4.1 整式 讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦整式（含单项式、多项式）核心知识点，系统梳理概念及相关要素（系数、次数、项、常数项）。通过预习概念填空搭建基础，课内例题（如教材P92填表、多项式项与次数分析）深化理解，分层训练与课后作业巩固应用，形成完整学习支架。 资料以分层设计（A/B/C组训练）和生活实例（正方形、共享单车投放等）为特色，用实例培养数学眼光，分层训练提升数学思维，多项式表示实际问题发展数学语言。课中辅助教师授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

人教版数学七年级上册 · 第四章 整式的加减 · 4.1 整式（学生用书） 4.1 整式（第1、2课时） 学生用书 · 2026—2027学年 人教版数学七年级上册 原创分层学案 · 含课后作业 · 与教师讲义配套 ◆ 一、学习目标 ◆ ① 理解单项式、多项式、整式的概念。 ② 能准确说出单项式的系数和次数。 ③ 能准确指出多项式的项、常数项和次数。 ④ 能区分单项式与多项式，知道整式是它们的统称。 ◆ 二、预习导航（填一填） ◆ ◆ 用含字母的式子表示 ① 边长为 a 的正方形，周长为______，面积为______。（提示：4a，） ② 棱长为 a 的正方体，表面积为______，体积为______。（提示：6，） ③ 一本书原价 p，打8折后售价为______。（提示：0.8p） ④ 长方体长、宽、高分别为 a,b,c，体积为______。（提示：abc） ◆ 概念填空 ① 由数或字母的______组成的代数式叫单项式；单独一个数或一个字母______单项式。 ② 单项式中的______叫系数；所有字母的______叫次数。 ③ 几个单项式的______叫多项式；不含字母的项叫______；______叫多项式的次数。 ④ 单项式与多项式统称为______。 ◆ 三、课内探究（例题留白） ◆ ▸ 例1（教材 P92 填表）写出下列单项式的系数和次数 单项式 系数 次数 2 ______ ______ −1.2h ______ ______ x ______ ______ − ______ ______ vt ______ ______ 【提醒】 系数带符号；次数是字母指数和（常数次数0）。对照讲义板演自检。 ▸ 例2（教材 P92）指出下列多项式的项和次数 (1) − b+a− 项：________________________；次数：______。 (2) 3−2+1 项：________________________；次数：______。 ▸ 例3（教材 P92—P93）用多项式填空，指出项和次数 (1) 长方形相邻两边长 a,b，周长为______。（项______，次数______） (2) m 为有理数，m 的立方与 2 的差为______。（项______，次数______） (3) 共享单车：前两年每年投放 a 辆，第三年起每月回收 b 辆，第三年底共有______。（项______，次数______） (4) 独孤信印由 18 个正方形（边长 a）和 8 个等边三角形（边长 a、高 b）围成，表面积为______。（项______，次数______） ▸ 变式（补充）圆环面积 外圆半径 R、内圆半径 r，圆环面积 = ______；当 R=15 cm，r=10 cm，π 取 3.14 时，面积 = ______ c。 ◆ 四、分层训练（原创 · 与讲义同型） ◆ 独立完成，对照讲义"参考答案"板块订正。 第1课时 · A组 基础 1 判断：− b，x， ，π，−7 中，哪些是单项式？ 2 写出 3 y 的系数和次数。 3 写出一个系数为 −2、次数为 4、含字母 a,b,c 的单项式。 第1课时 · B组 提高（补充） 4 若 −3 是五次单项式，则 n=______。 5 已知单项式 4 与 −5 是同类项（补充铺垫），则 m=______，n=______。 第2课时 · A组 基础 1 下列各式：− b，+−1，x， ，2x−y，π，−7。哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ 2 指出多项式 4−3x+7 的项和次数，并指出常数项。 3 判断：①π 是单项式；②+2 是五次二项式；③3m+2n 是多项式，项 3m、2n，无常数项。 第2课时 · B组 提高（补充） 4 多项式 2−3 y+x− 是几次几项式？次数最高的项是哪几项？ 第2课时 · C组 拓展（补充） 5 已知关于 x 的多项式 +(k−2)x+6 是二次三项式，则 k 应满足什么条件？若它常数项为 6，写出一组 k 的值。 ◆ 五、课后作业（课本《习题4.1》P94） ◆ 以下为课本原题，请在"我的作答区"独立完成。 1. 单项式 −4 c 的系数是______，次数是______。 2. 写出一个系数是 2、次数是 3 的单项式。 3. 多项式 −2 b+ 的项为________________________，次数是______。 4. 一所住宅的建筑平面图分为四个区域（长度单位：m）：一个边长为 x 的正方形（面积 ）、一个长 2 宽 x 的长方形（面积 2x）、两个边长为 3 的正方形（面积各 9）。这所住宅的建筑面积可以用一个多项式表示为__________________，这个多项式的次数是______。（具体图形以课本原图为准） 5. 今年"十一"假期，某公园接待的游客数比去年同期增长了 5.7%。若去年同期这个公园接待了游客 x 万人，求今年"十一"假期期间这个公园比去年同期多接待的游客人数。 6. 我国古代数学著作《周髀算经》中提到十二个节气，在同一地点测得的日影长，每个节气与它后一个节气的日影长的差近似为定值 d 尺。若立春当日的日影长为 10.5 尺，求立夏当日日影长的近似值（立夏在立春后第 6 个节气）。 ◆ 六、课堂小结（填一填） ◆ ① 单项式看"______"；系数是______（带符号，π 是常数）；次数是______（常数次数 0）。 ② 多项式看"______"；项______（带前面符号）；常数项______；次数看______。 ③ 单项式与多项式统称______。 ◆ 七、参考答案 ◆ ◆ 课内探究（例1—例3、变式） 例1：2（系数2，次数2）；−1.2h（−1.2，1）；x（1，3）；−（−1，2）； vt（，2）。 例2：(1)项 ，− b，a，−；次数3。(2)项 3，−2，1；次数4。 例3：(1)2a+2b，项2a,2b，次数1；(2)−2，项,−2，次数3；(3)2a−12b，项2a,−12b，次数1；(4)18+4ab，项18,4ab，次数2。 变式：圆环面积=π−π=3.14×−3.14×=706.5−314=392.5(c)。 ◆ 分层训练 第1课时 1 单项式：− b，x， ，π，−7（共5个）。 2 3 y 系数 3，次数 3。 3 示例：−2 bc 或 −2a c（系数−2，次数1+1+2=4）。 4 −3 次数=2+n=5，故 n=3。 5 由同类项得 m=3，n=2。 第2课时 1 单项式：− b，x， ，π，−7；多项式：+−1，2x−y；整式=上述全部。 2 4−3x+7 的项：4，−3x，7；次数2；常数项7。 3 ①对（π是常数，属单项式）；②错（ 次3、2 次2，是三次二项式）；③错（项应带符号3m、2n，无常数项）。 4 项 2，−3 y，x，−；四项次数均为3，三次四项式；最高次项即全部四项。 5 二次三项式要求最高次为2且恰有3项： 已二次，须 (k−2)x 一次项存在且 6 常数项存在，故 k−2≠0 即 k≠2；常数项本就是6，任取 k≠2 即可，如 k=3。 ◆ 课后作业（课本《习题4.1》P94） 1. 系数是 −4，次数是 6（2+3+1）。 2. 示例 2x（系数2，次数3），答案不唯一。 3. 项：，−2 b，；次数 4（最高次项 为4次）。四次三项式。 4. 建筑面积 = +2x+9+9 = +2x+18，次数 2。 5. 多接待人数 = x(1+5.7%) − x = 5.7%x（万人）。 6. 立夏在立春后第6个节气，日影长 = 10.5 − 6d（尺）。 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学七年级上册 · 第四章 整式的加减 · 4.1 整式（教师讲义） 4.1 整式（第1、2课时） 教师讲义 · 2026—2027学年 人教版数学七年级上册 贴合一线 · 去AI套壳 · 课本例题真实对齐 ◆ 一、教学导航 ◆ ◆ 教材分析 4.1 整式是第四章“整式的加减”的起始课，分2课时：第1课时单项式（概念、系数、次数），第2课时多项式与整式（项、常数项、次数、整式概念）。它是后续整式加减、解一元一次方程的重要基础，也是从“数”到“式”抽象的第一次系统跃迁。 ◆ 教学目标 ①理解单项式的概念，能判断一个代数式是不是单项式；②掌握单项式的系数、次数；③理解多项式、整式的概念，能指出一个多项式的项、常数项与次数；④会用整式表示简单的数量关系，体会用字母表示的一般性。 ◆ 重难点 重点：单项式、多项式的系数与次数概念，整式的辨别。难点：多项式的次数与“项含前面符号”；系数与次数易混淆（如把 π 当字母、漏掉数字因数的符号、把常数次数算成1等）。 ◆ 课时安排 2课时（第1课时 单项式；第2课时 多项式与整式）。 ◆ 课前准备 ①课堂学习单（含例1—例3板演区、纠错区、巩固练习）；②红笔（当场圈易错点）；③小黑板/白板展示学生板演——不依赖任何外部图片素材，所有情境均用文字描述。 ◆ 二、第1课时　单项式 ◆ ▸ 第一环节　情境引入（约6分钟） 【情境】用含字母的式子表示数量关系（教科书P90“思考”）：①边长为 a 的正方形，周长为 4a、面积为 ；②棱长为 a 的正方体，表面积为 6、体积为 ；③一本书原价 p，打8折后售价为 0.8p；④一个长方体的长、宽、高分别为 a,b,c，体积为 abc。 【教师问】这些式子和我们上章学过的“代数式”有什么关系？它们有什么共同特点？ 【学生说】都是数或字母乘在一起，没有“加、减”运算。 【教师补】引出定义——由数或字母的__积__组成的代数式，叫作单项式；单独一个数或一个字母也是单项式。 ▸ 第二环节　概念建构：系数与次数（约12分钟） 【板演】单项式的系数：单项式中的__数字因数__。单项式的次数：单项式中__所有字母的指数的和__。 【易混提醒】 三个“特别记住”：①π 是常数，应看作系数（如 πh 的系数是 π，不是 h）；②单独字母系数为 1（省略不写，如 的系数是 1）；③单独一个非零常数，规定其次数为 0（如 3 是单项式，次数为 0）。 【找错（补充）】让同桌互相挑错：小明说“ 的系数是 0”“−2 y 的系数是 2、次数是 2”“3 不是单项式”。你来纠正。 ⚠ 易错　① 的系数是 1（不是0）；②−2 y 的系数要带符号 −2，次数=2+1=3；③3 是单项式，次数为 0。 ▸ 第三环节　例题与板演（约10分钟） ▸ 例1（教材 P92 填表）　写出下列单项式的系数和次数 单项式 2 系数______，次数______ −1.2h 系数______，次数______ x 系数______，次数______ − 系数______，次数______ vt 系数______，次数______ 【巡视重点】①负号是否算进系数（−1.2h 系数 −1.2，− 系数 −1）；②次数只数“字母的指数和”，不数系数（2 次数 2，不是 3）；③ vt 次数=1+1=2。 ▸ 第四环节　巩固练习（约8分钟） 独立完成学习单，4人小组互评，教师据班情选用。 A组·基础（选自教材 P93 练习） 1 判断：− b，x， ，π，−7 中，哪些是单项式？ 2 写出 2 y 的系数和次数。 3 写出一个系数为 −3、次数为 3、只含字母 a,b 的单项式。 B组·提高（补充） 4 若 −2 是四次单项式，则 m=______。 5 已知单项式 5 与 −2 是同类项（补充概念铺垫），则 a=______，b=______。 【小结】单项式看“积”；系数是数字因数（带符号、π是常数）；次数是字母指数和（常数次数0）。 ◆ 三、第2课时　多项式与整式 ◆ ▸ 第一环节　情境引入（约5分钟） 【情境】观察上章遇到过的式子：2n−10，+2x+8，2a+3b，ab−π。它们还是单项式吗？它们和单项式有何联系与区别？ 【学生说】它们都含有“加、减”，可以看作几个单项式加在一起。 【教师补】引出定义——几个单项式的__和__，叫作多项式。 ▸ 第二环节　概念建构：项、常数项、次数、整式（约12分钟） 【板演】①多项式的项：每个单项式（连同它前面的符号）叫作项；不含字母的项叫常数项。②多项式的次数：__次数最高的项的次数__。③单项式与多项式统称为整式。 【易混提醒】 两个“特别记住”：①多项式的每一项都带着前面的“+”“−”号（如 2n−10 的项是 2n 与 −10，不是 10）；②多项式没有“系数”的说法，但每一项都有自己的系数。 ⚠ 易错　常见错：把“2n−10 的项是 2n 和 10”说漏负号；把“多项式次数”误算成“各项次数相加”。多项式次数只看最高次那一项。 ▸ 第三环节　例题与板演（约12分钟） ▸ 例2（教材 P92）　指出下列多项式的项和次数 题目 (1) − b+a− (2) 3−2+1 【板演答案】(1)项：，− b，a，−；次数 3。(2)项：3，−2，1；次数 4。 ▸ 例3（教材 P92—P93）　用多项式填空，并指出它的项和次数 情境 (1) 一个长方形相邻两边长分别为 a,b，周长为______。 (2) m 是一个有理数，m 的立方与 2 的差为______。 (3) 某公司前两年每年投放共享单车 a 辆，第三年起不再投放且每月回收 b 辆，第三年年底该地区共有______辆。 (4) 独孤信印由 18 个相同正方形（边长 a）和 8 个相同等边三角形（边长 a、高 b）围成，表面积为______。 【板演答案】(1)2a+2b，项 2a,2b，次数 1；(2)−2，项 ,−2，次数 3；(3)2a−12b，项 2a,−12b，次数 1；(4)18+4ab，项 18,4ab，次数 2。 【说明】 例3(4)表面积＝18个正方形面积＋8个三角形面积＝18·＋8·( ab)＝18+4ab。用文字把情境说清即可，不必配图。 ▸ 变式（补充）　用式子表示数量关系并求值 【题面】一个圆环，外圆半径为 R、内圆半径为 r，用式子表示圆环面积；当 R=15 cm，r=10 cm，π 取 3.14 时，求圆环面积。 【板演答案】圆环面积=π−π；代入：3.14×−3.14×=3.14×225−3.14×100=706.5−314=392.5(c)。 ▸ 第四环节　巩固练习（约8分钟） 独立完成学习单，小组互评。 A组·基础（选自教材 P93 练习） 1 下列各式中，哪些是单项式？哪些是多项式？− b，+−1，x， ，2x−y，π，−7。 2 指出多项式 3−2x+5 的项和次数，并指出常数项。 3 判断：①π 是单项式；②+2 是五次二项式；③2a+3b 是多项式，项 2a、3b，常数项 0。 B组·提高（补充） 4 多项式 −2x+3 y− 是几次几项式？次数最高的项是哪几项？ C组·拓展（补充） 5 已知关于 x 的多项式 +(m−1)x+5 是二次三项式，则 m 应满足什么条件？若它还是“常数项为5”，写出一组 m 的值。 ◆ 四、板书设计（真实分区） ◆ 主板书（左侧，随教学推进书写）： 4.1 整式（2课时） 一、单项式：数或字母的__积__。系数=数字因数；次数=所有字母指数和。 例1填表：2(2,2)　−1.2h(−1.2,1)　x(1,3)　−(−1,2)　 vt(,2) 二、多项式：几个单项式的__和__。项（带符号）、常数项、次数=最高次项次数。整式=单项式+多项式。 例2：− b+a−（项4，次3）；3−2+1（项3，次4） 例3：2a+2b / −2 / 2a−12b / 18+4ab 副板书（右侧）：① 系数1（非0）；②πh 系数是 π（常数）；③3 是单项式，次数0；④多项式项带符号；⑤次数看最高次项。 ◆ 五、作业布置（课本《习题4.1》P94 真实原题） ◆ 必做（课本《习题4.1》P94 第1—3题，与课堂例题同型）： 1. 第1题：单项式 −4 c 的系数是______，次数是______。 2. 第2题：写出一个系数是 2、次数是 3 的单项式。 3. 第3题：多项式 −2 b+ 的项为___________，次数是______。 选做（学有余力，课本《习题4.1》P94 第4—6题）： 4. 第4题：用多项式表示住宅建筑面积（参考例3），并说明它的次数。 5. 第5题：公园"十一"游客比去年增长 5.7%，去年接待 x 万人，求今年多接待的人数（用含 x 的式子表示）。 6. 第6题：《周髀算经》十二节气日影长，相邻差近似定值 d 尺，立春日影 10.5 尺，求立夏日影长的近似值。 （注：具体题号、页码以所用课本实际为准，教师可据班情调整。） ◆ 六、教学反思（课后填写） ◆ ⚠ 易错　①“系数漏符号、次数把系数也算进去”最顽固（如 −2 y 系数写成 2、次数写成 2+2），需在板演时强调“系数带符号、次数只数字母”。 ⚠ 易错　②π 是常数易误当字母（πh 的系数错写成 1），可设计“找系数”专项辨析。 ⚠ 易错　③多项式“项漏前面符号”“次数误相加”需对比单项式反复强化；副板书固定呈现易错点。 （本栏供教师课后填写课堂生成与改进设想。） ◆ 七、参考答案（巩固练习） ◆ 说明：系数带符号；次数是字母指数和；多项式项连同前面符号；结果可写真分数或小数。 第1课时 巩固练习 1 单项式：− b，x， ，π，−7（共5个）；+−1、2x−y 不是单项式（含加减运算）。 2 2 y 的系数是 2，次数是 3。 3 示例：−3 b 或 −3a（系数 −3，次数 1+2=3）。 4 −2 次数=2+m=4，故 m=2。 5 由同类项定义得 a=2，b=3。 第2课时 巩固练习 1 单项式：− b，x， ，π，−7；多项式：+−1，2x−y；整式=上述全部（单项式与多项式统称整式）。 2 3−2x+5 的项：3，−2x，5；次数 2；常数项 5。 3 ①对（π 是常数，属单项式）；②错（ 次2、2 次3，是三次二项式）；③错（项应带符号 2a、3b，无常数项，常数项是 0 仅当存在不含字母的项，此处没有常数项）。 4 各项次数均为 3（ 次3，−2x 次3，3 y 次3，− 次3），故是三次四项式；次数最高的项即全部四项。 5 二次三项式要求最高次为2且恰有3项： 已二次，须 (m−1)x 一次项存在且 5 常数项存在，故 m−1≠0 即 m≠1；常数项本就是5，任取 m≠1 即可，如 m=2。 学科网（北京）股份有限公司 $