）、整式概念及同类项、整式加减等内容，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料通过9类题型（含例及变式）、探究式学习（如规律题、长方体框架搭建）、课后检测与复盘设计，培养抽象能力（符号意识）、推理意识，课中辅助教学，课后助学生查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

简一数理 初中专题讲义 专题4.1 整式 （新教材人教版） 知识点一：单项式 2 知识点二：多项式 2 知识点三：整式 3 【题型1 单项式的判定】 3 【题型2 单项式的项数、次数】 5 【题型3 写出满足某些条件的单项式】 6 【题型4 单项式规律题】 7 【题型5 多项式的判断】 9 【题型6 多项式的项、项数、次数】 11 【题型7 多项式系数、指数中字母求值】 13 【题型8 将多项式按某个字母升幂或降幂排列】 14 【题型9 整式的判断】 17 【探究式学习】 20 【课后检测】 24 【复盘笔记】 36 知识点一：单项式 1．单项式：像，，，等，都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 2．（1）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数． 【注】①系数包括单项式前面的符号； ②只含有字母因数的单项式的系数是1或； ③是一个数，不要将它当作字母． （2）单项式的次数：单项式中所有字母的指数和．单独一个非零数的次数是0． 【例】①3，a，，，，0.15a，都是单项式； ②单项式的系数是，的系数是； 单项式的次数为四，的次数为六；9的次数是零． 知识点二：多项式 1．多项式：几个单项式的和叫做多项式． 2．多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项. 3．多项式的次数：一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 4．多项式的命名：关于某字母的几次几项式． 【注】①多项式中的各项包括它前面的符号； ②书写多项式时，通常把各项按照某个字母降幂排列． 【例】①是多项式； ②的各项是、、； ③次数是四次； ④是关于x的二次二项式，是关于x、y的四次三项式，是关于x、y的五次四项式； ⑤是按x的降幂排列；是按x的升幂排列． 知识点三：整式 1．整式：单项式和多项式统称为整式． 【例】a，，，是整式． 2．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项． 【例】8n与5n是一组同类项，与是一组同类项，6x、与也是一组同类项． 3．整式的加减 （1）合并同类项：把同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母指数不变． （2）去括号、添括号： ①括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变； ②括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 【注】合并同类项和去括号都只是改变了原来式子的形式，并没有改变式子的值. 【例】 【题型1 单项式的判定】 【例1】下列说法中，正确的是（   ） A．的系数是1 B．的次数是6 C．1是单项式 D．是二次多项式 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 【详解】解：A、的系数是，原说法错误，不符合题意； B、的次数是4，原说法错误，不符合题意； C、1是单项式，原说法正确，符合题意； D、是三次多项式，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】下列说法正确的有（   ） ①把3.378精确到个位是3   ②0不是单项式   ③单项式的系数为，次数为0 ④多项式是四次三项式   ⑤将二进制数化为十进制数为45 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的判断，单项式的次数和系数，多项式的项和次数，求一个数的近似数，二进制数与十进制数的转换等知识点，熟练掌握相关的概念，是解题的关键．根据单项式的判断方法，单项式的次数和系数，多项式的项和次数，求近似数的方法，二进制数转换为十进制数的方法，逐一判断各说法的正误即可． 【详解】解：①把3.378精确到个位是3，故①正确，故符合题意； ②0是单项式，故②错误，故不符合题意； ③单项式的系数为，次数为1，故③错误，故不符合题意； ④多项式是四次四项式，故④错误，故不符合题意； ⑤将二进制数化为十进制数为，故⑤正确，故符合题意． 综上，说法①和⑤正确，正确的有2个． 故选：B． 【变式1-2】下列说法错误的是（    ） A．是三次三项式 B．的次数是5 C．的系数是，次数是4 D．不是多项式 【答案】B 【分析】本题考查多项式的次数、系数和项数的概念，解题的关键是掌握以上概念． 根据多项式的定义判断每个选项的正确性． 【详解】解：∵ 多项式中，是常数项，次数为0，最高次项是，次数为2，∴ 该多项式的次数是2，不是5，故B错误； A：有三项，最高次项次数为3，正确； C：是单项式，系数为，次数为4，正确； D：是单项式，不是多项式，正确； 故选：B． 【变式1-3】下列说法中错误的是（   ） A．是二次三项式 B．的次数是5 C．的系数是 D．是单项式 【答案】D 【分析】本题考查单项式和多项式的概念，需注意单项式是单个项，多项式是多个项的和，根据单项式和多项式的定义，判断各选项的正确性 【详解】解：A、的最高次项为，次数为2，且有三项，则是二次三项式，正确； B、中，a的指数为2，b的指数为3，次数和为5，则次数是5，正确； C、的数字部分为，则系数是，正确； D、有两项，则是多项式，不是单项式，错误， 故选：D 【题型2 单项式的项数、次数】 【例2】关于整式的概念，下列说法中正确的是（   ） A．的次数是 B．是七次三项式 C．是单项式 D．的系数是 【答案】D 【分析】根据单项式的次数为单项式中所有字母的指数和，单项式的系数为单项式中的数字因数，多项式的次数为多项式中最高次项的次数，分母含有字母的式子不是整式，也不是单项式，即可逐一判断． 【详解】解：A 、的次数是，A错误； B、是五次三项式，B错误； C、分母含有字母，不是单项式，C错误； D、的系数是，D正确． 【变式2-1】下列说法正确的是（   ） A．是三次三项式 B．是一次二项式 C．系数为，次数为4 D．单项式的系数是，次数是1 【答案】D 【详解】解：A、是四次三项式，该选项错误，不符合题意； B、不是整式，该选项错误，不符合题意； C、系数为，次数为5，该选项错误，不符合题意； D、单项式的系数是，次数是1，该选项正确，符合题意． 【变式2-2】关于整式的概念，下列说法正确的是（　　） A．的系数是 B．的次数是6 C．的三次项系数是 D．是五次三项式 【答案】C 【分析】本题考查单项式与多项式的相关概念，根据单项式的系数、次数，多项式的次数、项数的定义，逐个判断选项即可． 【详解】解：选项A中，单项式的数字因数为，是常数，因此系数是，不是，故A错误． 选项B中，单项式的次数是所有字母的指数和，即，常数的指数不计算入单项式次数，因此次数是4，不是6，故B错误． 选项C中，的三次项是，其系数为，故C正确． 选项D中，的最高次项次数为3，共含3个单项式，因此是三次三项式，不是五次三项式，故D错误． 【变式2-3】下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是3 B．单项式的次数是2 C．多项式是四次二项式 D．多项式的次数是2 【答案】C 【分析】根据单项式的系数与次数，多项式的项数与次数等概念逐一判断选项即可解题． 【详解】解：A、单项式的系数是，该选项不符合题意； B、单项式的次数是3，该选项不符合题意； C、多项式是四次二项式，该选项符合题意； D、多项式的次数是1，该选项不符合题意． 【题型3 写出满足某些条件的单项式】 【例3】任意写出一个与单项式是同类项的单项式：__________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，可知只要改变单项式的系数，即可得到它的同类项，例如． 【变式3-1】写出一个含有字母的单项式：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据单项式的定义，由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也属于单项式；本题只要求式子含有字母，且符合单项式定义即可，因此可以写出多种正确结果只需写出含有字母的符合定义的单项式即可． 【详解】解：根据单项式的定义，只要求式子含有字母的单项式，例如：，、等符合要求的结果都正确． 【变式3-2】请写出一个系数为，次数为的单项式：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据单项式系数与次数的定义求解，满足单项式系数为，次数为即可，答案不唯一． 【详解】解：系数为，次数为的单项式可以写为． 【变式3-3】写出一个系数是负数，次数是4，且含有字母a，b的单项式可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式的系数和次数的概念，系数是单项式中的数字因数且为负数，次数是所有字母的指数之和为4，进行解答即可． 【详解】解：根据题意，系数为负数，次数为4，且含有字母和，因此可构造单项式如，其中系数为，次数为；其他符合条件的有（系数为，次数为）或（系数为，次数为）等． 故答案为：．（答案不唯一） 【题型4 单项式规律题】 【例4】按一定规律排列的代数式：，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察题干的代数式，找出系数和次数的规律，推导得到第个代数式即可． 【详解】解：观察已知代数式可得 第1个代数式：， 第2个代数式： 第3个代数式：， 第4个代数式：， …… 以此类推：第个代数式中，的次数为，系数为， ∴第个代数式为． 【变式4-1】按一定规律排列的代数式：，，，，，第n个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据前几个代数式，分别找出系数和t的指数随序号n的变化规律，即可推导得到第n个代数式． 【详解】解：将代数式按序号 依次分析规律： ∵当时，系数为，的指数为； 当时，系数为，的指数为； 当时，系数为，的指数为； 当时，系数为，的指数为； ∴第个代数式的系数为，的指数为， ∴第个代数式是． 【变式4-2】观察下列式子：，则第（为正整数）个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别从式子的符号、系数、字母的指数三个部分寻找规律，归纳得到第个式子的表达式即可． 【详解】解：符号规律：第1个式子为正，第2个为负，第3个为正，第4个为负 ∴可得符号为 ； 系数规律：第1个式子系数为1，第2个为2，第3个为3，第4个为4 ∴可得系数为； 的指数规律，第1个式子为，第2个为4，第3个为6，第4个为8 ∴可得第个式子中的指数为， ∴第（为正整数）个式子是． 【变式4-3】一列单项式按以下规律排列：，…，则第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：符号规律：观察可知，第1个为正，第2个为负，第3个为正，第4个为负…， 即奇数项为正，偶数项为负，因此符号可表示为； 系数绝对值规律：系数绝对值依次为， ∵ ，，， ∴ 第n个单项式的系数绝对值为； x的次数规律：x的次数依次为 ，因此第n个单项式中x的次数为， 整合三部分规律，可得第n个单项式是． 【题型5 多项式的判断】 【例5】下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．相反数等于它本身的数是1 C．是多项式 D．1是绝对值最小的数 【答案】C 【分析】本题考查负数、相反数、多项式、绝对值的概念，结合相关概念逐一判断选项正误即可． 【详解】解：A、当是负数时，是正数，所以不一定是负数，故原说法错误，不符合题意； B、相反数等于它本身的数是0，故原说法错误，不符合题意； C、是多项式，故原说法正确，符合题意； D、0是绝对值最小的数，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式5-1】下列结论中，正确的是（   ） A．单项式的系数为-1，次数是4 B．多项式是四次三项式 C．单项式a的次数是1，系数为0 D．单项式的系数是3，次数是2 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式的系数与次数、多项式的项数与次数的定义，熟练掌握单项式和多项式的相关定义是解题的关键．根据单项式的系数、次数定义和多项式的项数、次数定义，对每个选项逐一进行判断，从而找出正确的结论． 【详解】∵单项式的系数是其数字因数，次数是所有字母的指数和，多项式的次数是最高次项的次数 ∴对各选项分析如下： A．单项式的数字因数为，所有字母指数和为，故系数为，次数是4，该选项正确； B．多项式的最高次项次数为2，是二次三项式，不是四次三项式，该选项错误； C．单项式的系数为1，次数是1，不是系数0，该选项错误； D．可拆分为，是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式，该选项错误； 故选：A． 【变式5-2】下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的次数是6次 C．是多项式 D．的常数项为1 【答案】C 【分析】本题考查单项式的系数、次数，多项式的定义及常数项等概念，掌握相关知识点是解题的关键． 根据相关知识点逐一判断各选项的正确性，即可求解． 【详解】解：A、的系数是，故选项A错误，不符合题目要求； B、的次数是4次，故选项B错误，不符合题目要求； C、，是多项式，故选项C正确，符合题目要求； D、的常数项为，故选项D错误，不符合题目要求． 故选：C． 【变式5-3】下列结论：①是单项式；②的次数是；③的系数是，次数是；④多项式是三次三项式，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查的是单项式与多项式的定义，单项式的次数，多项式的项，次数的含义，熟练掌握知识点是解题的关键． 单项式：数字与字母的积，单个的数与单个的字母也是单项式，其中数字因数是单项式的系数，几个单项式的和叫多项式，其中的单项式叫多项式的项，最高次项的次数是多项式的次数，根据定义逐一分析即可得到答案． 【详解】解：∵ 单项式是数字或字母的积，1是数字， ∴ 结论①正确. ∵ 单项式的次数是所有字母指数的和，中字母指数和为， ∴ 结论②错误. ∵ 单项式的系数是数字部分，包括常数，故系数为；次数是字母指数和， ∴ 结论③错误. ∵ 多项式的次数是最高次项的次数，的次数为，的次数为，的次数为，故最高次数为，是四次三项式， ∴ 结论④错误. 综上，只有结论①正确， 故选：A． 【题型6 多项式的项、项数、次数】 【例6】一组多项式的规律如下：，按此规律，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将多项式拆分为a的系数、a的次数、b的系数三部分，分别找出对应规律再合并，即可得到第n个多项式． 【详解】解：推导a的系数的规律： ∵时系数为，时系数为，时系数为，时系数为 ∴第n个多项式a的系数为， 推导a的次数的规律： ∵时a的次数为，时a的次数为，时a的次数为，时a的次数为 ∴第n个多项式中a的次数为， 推导b的系数： ∵时b的系数为，时b的系数为，时b的系数为，时b的系数为， ∴n为奇数时b的系数为，n为偶数时b的系数为， 即第n个多项式中b的系数为， 综上可知，第个多项式是． 【变式6-1】按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵这5个多项式第1项的系数分别为，，，，， ∴第n个多项式第1项的系数为， ∵这5个多项式第1项的次数分别为1，2，3，4，5， ∴第n个多项式第1项的次数为n， ∵这5个多项式的常数项分别为1，2，3，4，5， ∴第n个多项式的常数项为n， ∴第n个多项式是． 【变式6-2】多项式是关于x的二次三项式，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．2或 【答案】C 【分析】二次三项式即多项式的最高次项的次数为2，且多项式含3个非零项，据此列条件计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴， 解得． 【变式6-3】下列说法错误的是（   ） A．代数式，，都是整式 B．单项式的系数是．次数是2 C．多项式次数是3 D．多项式的二次项的系数是 【答案】C 【分析】本题考查了整式、单项式与多项式的相关概念，解题的关键是准确掌握整式、单项式的系数与次数、多项式的次数与项的系数等定义． 根据整式的定义判断选项A；根据单项式的系数与次数的定义判断选项B；根据多项式的次数定义判断选项C；根据多项式的项与系数的定义判断选项D． 【详解】解：A、是多项式，是单项式，是单项式，它们都是整式，此选项不符合题意． B、单项式的系数是，次数是，此选项不符合题意． C、多项式中最高次项是，次数为，不是，此选项符合题意． D、多项式的二次项是，其系数是，此选项不符合题意． 故选：C． 【题型7 多项式系数、指数中字母求值】 【例7】若是关于x的三次多项式，则代数式的值是（    ） A． B． C．或3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查多项式的次数概念，需满足各项次数为非负整数且最高次为3，根据题意确定n的值，再计算代数式的值即可 【详解】解：∵ 多项式是关于x的三次多项式， ∴ 各项次数为非负整数，且最高次数为3. ∴时，解得，此时多项式为不符合题意； 时，解得，此时多项式为符合题意； ∴， 故选D． 【变式7-1】已知多项式是二次三项式，则常数m的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的概念，绝对值方程的解法，解题关键是掌握多项式的项数是单项式的个数，次数是最高项的次数． 根据二次三项式的定义，最高次项次数为2，且项数为3，因此需满足且，再求解即可． 【详解】解：∵ 多项式是二次三项式， ∴ ，且， 由，得 或， 但，即， ∴ ． 故选：D． 【变式7-2】若关于x的多项式为二次三项式，则常数项是（   ） A． B．9 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的次数和项数的概念及代数式求值，多项式为二次三项式，则最高次项为二次，且项数为三．由四次项系数为零得，由二次项存在，再求常数项． 【详解】解：∵多项式为二次三项式， ∴四次项系数，即， 且为二次项，即， 此时多项式为， 常数项为． 故选： C． 【变式7-3】多项式是关于的四次三项式，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查多项式的次数与项数的概念，解题的关键是根据“四次三项式”的定义，同时满足最高次项次数为4、多项式有三项这两个条件． 根据“四次三项式”的定义，先确定最高次项的次数为4，再保证多项式有三项（一次项系数不为0），进而求出的值． 【详解】解：∵多项式是关于的四次三项式， ∴，且． 由，得或． 若，则，一次项消失，多项式变为二项式，不符合 “三项式” 的条件， 若，则，符合条件． ∴． 故选：A． 【题型8 将多项式按某个字母升幂或降幂排列】 【例8】下列说法正确的是（   ） A．多项式是二次三项式 B．多项式的一次项系数是 C．多项式中，的次数是按照从低到高排列的 D．多项式的常数项是 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式的定义，根据多项式的次数、项数、系数和排列顺序的定义，逐一判断各选项． 【详解】解：A选项：多项式的最高次项次数为，且共有三项，是二次三项式，故A选项正确； B选项：多项式中没有次数为的项，故B选项错误； C选项：多项式中的指数依次为、、、，是从高到低排列，故C选项错误； D选项：多项式的常数项是，故D选项错误． 故选：A． 【变式8-1】关于多项式，下列说法错误的是（   ） A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1 C．它的次数最高项是 D．按x的降幂排列为 【答案】B 【分析】本题考查多项式的相关定义，包括多项式的次数、项数、常数项及降幂排列． 根据多项式的次数、项数、常数项的定义及降幂排列方法逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵多项式各项的次数分别为3、5、4、0，且共有四项， ∴该多项式是五次四项式， ∴选项A说法正确，不符合题意； ∵常数项是不含字母的项，此多项式的常数项为， ∴选项B说法错误，符合题意； ∵次数最高的项是次数为5的， ∴选项C说法正确，不符合题意； ∵按x的降幂排列是根据x的次数从高到低排列，各项x的次数依次为3、2、1、0， ∴排列结果为， ∴选项D说法正确，不符合题意； 故选：B． 【变式8-2】下列说法正确的是（    ） A．是三次三项式 B．多项式是按的升幂排列 C．的系数是 D．近似数和相同 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的次数与项数、升幂排列、单项式的系数以及近似数的概念，据此解答即可． 【详解】解：A、的最高次项为，次数为，且有三项，是三次三项式，此选项符合题意； B、多项式按的升幂排列应为，原选项顺序错误，此选项不符合题意； C、 的系数是，不是，此选项不符合题意； D、近似数精确到百分位，精确到十分位，二者不相同，此选项不符合题意； 故选：A． 【变式8-3】关于多项式，下列说法正确的是（   ） A．它的项分别为 B．它是五次四项式 C．它是按照降幂排列的 D．它的三次项系数是 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的项、次数、排列方式及系数的概念，熟练掌握这些概念并能准确判断多项式的相关性质是解题的关键．先明确多项式的项、次数、降幂排列、系数等概念，再逐一分析每个选项的正误． 【详解】解：∵多项式的项为，，，， ∴A选项中写的项为，，，，错误，故A项错误． ∵多项式各项次数依次为，，，， ∴最高次项为，次数为5，项数为4， ∴它是五次四项式，故B项正确． ∵按的降幂排列应为， ∴原多项式不是按降幂排列的，故C项错误． ∵三次项为，其系数为2， ∴D选项中说三次项系数是，错误，故D项错误． 故选：B． 【题型9 整式的判断】 【例9】下列说法中正确的是（   ） A．单项式的系数是 B．单项式的系数为1，次数为0 C．多项式的次数是6 D．是整式 【答案】D 【分析】本题考查单项式的系数和次数、多项式的次数以及整式的定义，需根据单项式的系数和次数、多项式的次数以及整式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、单项式 的系数为，而非，则A错误； B、单项式的次数为1，而非0，则B错误； C、多项式 即 ，各项次数分别为3和4，最高次为4，次数为4，而非6，则C错误； D、 为多项式，属于整式，则D正确， 故选：D． 【变式9-1】下列结论中，正确的是（     ） A．的次数为5 B．是三次二项式 C．是整式 D．的系数是3，次数是2 【答案】C 【分析】本题考查整式、单项式的次数与系数、多项式的次数的概念，根据相关定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、的次数为，不是5，选项说法错误，不符合题意； B、的最高次项的次数为2，是二次二项式，不是三次二项式，选项说法错误，不符合题意； C、是多项式，是整式，选项说法正确，符合题意； D、的系数为，次数为2，系数不是3，选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 【变式9-2】下列说法正确的是（    ） A．是单项式 B．不是整式 C．的系数是，次数是3 D．多项式的次数是6 【答案】A 【分析】根据整式的基本概念，理解解答即可． 本题考查单项式和多项式的概念，包括系数、次数和整式的定义．掌握单项式的系数和次数、多项式的次数以及整式的定义是关键． 【详解】解：A. 是单项式，正确，符合题意；     B. 是整式，错误，不符合题意； C. 的系数是，次数是，错误，不符合题意； D. 多项式的次数是，错误，不符合题意； 故选：A. 【变式9-3】已知整式，其中是正整数，为自然数，且满足，且，下列说法： ①若，则满足条件的所有整式M的和为； ②若，则满足条件的整式M中只有4个单项式； ③若，则满足条件的整式M共有16个． 其中正确的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查整式的概念与组合计数，需根据条件枚举所有满足条件的整式M，并验证三个说法的正确性． 【详解】解：当时，，即， ∴，，，（不满足，舍去） ，（不满足，舍去） ∴对应的整式分别为，， 当时，，即， ∴，，（不满足，舍去） ∴对应的整式分别为：， 当时，同理可得对应的整式为， 满足条件的所有整式的和为：， 故①错误． 当时，，即， 同理可得出对应的整式分别为：，，， 当时，，即， 同理可得出对应的整式分别为：，，， 当时，同理可得出对应的整式分别为：，， 当时，同理可得出对应的整式为：， 满足条件的所有整式中单项式有：，，，共4个，故②正确； 当时，， 因为n，是正整数，不符合要求； 当时，， 因为n，是正整数， 所以，， 对应的整式为x，有1个． 当时，， 因为n，是正整数， 所以，，；，，；，，； 对应的整式分别为，，，有3个． 当时，由①可知，满足条件的整式M有5个， 当时，由②可知，满足条件的整式M有9个， 所以满足条件的整式M共有个，所以③错误． ∴ 仅说法②正确，正确个数为1． 故选B． 【探究式学习】 1．探究规律题：按照规律填上所缺的单项式并回答问题： （1）a，﹣2a2，3a3，﹣4a4，　 　，　 　； （2）试写出第2017个和第2018个单项式； （3）试写出第n个单项式； （4）当a＝﹣1时，求代数式a+2a2+3a3+4a4+…+99a99+100a100+101a101的值． 【答案】（1），；（2），；（3）；（4） 【分析】（1）根据规律找出系数和次数的规律即可； （2）根据（1）的规律即可求得第2017个和第2018个单项式； （3）根据（1）的规律写出第n个单项式； （4）将代入求值即可 【详解】（1）根据规律第5个单项式为，第6个单项式为 故答案为：， （2）第2017个和第2018个单项式分别为， （3）系数的规律：第n个对应的系数是， 指数的规律：第n个对应的指数是， ∴第n个单项式是， （4）当a＝﹣1时， a+2a2+3a3+4a4+…+99a99+100a100+101a101 【点睛】此题考查单项式的规律探索，分别找出单项式的系数和指数的规律是解决此类问题的关键． 2．问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图方式搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律． 问题探究： 我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法． 探究一 用若干木棒来搭建横长是，纵长是的矩形框架（、是正整数），需要木棒的条数． 如图，当，时，横放木棒为条，纵放木棒为条，共需条； 如图，当，时，横放木棒为条，纵放木棒为条，共需条； 如图，当，时，横放木棒为条，纵放木棒为条，共需条； 如图，当，时，横放木棒为条，纵放木棒为条，共需条； 如图，当，时，横放木棒为条，纵放木棒为条，共需条． 问题（一）：当，时，共需木棒多少条． 问题（二）：当矩形框架横长是，纵长是时，横放的木棒为多少条， 纵放的木棒为多少条． 探究二 用若干木棒来搭建横长是，纵长是，高是的长方体框架（、、是正整数），需要木棒的条数． 如图，当，，时，横放与纵放木棒之和为条，竖放木棒为条，共需条； 如图，当，，时，横放与纵放木棒之和为条，竖放木棒为条，共需条； 如图，当，，时，横放与纵放木棒之和为条，竖放木棒为条，共需条． 问题（三）：当长方体框架的横长是，纵长是，高是时，横放与纵放木棒条数之和为多少条，竖放木棒条数为多少条． 实际应用：现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是、高是的长方体框架，总共使用了条木棒，则这个长方体框架的横长是多少． 拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是，高是的正三棱柱框架，需要木棒多少条． 【答案】问题（一）：共需条； 问题（二）：横放的木棒为条，纵放的木棒为条； 问题（三）：横放与纵放木棒条数之和为条，竖放木棒条数为条； 实际应用：这个长方体框架的横长是； 拓展应用：需要木棒条． 【分析】本题考查规律型﹣图形变化类问题，学会用分类讨论的思想解决问题.解决本题的关键是理解题意，从特殊到一般探究规律后利用规律即可解决问题. 问题（一）、根据探究一中的规律可以得到当横长是，纵长是时，横放的木棒的条数是条，纵放的木棒的条数是条，分别求出当，时，横放和竖放的木棒的条数，两者相加即为所需木棒的条数； 问题（二）、根据探究一中的规律可以得到当横长是，纵长是时，横放的木棒的条数是条，纵放的木棒的条数是条； 问题（三）、由探究二可知，当长方体框架的横长是，纵长是，高是时，横放与纵放木棒条数之和为条，竖放木棒条数为条； 实际应用：设这个长方体框架的横长是，根据横放与纵放木棒条数之和为条，可以列关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； 拓展应用：根据三棱柱中横放与竖放的木棒的数量与边长之间的关系，分别求出当边长为时，横放木棒的数量、纵放木棒的数量、竖放木棒的数量，把三者相加即可得到所需木棒的总条数． 【详解】问题（一）：解：由规律可知，当横长是，纵长是时， 横放的木棒的条数是条，纵放的木棒的条数是条， 当，时，横放木棒为条，纵放木棒为条， 共需条； 问题（二）：解：由规律可知 当矩形框架横长是，纵长是时，横放的木棒为 条，纵放的木棒为条； 问题（三）：解：由规律可知 当长方体框架的横长是，纵长是，高是时，横放与纵放木棒条数之和为条，竖放木棒条数为条； 实际应用：设这个长方体框架的横长是， 横放与纵放木棒条数之和为， 解得：， 答：这个长方体框架的横长是； 拓展应用：若按照如图方式搭建一个底面边长是，高是的正三棱柱框架， 横放的木棒条数是条， 纵放木棒条数是条， 之和为条， 竖放木棒条数为条， 共需要木棒条． 【课后检测】 1．有一列式子，按一定规律排列成，…，则第n个式子为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别从符号、系数绝对值、字母指数三部分归纳式子的规律即可得解． 【详解】解：由题意得，奇数项符号为正，偶数项符号为负， ∴第项的符号为， ∵各项系数的绝对值依次为，即， ∴第项的系数绝对值为， ∵第1项的指数为2，第2项为5，第3项为8，第4项的指数为，第5项为， ∴相邻两项指数差为， ∴第项的指数为， 综上所述，第个式子为． 2．烷烃是一类由碳C、氢（H）元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等的原料，通常根据碳原子的个数被命名为甲烷、乙烷、丙烷、丁烷、戊烷、…、癸烷（当碳原子数目超过个时，用汉字数字表示，如十一烷、十二烷…）等．甲烷的化学式为（表示含有1个碳原子和4个氢原子），乙烷的化学式为，丙烷的化学式为…，它们的分子结构模型如图所示，按照此规律，氢原子的个数为时，碳原子个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设碳原子的数目为，氢原子的数目为，由观察可知，碳原子个数为，氢原子个数，进而即可得出答案． 【详解】解：设组成的有机化合物的碳原子个数为，氢原子个数为， ∵甲烷， ∴氢原子个数； ∵乙烷， ∴氢原子个数； ∵丙烷， ∴氢原子个数， ∴碳原子个数为，氢原子个数， ∴当氢原子个数，代入规律公式：， ∴． 3．按一定规律排列的单项式：，，，，…，则第n个单项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别找出单项式的系数与a的指数的变化规律，即可推出第n个单项式的表达式． 【详解】∵观察给出的单项式： 当时，单项式为，系数为，a的指数为； 当时，单项式为，系数为，a的指数为； 当时，单项式为，系数为，a的指数为； ∴可得第n个单项式中，系数为，a的指数为，即第n个单项式为． 4．一列单项式：，按此规律，第100个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将单项式拆分为符号、系数、次数三部分分别找规律，即可得到结果. 【详解】解：观察可知，奇数位的符号为负，偶数位的符号为正，系数的绝对值为从2开始连续的偶数，字母的次数是从1开始连续的整数， ∴第100个单项式是. 5．观察下列单项式：，，，，，…，则第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别从单项式的符号、系数绝对值、字母的次数三个部分寻找规律，整合得到第个单项式的表达式． 【详解】解：我们分三部分找规律： 符号部分：由奇数项为负、偶数项为正，可得符号规律为； 系数绝对值部分：取系数的绝对值，为，可得规律为； 字母次数部分：字母部分是，可得规律为； 综上所述，第个单项式为． 6．用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第8个图形需要的火柴棒根数为（   ） A．54 B．55 C．56 D．57 【答案】A 【分析】先根据图形可得搭第1个图形需要火柴棒12根，后边的每一个图形总比前边的图形多6根，据此规律，即可求得答案． 【详解】解：搭第1个图形需要火柴棒12根， 搭第2个图形需要火柴棒（根）， 搭第3个图形需要火柴棒（根）， 依次类推，搭第n个图形需要火柴棒（根）， 当时，搭第8个图形需要火柴棒（根）． 7．按一定规律排列的代数式：，其中第个代数式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察可知，单项式的系数：分母为从2开始，连续的偶数，分子为从3开始连续的奇数，单项式的次数是从1开始连续的整数，据此进行求解即可. 【详解】解：观察可知，单项式的系数：分母为从2开始，连续的偶数，分子为从3开始连续的奇数，单项式的次数是从1开始连续的整数， ∴第个代数式为. 8．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，则第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别探究单项式的系数和字母a的次数的规律，归纳得出第n个单项式的一般形式即可． 【详解】解：第1个单项式：； 第2个单项式：； 第3个单项式：； 第4个单项式：； 第5个单项式：； … 归纳可得，第个单项式是 ． 9．按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找出单项式的变化规律，即可得到第n个单项式． 【详解】解：第1个单项式为， 第2个单项式为， 第3个单项式为， 第4个单项式为， …… 归纳可得，第个单项式为． 10．观察一组按规律排列的式子：a，，，，，…，则第n（n为正整数）个式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察式子的系数和指数，系数是正负交替的奇数，指数是从1开始的连续整数，据此即可得出答案． 【详解】解：第一个式子的系数为，指数为； 第二个式子的系数为，指数为； 第三个式子的系数为，指数为； 第四个式子的系数为，指数为； ．．．．．． 因此，第个式子的系数为，指数为， 故第个式子为． 11．若多项式是关于的二次二项式，则________． 【答案】 【分析】根据二次二项式的定义，最高次数为，且多项式只含两项，据此确定和的值，再计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次二项式． ∴多项式的最高次数为，可得． ∵多项式为二项式，即总共只有个非零项，最高次项系数，常数项． ∴一次项的系数为，即， 解得． ∴． 12．有一列按照一定规律写出的单项式：0，，，，，…．这列单项式中的第25个单项式是__________． 【答案】 【分析】通过观察系数和次数的变化，归纳第个单项式为，即可求解． 【详解】解：观察已知单项式， 第1个单项式：， 第2个单项式：， 第3个单项式：， 第4个单项式：， ．．． 可得第个单项式为， 当时，． 13．一列单项式按以下规律排列：，，，，，，，，则第20个单项式是________． 【答案】 【分析】分别从系数的符号、系数的绝对值、的指数三个方面，找出单项式随项数变化的规律，再将项数代入规律计算即可. 【详解】解：观察这列单项式：，，，，，，，， 可得第个单项式的规律：系数的符号：奇数项为正，偶数项为负，可表示为； 系数的绝对值：是从开始的连续奇数，可表示为； 的指数：等于项数，可表示为； 因此第个单项式可写为， 将代入得：. 14．观察下列单项式：，，，，…，则第个单项式可表示为_____． 【答案】 【分析】先分别求出第1,2,3,4个单项式，结合系数的分子和分母，及字母的指数的变化规律解答即可． 【详解】解：第1个单项式为； 第2个单项式为； 第3个单项式为； 第4个单项式为， 第n个单项式为． 15．观察，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第9个式子为________． 【答案】 【分析】观察式子，分别找出系数和次数的规律，据此即可得出第9个式子． 根据给出的单项式发现一般规律是解题关键． 【详解】解：， ， ， ， …，依次类推， 第个式子为， 第9个式子为． 16．写出一个同时满足下列条件的二次三项式：①只含有字母和；②每一项的次数都是2；③按字母的降幂排列． 【答案】（答案不唯一） 【分析】该题考查多项式的次数和项数的定义以及降幂排列，题目要求写出一个二次三项式，并且只含有字母和,每一项的次数都是2并且按字母的降幂排列，那么这三个项的字母部分只能是，，． 【详解】根据题意可以写出多个答案：，等 17．把多项式重新排列： (1)按x的降幂排列； (2)按y的降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按x的降幂排列，即按照各单项式中x的指数从大到小的顺序排列单项式． （2）按y的降幂排列，即按照各单项式中y的指数从大到小的顺序排列单项式． 【详解】（1）解：中x的指数为4，中x的指数为0，中x的指数为3，中x的指数为1，中x的指数为2；按x的指数4、3、2、1、0的顺序排列各单项式，得到结果：． （2）中y的指数为0，中y的指数为4，中y的指数为1，中y的指数为2，中y的指数为3；按y的指数4、3、2、1、0的顺序排列各单项式，得到结果：． 18．已知在数轴上，点A，B，C表示的数分别是a，b，c，其中b是最小的正整数，且多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c． (1)填空： __________，__________，__________． (2)将数轴折叠，使得点A与点C重合，点B与点D重合，则点D表示的数是多少？ (3)若点A，B，C分别以每秒2个单位长度、每秒1个单位长度和每秒4个单位长度的速度同时沿数轴的负方向匀速运动，请判断的值是否为定值．若是，请求出相应的定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)；1；9 (2)点D表示的数是5 (3)的值不是定值 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，多项式的系数和次数， 对于（1），根据最小的正整数是1求出b，再根据三次项系数为0，一次项系数为9求出a，c； 对于（2），先求出，再结合点B表示的数解答； 对于（3），先设运动的时间为，再表示点A，B，C表示的数，然后表示出，最后求和即可解答． 【详解】（1）解：∵b是最小的正整数， ∴； ∵多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c， ∴， 解得； 故答案为：； （2）解：因为点A，C表示的数分别为，9， 所以线段的中点表示的数为， 所以线段的中点表示的数也为3． 因为点B表示的数是1， 所以点D表示的数是5； （3）解：的值不是定值． 理由如下： 设运动的时间为，则点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是， 所以， 当时，，不是定值； 当时，． 所以不是定值． 19．代数式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． (1)请把上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内： (2)其中次数最高的多项式是______次多项式； (3)其中次数最高的单项式的次数是______，系数是______． 【答案】(1) 解：根据多项式以及单项式定义可得： (2)二 (3)4， 【分析】此题主要考查了多项式以及单项式的相关定义，正确把握相关定义是解题关键． （1）直接利用多项式以及单项式定义分析即可； （2）直接利用多项式的次数的定义分析得出答案； （3）直接利用单项式的次数与系数的定义分析即可． 【详解】（1）略 （2）解：多项式的次数为：2， 多项式的次数为：1， 多项式的次数为：1， 故次数最高的多项式是二次多项式； （3）解：单项式的次数为1次，系数为， 单项式的次数为0次，系数为， 单项式的次数为4次，系数为， 故次数最高的单项式的次数是4，系数为． 20．已知多项式是关于x的四次四项式． (1)求a、b的值； (2)将该多项式按x的降幂重新排列． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了多项式的定义，按字母次数排列多项式等等，熟知多项式的次数的定义是解题的关键． （1）根据多项式的定义可得，，解之即可得到答案； （2）按照x的次数从高到低排列多项式即可． 【详解】（1）解：∵多项式是关于x的四次四项式，是六次式， ∴，， ∴，； （2）解：把多项式按照的降幂重新排列为． 21．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“雅系多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“雅系和”．例如：多项式的系数和为．所以多项式是“雅系多项式”，它的“雅系和”为28．请根据这个定义解答下列问题： (1)下列多项式属于“雅系多项式”的是________（填序号） ①；②；③； (2)若关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7，且a、b均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“雅系多项式”，则多项式也是关于x，y的“雅系多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)① (2) (3) 不是，理由如下： ∵多项式是关于x，y的“雅系多项式”， ∴（为整数）， ∴， ∴， 当，时，， 此时， 则，不是整数， ∴不一定是的整数倍， ∴多项式不一定是关于x，y的“雅系多项式”． 【分析】本题考查了多项式的系数，整数倍的分析，读懂题意，理解题目所给出的定义进行解答是关键． （1）根据“雅系多项式”的定义进行解答即可； （2）根据题意可得，整理为，因为均为正整数，则也为正整数，则分和进行讨论即可； （3）根据题意可得（为整数），即，将之代入中分析即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴属于雅系多项式”； ∵（为整数）， ∴不属于雅系多项式”； ∵（为整数）， ∴不属于雅系多项式”； 故属于“雅系多项式”的是①， 故答案为：①； （2）解：∵关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7， ∴，即， ∵均为正整数， ∴也为正整数， 当时，则，即，则； 当时，则，即，则； 综上：的值为； （3）略 22．如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，多项式的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． (1) ， ， ； (2)在点，之间是否存在一点，使得点到的距离是点到的距离的2倍，若存在，求点在数轴上对应的数，若不存在，请说明理由； (3)点，，同时开始在数轴上运动，若点和点分别以每秒4个单位长度和3个单位长度的速度向左运动，点先以每秒2个单位长度的速度向左运动，当点到达原点后，立即以原速度向右运动，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，求在运动过程中，的最大值． 【答案】(1)，，6 (2)存在，点在数轴上对应的数为 (3)20 【分析】（1）利用多项式的定义，即可求出，，的值； （2）存在，设点在数轴上对应的数是，根据点到的距离是点到的距离的2倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设运动时间为秒，分为及两种情况考虑．当时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，利用数轴上两点间的距离的定义，可得出，，将其代入中，可得出，结合，可得出；当时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，利用数轴上两点间的距离的定义，可得出，，将其代入中，可得出，综上，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵多项式的二次项系数是，一次项系数是，常数项是， ∴，，． 故答案为：，，6； （2）解：存在，理由如下： 设点在数轴上对应的数是， 根据题意得：， 解得：． ∴存在，点在数轴上对应的数为； （3）解：点C到原点的时间为秒， 设运动时间为秒， 当时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ∴，， ∴； 当时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ∴，， ∴， 综上所述，在运动过程中，的最大值为20． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，多项式的系数的概念以及列代数式，解题的关键是用代数式表示出点的位置以及线段长． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 36 页 第 1 页 共 36 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题4.1 整式 （新教材人教版） 知识点一：单项式 2 知识点二：多项式 2 知识点三：整式 3 【题型1 单项式的判定】 3 【题型2 单项式的项数、次数】 4 【题型3 写出满足某些条件的单项式】 4 【题型4 单项式规律题】 4 【题型5 多项式的判断】 5 【题型6 多项式的项、项数、次数】 5 【题型7 多项式系数、指数中字母求值】 6 【题型8 将多项式按某个字母升幂或降幂排列】 6 【题型9 整式的判断】 7 【探究式学习】 8 【课后检测】 11 【复盘笔记】 16 知识点一：单项式 1．单项式：像，，，等，都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 2．（1）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数． 【注】①系数包括单项式前面的符号； ②只含有字母因数的单项式的系数是1或； ③是一个数，不要将它当作字母． （2）单项式的次数：单项式中所有字母的指数和．单独一个非零数的次数是0． 【例】①3，a，，，，0.15a，都是单项式； ②单项式的系数是，的系数是； 单项式的次数为四，的次数为六；9的次数是零． 知识点二：多项式 1．多项式：几个单项式的和叫做多项式． 2．多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项. 3．多项式的次数：一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 4．多项式的命名：关于某字母的几次几项式． 【注】①多项式中的各项包括它前面的符号； ②书写多项式时，通常把各项按照某个字母降幂排列． 【例】①是多项式； ②的各项是、、； ③次数是四次； ④是关于x的二次二项式，是关于x、y的四次三项式，是关于x、y的五次四项式； ⑤是按x的降幂排列；是按x的升幂排列． 知识点三：整式 1．整式：单项式和多项式统称为整式． 【例】a，，，是整式． 2．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项． 【例】8n与5n是一组同类项，与是一组同类项，6x、与也是一组同类项． 3．整式的加减 （1）合并同类项：把同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母指数不变． （2）去括号、添括号： ①括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变； ②括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 【注】合并同类项和去括号都只是改变了原来式子的形式，并没有改变式子的值. 【例】 【题型1 单项式的判定】 【例1】下列说法中，正确的是（   ） A．的系数是1 B．的次数是6 C．1是单项式 D．是二次多项式 【变式1-1】下列说法正确的有（   ） ①把3.378精确到个位是3   ②0不是单项式   ③单项式的系数为，次数为0 ④多项式是四次三项式   ⑤将二进制数化为十进制数为45 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】下列说法错误的是（    ） A．是三次三项式 B．的次数是5 C．的系数是，次数是4 D．不是多项式 【变式1-3】下列说法中错误的是（   ） A．是二次三项式 B．的次数是5 C．的系数是 D．是单项式 【题型2 单项式的项数、次数】 【例2】关于整式的概念，下列说法中正确的是（   ） A．的次数是 B．是七次三项式 C．是单项式 D．的系数是 【变式2-1】下列说法正确的是（   ） A．是三次三项式 B．是一次二项式 C．系数为，次数为4 D．单项式的系数是，次数是1 【变式2-2】关于整式的概念，下列说法正确的是（　　） A．的系数是 B．的次数是6 C．的三次项系数是 D．是五次三项式 【变式2-3】下列说法正确的是（   ） A．单项式的系数是3 B．单项式的次数是2 C．多项式是四次二项式 D．多项式的次数是2 【题型3 写出满足某些条件的单项式】 【例3】任意写出一个与单项式是同类项的单项式：__________． 【变式3-1】写出一个含有字母的单项式：________． 【变式3-2】请写出一个系数为，次数为的单项式：_______． 【变式3-3】写出一个系数是负数，次数是4，且含有字母a，b的单项式可以是________（写出一个即可）． 【题型4 单项式规律题】 【例4】按一定规律排列的代数式：，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】按一定规律排列的代数式：，，，，，第n个代数式是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】观察下列式子：，则第（为正整数）个式子是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】一列单项式按以下规律排列：，…，则第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【题型5 多项式的判断】 【例5】下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．相反数等于它本身的数是1 C．是多项式 D．1是绝对值最小的数 【变式5-1】下列结论中，正确的是（   ） A．单项式的系数为-1，次数是4 B．多项式是四次三项式 C．单项式a的次数是1，系数为0 D．单项式的系数是3，次数是2 【变式5-2】下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的次数是6次 C．是多项式 D．的常数项为1 【变式5-3】下列结论：①是单项式；②的次数是；③的系数是，次数是；④多项式是三次三项式，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型6 多项式的项、项数、次数】 【例6】一组多项式的规律如下：，按此规律，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】多项式是关于x的二次三项式，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．2或 【变式6-3】下列说法错误的是（   ） A．代数式，，都是整式 B．单项式的系数是．次数是2 C．多项式次数是3 D．多项式的二次项的系数是 【题型7 多项式系数、指数中字母求值】 【例7】若是关于x的三次多项式，则代数式的值是（    ） A． B． C．或3 D．3 【变式7-1】已知多项式是二次三项式，则常数m的值为（   ） A． B．3 C． D． 【变式7-2】若关于x的多项式为二次三项式，则常数项是（   ） A． B．9 C． D．6 【变式7-3】多项式是关于的四次三项式，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【题型8 将多项式按某个字母升幂或降幂排列】 【例8】下列说法正确的是（   ） A．多项式是二次三项式 B．多项式的一次项系数是 C．多项式中，的次数是按照从低到高排列的 D．多项式的常数项是 【变式8-1】关于多项式，下列说法错误的是（   ） A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1 C．它的次数最高项是 D．按x的降幂排列为 【变式8-2】下列说法正确的是（    ） A．是三次三项式 B．多项式是按的升幂排列 C．的系数是 D．近似数和相同 【变式8-3】关于多项式，下列说法正确的是（   ） A．它的项分别为 B．它是五次四项式 C．它是按照降幂排列的 D．它的三次项系数是 【题型9 整式的判断】 【例9】下列说法中正确的是（   ） A．单项式的系数是 B．单项式的系数为1，次数为0 C．多项式的次数是6 D．是整式 【变式9-1】下列结论中，正确的是（     ） A．的次数为5 B．是三次二项式 C．是整式 D．的系数是3，次数是2 【变式9-2】下列说法正确的是（    ） A．是单项式 B．不是整式 C．的系数是，次数是3 D．多项式的次数是6 【变式9-3】已知整式，其中是正整数，为自然数，且满足，且，下列说法： ①若，则满足条件的所有整式M的和为； ②若，则满足条件的整式M中只有4个单项式； ③若，则满足条件的整式M共有16个． 其中正确的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【探究式学习】 1．探究规律题：按照规律填上所缺的单项式并回答问题： （1）a，﹣2a2，3a3，﹣4a4，　 　，　 　； （2）试写出第2017个和第2018个单项式； （3）试写出第n个单项式； （4）当a＝﹣1时，求代数式a+2a2+3a3+4a4+…+99a99+100a100+101a101的值． 2．问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图方式搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律． 问题探究： 我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法． 探究一 用若干木棒来搭建横长是，纵长是的矩形框架（、是正整数），需要木棒的条数． 如图，当，时，横放木棒为条，纵放木棒为条，共需条； 如图，当，时，横放木棒为条，纵放木棒为条，共需条； 如图，当，时，横放木棒为条，纵放木棒为条，共需条； 如图，当，时，横放木棒为条，纵放木棒为条，共需条； 如图，当，时，横放木棒为条，纵放木棒为条，共需条． 问题（一）：当，时，共需木棒多少条． 问题（二）：当矩形框架横长是，纵长是时，横放的木棒为多少条， 纵放的木棒为多少条． 探究二 用若干木棒来搭建横长是，纵长是，高是的长方体框架（、、是正整数），需要木棒的条数． 如图，当，，时，横放与纵放木棒之和为条，竖放木棒为条，共需条； 如图，当，，时，横放与纵放木棒之和为条，竖放木棒为条，共需条； 如图，当，，时，横放与纵放木棒之和为条，竖放木棒为条，共需条． 问题（三）：当长方体框架的横长是，纵长是，高是时，横放与纵放木棒条数之和为多少条，竖放木棒条数为多少条． 实际应用：现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是、高是的长方体框架，总共使用了条木棒，则这个长方体框架的横长是多少． 拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是，高是的正三棱柱框架，需要木棒多少条． 【课后检测】 1．有一列式子，按一定规律排列成，…，则第n个式子为（     ） A． B． C． D． 2．烷烃是一类由碳C、氢（H）元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等的原料，通常根据碳原子的个数被命名为甲烷、乙烷、丙烷、丁烷、戊烷、…、癸烷（当碳原子数目超过个时，用汉字数字表示，如十一烷、十二烷…）等．甲烷的化学式为（表示含有1个碳原子和4个氢原子），乙烷的化学式为，丙烷的化学式为…，它们的分子结构模型如图所示，按照此规律，氢原子的个数为时，碳原子个数为（     ） A． B． C． D． 3．按一定规律排列的单项式：，，，，…，则第n个单项式是（     ） A． B． C． D． 4．一列单项式：，按此规律，第100个单项式是（    ） A． B． C． D． 5．观察下列单项式：，，，，，…，则第个单项式是（    ） A． B． C． D． 6．用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第8个图形需要的火柴棒根数为（   ） A．54 B．55 C．56 D．57 7．按一定规律排列的代数式：，其中第个代数式为（   ） A． B． C． D． 8．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，则第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 9．按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 10．观察一组按规律排列的式子：a，，，，，…，则第n（n为正整数）个式子是（    ） A． B． C． D． 11．若多项式是关于的二次二项式，则________． 12．有一列按照一定规律写出的单项式：0，，，，，…．这列单项式中的第25个单项式是__________． 13．一列单项式按以下规律排列：，，，，，，，，则第20个单项式是________． 14．观察下列单项式：，，，，…，则第个单项式可表示为_____． 15．观察，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第9个式子为________． 16．写出一个同时满足下列条件的二次三项式：①只含有字母和；②每一项的次数都是2；③按字母的降幂排列． 17．把多项式重新排列： (1)按x的降幂排列； (2)按y的降幂排列． 18．已知在数轴上，点A，B，C表示的数分别是a，b，c，其中b是最小的正整数，且多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c． (1)填空： __________，__________，__________． (2)将数轴折叠，使得点A与点C重合，点B与点D重合，则点D表示的数是多少？ (3)若点A，B，C分别以每秒2个单位长度、每秒1个单位长度和每秒4个单位长度的速度同时沿数轴的负方向匀速运动，请判断的值是否为定值．若是，请求出相应的定值；若不是，请说明理由． 19．代数式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． (1)请把上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内： (2)其中次数最高的多项式是______次多项式； (3)其中次数最高的单项式的次数是______，系数是______． 20．已知多项式是关于x的四次四项式． (1)求a、b的值； (2)将该多项式按x的降幂重新排列． 21．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“雅系多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“雅系和”．例如：多项式的系数和为．所以多项式是“雅系多项式”，它的“雅系和”为28．请根据这个定义解答下列问题： (1)下列多项式属于“雅系多项式”的是________（填序号） ①；②；③； (2)若关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7，且a、b均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“雅系多项式”，则多项式也是关于x，y的“雅系多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 22．如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，多项式的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． (1) ， ， ； (2)在点，之间是否存在一点，使得点到的距离是点到的距离的2倍，若存在，求点在数轴上对应的数，若不存在，请说明理由； (3)点，，同时开始在数轴上运动，若点和点分别以每秒4个单位长度和3个单位长度的速度向左运动，点先以每秒2个单位长度的速度向左运动，当点到达原点后，立即以原速度向右运动，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，求在运动过程中，的最大值． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 36 页 第 1 页 共 36 页 学科网（北京）股份有限公司 $