专题4.2 整式的加减（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦整式的加法和减法核心知识点，系统梳理同类项（含定义及判断标准）、合并同类项（法则为系数相加、字母及指数不变）、去括号与添括号（括号外符号决定变号规则）、整式加减（先去括号再合并同类项）等内容，形成从概念到操作再到综合应用的完整学习支架。 该资料亮点突出，题型覆盖10类，从基础的同类项判断到复杂的整式应用问题，结合探究式学习（如日历规律探究、绝对值几何意义分析）培养抽象能力与推理意识，课后检测与复盘笔记助力学生巩固提升，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，体现数学语言表达与应用意识。

简一数理 初中专题讲义 专题4.2 整式的加法和减法 （新教材人教版） 知识点一：同类项、合并同类项 2 知识点二：去括号、添括号 2 知识点三：整式的加减 2 【题型1 同类项的判断】 2 【题型2 已知同类项求指数中字母的值或代数式的值】 4 【题型3 合并同类项】 6 【题型4 去括号】 7 【题型5 添括号】 9 【题型6 整式的加减运算】 11 【题型7 整式加减运算中的化简求值】 13 【题型8 整式加减中的无关型问题】 15 【题型9 整式加减的应用】 18 【题型10 带有字母的绝对值化简问题】 20 【探究式学习】 23 【课后检测】 27 【复盘笔记】 39 知识点一：同类项、合并同类项 1. 同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 判断同类项的标准：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，缺一不可. 2. 合并同类项 定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变） 知识点二：去括号、添括号 添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号. 【补充】去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 知识点三：整式的加减 运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【补充说明】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项； 【题型1 同类项的判断】 【例1】下列各组中的两项，属于同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】含有相同的字母并且相同的字母的指数也相同的项即为同类项，据此即可作答． 【详解】解：A、相同字母的指数不同，不是同类项，故该选项不符合题意； B、所含的字母不同，不是同类项，故该选项不符合题意； C、相同字母的指数不同，不是同类项，故该选项不符合题意； D、与属于同类项，故该选项符合题意． 【变式1-1】下列说法：①0是最小的有理数； ②一个有理数不是正数就是负数； ③绝对值是它本身的有0，1；④ 的系数是；⑤是整式；⑥ 与是同类项，其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据有理数的分类、绝对值的性质、整式的定义、同类项的定义即可作出判断． 【详解】解：①没有最小的有理数，原说法错误； ②一个有理数是正数、0、负数，原来的说法错误； ③绝对值是它本身的有0和正数，原来的说法错误； ④ 的系数是，原来的说法错误； ⑤是整式，正确； ⑥ 与是同类项，正确； 正确的个数是2个． 【变式1-2】下列说法中，正确的是（    ）． A．是整式 B．的常数项是 C．系数是 D．与是同类项 【答案】D 【分析】本题考查整式的概念，同类项的概念，单项式的系数，多项式的项，熟练掌握相关知识是关键． 根据整式、常数项、单项式系数、同类项的定义，逐一分析每个选项的正误． 【详解】解：∵整式是单项式和多项式的统称，分母中不能含有字母，而分母含字母，属于分式， ∴不是整式，A选项错误； ∵多项式的常数项是不含字母的项，的常数项是， ∴B选项错误； ∵单项式的系数是单项式中的数字因数（包括前面的符号和π这类常数），的系数是， ∴C选项错误； ∵同类项是所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项，与所含字母都是、，且、的指数都是， ∴二者是同类项，D选项正确． 故选：D． 【变式1-3】下列说法正确的是（   ） A．与是同类项 B．多项式是三次二项式 C．单项式没有系数 D．单项式的次数是5 【答案】B 【分析】本题考查同类项、单项式的系数与次数、多项式的次数与项数的定义，需依据定义逐一判断选项． 【详解】解：A、与中x的指数不同，则与不是同类项，不符合题意； B、多项式有两项，最高次项为，次数是3，则该多项式是三次二项式，符合题意； C、单项式的系数是1，则说法错误，不符合题意； D、单项式的次数是，不是5，不符合题意， 故选：B． 【题型2 已知同类项求指数中字母的值或代数式的值】 【例2】若单项式与能合并成一项，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键． 根据题意可知这两个单项式是同类项，则两个单项式中x的指数和y的指数分别相等，列式求出a和b的值，即可求解． 【详解】解：单项式与能合并成一项， 这两个单项式是同类项， ， 解得， ． 故选：A． 【变式2-1】如果单项式与的和仍然是一个单项式，则的值为（  ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据同类项的定义：含有相同的字母，相同的字母的次数相同，两个单项式的和仍为单项式，需满足同类项条件，即相同字母的指数相等． 【详解】解：∵和仍为单项式， ∴与是同类项， ∴，且， 解得， ∴， 故选：B． 【变式2-2】已知单项式与可以合并同类项，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了合并同类项、同类项的定义、代数式求值等知识点，掌握同类项的相同字母的指数相同是解题的关键． 先根据同类项的定义求得m、n的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：∵单项式与可以合并同类项， ∴单项式与是同类项， ∴且，解得：，， ∴． 故选A． 【变式2-3】若与是同类项，则代数式的值(   ) A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义．根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，列出关于和的方程并求解，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴且， 解得，， ∴． 故选：A． 【题型3 合并同类项】 【例3】下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加法运算与合并同类项法则，需根据相关法则逐一判断各选项的计算是否正确 【详解】A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．与所含相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； D．与是同类项，合并得，计算正确，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式3-1】化简的结果为（   ） A．0 B． C．m D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】此题考查了合并同类项，弄清式子的规律是解本题的关键． 与结合，与结合，以此类推相减结果为，得到253对与的和，计算即可得到结果． 【详解】解： 故选：B． 【变式3-2】下列说法正确的是（    ） A．一定是负数． B．多项式是二次二项式 C．的系数是，次数是2 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查了单项式和多项式的有关概念，根据单项式的系数和次数、多项式的项数和次数、以及代数式的求值等初中数学概念，逐一判断各选项的正误． 【详解】A．∵a表示任意实数， ∴ 当时，，不一定是负数，故A错误； B．∵ 多项式由三项组成，且最高次项为二次， ∴ 是二次三项式，不是二项式，故B错误； C．∵ 单项式的数字因数是，且所有字母的指数和为， ∴ 系数，次数是3，故C错误； D．∵ ， ∴，故D正确． 故选：D． 【变式3-3】下列运算中，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项．根据合并同类项进行计算即可求解． 【详解】解：选项A： ，故A正确． 选项B：∵，不一定为0，故B错误． 选项C：∵，故C错误． 选项D：∵，故D错误． 因此，正确答案是A． 故选：A． 【题型4 去括号】 【例4】下列去括号中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号的法则，解题的关键是掌握去括号法则：括号前是“+”号，去括号后各项符号不变；括号前是“”号，去括号后各项符号改变，同时括号前的系数需乘以括号内的每一项，解答即可． 【详解】解：A、，但选项为 ，故此选项错误，不符合题意； B、，但选项为 ，故此选项错误，不符合题意； C、，但选项为 ，故此选项错误，不符合题意； D、，与选项一致，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式4-1】下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了去括号法则和分配律的应用，根据括号前的符号，正确去括号并变号，即可判断等式是否成立，由此求解即可． 【详解】解：A、左边，右边，左边右边，故A不成立，不符合题意； B、左边，右边，左边右边，故B不成立，不符合题意； C、左边，右边，左边右边，故C不成立，不符合题意； D、左边，右边，左边右边，故D成立，符合题意． 故选：D． 【变式4-2】下列说法中正确的是（    ） A．单项式的系数是 B．单项式没有次数 C．多项式的项是， D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式的系数和次数、多项式的项以及去括号法则．根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：的系数是．故A错误． 选项B：的次数为1．故B错误． 选项C：的项是和．故C正确． 选项D：=．故D错误． 故选：C． 【变式4-3】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的去括号运算，熟练掌握去括号法则及合并同类项是解题的关键．根据去括号的运算法则，逐项分析，即可求解． 【详解】解：A、等号的左边，等号的右边是， 左边右边，故A选项计算错误； B、等号的右边=，等号的左边是， 左边右边，故B选项计算错误； C、等号的左边=，等号的右边是， 左边右边，故C选项计算错误； D、等号的右边=，等号的左边是， 左边右边，故D选项计算正确； 故选：D． 【题型5 添括号】 【例5】下列添括号变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了添括号，根据添括号规则：括号前是“”号，括号内各项符号不变；括号前是“”号，括号内各项符号改变，逐一验证各选项即可，掌握添括号规则是解题的关键． 【详解】解：、等式右边，与左边不相等，故该选项错误，不符合题意； 、等式右边，与左边为不相等，故该选项错误，不符合题意； 、等式右边，与左边相等，故该选项正确，符合题意； 、等式右边，与左边为不相等，故该选项错误，不符合题意； 故选：． 【变式5-1】下列各项中，添括号与去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了去括号和添括号的规则，解决此题的关键是熟记规则：括号前是正号，括号内各项符号不变；括号前是负号，括号内各项符号改变，根据规则逐一检查各选项的符号变化是否正确即可． 【详解】解： A：左边添括号得，与右边 不相等，故错误； B：左边去括号得 ，与右边 不相等，故错误； C：左边去括号得 ，与右边一致，故正确． D：左边添括号得，与右边 不相等，故错误； 故选：C． 【变式5-2】将多项式添括号后正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了添括号的方法：添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号．根据添括号法则进行判断即可． 【详解】解：A、根据添括号的法则可知，，故本选项错误，不符合题意； B、根据添括号的法则可知，，故本选项正确，符合题意； C、根据添括号的法则可知，，故本选项错误，不符合题意； D、根据添括号的法则可知，，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式5-3】当时，代数式的值为13，则当时，代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握整体代入思想是解题关键．将代入得到，整理得到，然后将代入变形得到，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵当时代数式的值为13， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ． 故选：A． 【题型6 整式的加减运算】 【例6】、、三个有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减运算，掌握数轴上点的符号化简绝对值，整式的加减运算法则是关键． 根据题意得到，根据整式的加减运算求解即可． 【详解】解：根据题意，，且， ， ． 故选：C． 【变式6-1】下列各项中，添括号与去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查去括号与添括号的法则，解题关键是掌握“括号前是正号，去（添）括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去（添）括号后括号内各项符号改变”的规则，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵去括号与添括号法则：括号前是正号，去（添）括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去（添）括号后括号内各项符号改变 ∴对各选项分析如下： A选项：，故A错误 B选项：，去括号符合法则，故B正确 C选项：，故C错误 D选项：，故D错误 故选：B． 【变式6-2】若有理数a，b在数轴上的位置如图，则等于（   ） A．a B． C． D．3a 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减计算，数形结合是解题的关键．根据数轴上点的位置判断各项的符号，进而化简绝对值，再去括号，合并同类项，即可求解． 【详解】解：根据有理数a，b在数轴上的位置可得， ，，， ． 故选：A． 【变式6-3】有理数在数轴上的位置如图所示，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减运算，根据数轴可推出，据此化简绝对值，再利用整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得，且， ∴， ∴ ， 故选：C． 【题型7 整式加减运算中的化简求值】 【例7】对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”记为．若是“相随数对”则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减—化简求值，由题意得，整理得，即，然后将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可． 【详解】解：由题意得， 整理得， 则， ， 故选：A． 【变式7-1】已知，，则式子的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先把第二个等式两边乘以2，再用第一个等式减去第二个等式两边乘以2后的结果即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式7-2】在学习了整式的加减后，老师给出下面这道课堂练习题：选择的一个值，求的值.学生甲、乙、丙、丁对此题说法错误的是：（   ） A．甲说：“当时，原式．” B．乙说：“当时，原式．” C．丙说：“当时，原式．” D．丁说：“当取1或时，原式的值都是．” 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减运算和代数式求值，本题先将化简为，然后再逐一核对选项，即可求解． 【详解】解： ， A、甲说：“当时，原式”，错误，原式应该，符合题意； B、 乙说：“当时，原式”，正确，不符合题意； C、丙说：“当时，原式”， 正确，不符合题意； D、丁说：“当取1或时，原式的值都是”，正确，不符合题意； 故选：A． 【变式7-3】已知，，则多项式的值为(    ) A．1 B． C．2024 D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．先计算整式的加减，再将的值代入计算即可得． 【详解】解： ， 将，代入得：原式， 故选：A． 【题型8 整式加减中的无关型问题】 【例8】若多项式与的差与的取值无关，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减混合运算，根据多项式与的差与x的取值无关，即整理后含的项，系数为零，据此建立等式求出与的值，即可解题． 【详解】解：由题意得， ， 多项式与的差与x的取值无关， 且， 解得，， ， 故选：D． 【变式8-1】已知代数式合并同类项后不含，项，则的值为(        ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项．合并同类项后，不含，项，即它们的系数为零，求出和的值，再代入计算． 【详解】解：项系数： 项系数： 则 故选：D． 【变式8-2】已知为有理数，若代数式的值与的取值无关．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的加减运算以及代数式与字母取值无关的条件，熟练掌握“代数式与某字母取值无关时，该字母对应项的系数为0”是解题的关键． 先化简代数式，根据“代数式的值与的取值无关”可知和的系数为0，进而求出、的值，最后计算． 【详解】解：原式 ， ∵代数式的值与的取值无关， ∴且， ∴，， ∴， 故选：C． 【变式8-3】下列说法中，不正确的个数有（   ） ①若，则； ②A，B，C，三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ③若代数式的值与无关，则该代数式的值为2021； ④，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题考查了化简绝对值，整式的加减运算，有理数的乘法和除法等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 逐一分析每个说法的正确性：①由绝对值的定义可知而非；②根据题意分3种情况讨论，分别列出方程求解即可；③根据题意分3种情况讨论，分别化简绝对值求解即可；④根据题意得到a，b，c中有两个正数，一个负数，不妨设，，，然后代入求解即可． 【详解】解：①∵， ∴且， ∴，故①错误； ②∵A，B，C，三点在数轴上对应的数分别是、6、， ∴当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得，故②错误； ③∵代数式 ∴当时， ∴此时代数式的值与有关； ∴当时，，此时与x无关； 当时，， ∴此时代数式的值与有关； 综上所述，若代数式的值与无关，则该代数式的值为2019，故③错误； ④∵，， ∴a，b，c中有两个正数，一个负数， ∴不妨设，， ∴，故④错误． 综上所述，不正确的个数有4个． 故选：D． 【题型9 整式加减的应用】 【例9】已知，，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【分析】比较两个代数式的大小，可采用作差法，计算并化简，通过判断差的正负性，即可得到与的大小关系． 【详解】解： 去括号得： 合并同类项得： 对任意实数，都有 ， 即 ． 【变式9-1】若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常这个两位数可表示为，于是．类似的方法也可以表示三位数或四位数．则一定是（    ） A．2的倍数 B．5的倍数 C．11的倍数 D．37的倍数 【答案】D 【分析】本题考查列代数式、合并同类项和倍数的判断，根据数的表示方法把原式转化为代数式，化简后分解因式即可判断． 【详解】解：根据题意，可得：，， 则 是不为的正整数， 一定是的倍数． 【变式9-2】如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（    ） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④若时，则阴影A的周长比阴影B的周长少8． A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】①首先明确长方形的较长边为大长方形长个小长方形的较短边； ②表示出阴影的较短边，阴影的较短边，再求它们的和； ③根据长方形周长公式，再根据用表示的边长，列式计算； ④根据长方形周长公式，再根据用表示的边长，列式计算． 【详解】解：①小长方形的较短边为，大长方形长为， 小长方形的较长边为； ①符合题意； ②阴影的较长边，较短边， 阴影的较长边，较短边， 阴影的较短边和阴影的较短边之和为； ②不符合题意； ③阴影和阴影的周长和为， 若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值； ③符合题意； ④阴影的周长比阴影的周长少， 若时，原式， 阴影的周长比阴影的周长少； ④符合题意． 故正确的有①③④． 【变式9-3】将三张边长各不相同的正方形纸片①，②，③按如图方式放入矩形内（纸片①与②、纸片①与③均有部分重叠），且满足，未被三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．设正方形纸片①，②，③的边长分别为a，b，c（其中）．若要求出上下两个阴影部分周长的差，则只要知道下列哪个代数式的值（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意易得上方阴影部分的周长为，下方阴影部分的周长为，然后可得，，进而问题可求解． 【详解】解：如图，由题意得，上方阴影部分的周长为， 下方阴影部分的周长为， ∵四边形为矩形，， ∴，， ∴上下两个阴影部分的周长的差为． 【题型10 带有字母的绝对值化简问题】 【例10】若，，且，那么的值是（    ）． A．或4 B．2或 C．2或4 D．或 【答案】D 【分析】由推出是解题关键，结合绝对值的定义确定的取值后代入计算． 【详解】解：， ， ， ， ， ，即， ，或， 当时，， 当时，， 的值为或． 【变式10-1】在数轴上，有理数a，b的位置如图，将a与b的对应点间的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为，，，，，且，．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先由，得到，且距离原点比较远，，且距离原点比较近，中点所表示的数在原点的左侧，然后根据数轴表示数以及绝对值的意义逐项进行判断即可． 【详解】解：，， ，且距离原点比较远，，且距离原点比较近， 中点所表示的数在原点的左侧， ，故①正确； ∴，可能大于0，也可能小于0， 符号不确定，故②不正确； ， ，， ，故③正确； ∵， ∴，故④正确． 综上所述，所有正确结论的个数是3． 【变式10-2】若，则的值是（   ） A． B．1 C．1或 D．或3 【答案】C 【分析】由题意可得，或，然后分两种情况，分别去绝对值后计算即可． 【详解】解：∵， ∴，或， 当，时，； 当，时，． 综上，的值是1或． 【变式10-3】已知数，在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①；② ；③；④ ． A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】根据数轴得出，，且进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， ； ∵， ∴， ∴正确的有③④； 故选：B ． 【探究式学习】 1．阅读与思考 如图是年月份的日历，乐乐在其中画出一个的方框（阴影框），框住九个数，计算其中如图所示位置的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为 ． 将的方框移动到图的其他位置，通过计算可以发现的值为 ． (2)数学思考：乐乐认为（1）中的猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则， ， ． 所以，的值为 ． (3)迁移应用：某天，乐乐不小心将日历表撕掉了一块，使得某个方框中的日期看不到了，但他记得在探究过程中方框中，请你类比（2）中探究思路帮乐乐求出的值． 【答案】(1)， (2)， ， ， ， (3) 【分析】（1）根据有理数的运算规则运算即可；平移的方框，任选与图1位置不同的位置将值代入运算即可； （2）根据图像将表示出来，再代入进行运算即可； （3）根据（2）将用表示出来，再代入求解即可． 【详解】（1）解：； 当， 则． （2）解：设，则，，． ， ， ， ； 所以，的值为． （3）解：设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 2．【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． 如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ； (4)的最小值为 ． 【答案】(1)a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3 (2)2；2； (3)6； (4)1025156． 【分析】（1）由的几何意义以及有最小值1即可直接求得结果； （2）当a取中间值即时，求得最小值； （3）由题意可得出，取中间数即时，绝对值最小； （4）由题意可得出，取中间值时，求得最小值； 【详解】（1）解：由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和； 当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3． （2）解：当a取中间数2时，绝对值最小； 的最小值是． （3）解：当a取最中间数时， 绝对值最小；的最小值是； （4）解：当a取中间数1013时，绝对值最小， 的最小值为： ． 3．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①若a，b，c都是正数，即，，时，则； ②若a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， ， 综上所述，的值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数a，b，c满足，求的值； (2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 【答案】(1)或1 (2) 【分析】（1）根据有理数乘法运算法则判断a，b，c的符号，然后根据绝对值的意义进行化简，注意分情况讨论； （2）由题意得，a，b，c中有2个负数，1个正数，则，利用绝对值的意义可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数． ①若a，b，c都是负数，即，，时， ； ②若a，b，c中有一个为负数，另两个为正数时， 不妨设，，， 则， 综上所述，的值为或1； （2）解：∵a，b，c为三个不为0的有理数，且， ∴a，b，c有2个负数，1个正数， ∴， ∴． 【课后检测】 1．已知a，b，c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，有下列结论： ①；②；③；④；⑤其中错误的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由数轴可知，据此逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知：， ， 故①⑤正确； 、， ， ， 故②错误； ， ， 故③错误； ， ， 故④错误； 综上所述，错误的有②③，共3个． 2．如图1是某圆形餐桌的桌面（阴影表示可折叠部分），把其折叠可得到如图2正方形桌面．已知圆形桌面的直径为，正方形桌面的边长为b．如图3、图4所示，现将两块边长都为的正方形桌布分别铺在圆形桌面和正方形桌面上，设桌布垂下部分的面积分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意表示出、，然后作差即可解答． 【详解】解：由题意可得：，， ∴，即选项D符合题意． 3．如图1是2026年5月份的月历，嘉琪同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则m，n的值不可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据“Z”字形框中四个数字的位置关系，用含、的代数式，建立等量关系式列出方程解答；注意框出的数字必须在月历范围内且位置符合形状要求． 【详解】解：由题意可知，，整理得， A．当，时，，符合题意，且（周日），位置符合，故A可能； B．当，时，，符合题意，且（周三），位置符合，故B可能； C．当，时，，符合题意，且（周一），位置符合，故C可能； D．当，时，，不符合题意，故D不可能． 4．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 5．计算的结果是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先去括号，然后合并同类项，即可求解． 【详解】解：． 6．有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数轴可得，，从而确定各式的符号． 【详解】解：根据数轴可得，， ∴，，，， ∴A、B、D选项不正确，C选项正确． 7．如图，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，若在每个大长方形内放入四个如图（3）所示的小长方形，深色区域是空下来的地方，若已知大长方形的长比宽多4厘米，图（1）比图（2）中深色的区域的周长大（   ） A．8 B．4 C．2 D．6 【答案】A 【分析】由图（2）得大长方形的长为，那么它的宽为，然后分别表示出两个图形中阴影部分的周长，再将它们作差即可． 【详解】解：由图（2）得大长方形的长为， 大长方形的长比宽多4厘米， 它的宽为， ， ． 8．下列每组单项式中是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【详解】解：A、与所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，所以是同类项，故选项A符合题意； B、与，字母的指数不同，字母的指数也不同，所以不是同类项，故选项B不符合题意； C、与所含字母不相同，所以不是同类项，故选项C不符合题意； D、与所含字母不相同，所以不是同类项，故选项D不符合题意 9．已知数a，b，c在数轴上的位置如图，且，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据点在数轴上的位置，判断a，b，c的大小关系，进行判断式子的符号，根据绝对值的意义，进行化简，逐一进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知：， 又∵， ∴，，，， ∴，，， ； 综上正确的有①③④，共3个． 10．有依次排列的2个整式，对任意相邻的两个整式，都相加再除以2，所得的结果写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式列，这称为第1次操作；将第1次操作后的整式列按上述方式再做一次操作，可得到整式列，这称为第2次操作；…；按此方式操作下去，下列说法： ①无论经过多少次操作，每一个整式中字母x系数都为1； ②经过3次操作后，将整式列求和，和为； ③经过7次操作后，将得到128个整式． 其中正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】观察每次操作后的式子，将每个整式中的常数化为分母相同的分数，可以发现，每个整式中，x的系数均为1，常数项对应的分式的分母为，分子从0，依次到，根据规律判断选项即可． 【详解】解：由题意，初始的两个整式的字母x的系数均为1，在一轮操作后，新得到的整式中的x的系数为，故任一整式均由两个字母x的系数为1的整式相加，再除以2得到，x的系数始终为，无论多少轮操作后，x的系数均为1，①正确； 观察规律，可发现， 第一轮操作后：，即； 第二轮操作后：，即； 第三轮操作后：，即； 类推归纳，第n次操作后：，每个整式中，常数项对应的分式的分母为，分子从0，依次到，共个整式， 故经过3次操作后，求和得，②正确； 经过7次操作后，将得到个整式，③错误． 11．对于三个非零有理数a，b，c，那么____________． 【答案】 或或或 【分析】根据的正负性分类讨论，利用绝对值的性质计算即可 【详解】解：对任意非零有理数，当时，，当时，，按中负数的个数分类讨论： 当负数个数为，即三个数都为正数，原式； 当负数个数为，即两个正数一个负数，原式； 当负数个数为，即一个正数两个负数，原式； 当负数个数为，即三个数都为负数，原式； 综上，原式的结果为或或或． 12．已知单项式与的和为单项式，则________． 【答案】 【分析】两个单项式的和为单项式，说明二者是同类项，根据同类项定义得到相同字母的指数相等，列方程求解和，再计算即可. 【详解】解：∵单项式与的和为单项式， ∴两个单项式是同类项，相同字母的指数相等， ∴，解得：， ∴. 13．若，且，则________． 【答案】 【分析】先根据绝对值和乘方的定义得到、的所有可能取值，再根据，判断为非负数，筛选出符合条件的、，最后计算的值． 【详解】解：， 或， ， 或， ， ， 当时，无论还是，都有，不符合条件，舍去； 当，时，满足，此时； 当，时，满足，此时； 综上，的值为． 57．若，则_________ 【答案】 【分析】先从已知等式整理得到的值，将所求代数式变形后，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 把代入上式得： 原式． 14．如图，数轴上的三个点分别表示有理数，化简_____． 【答案】 【分析】根据数轴所示三个点所在位置，可得，进而得到，根据绝对值的运算法则化简后即可得到答案. 【详解】解：由题中数轴所示，可得， ∴， ∴原式． 15．定义：将图①中的长方形纸片剪成号，号，号，号正方形和号长方形． (1)设号正方形的边长为，号正方形的边长为，求号，号正方形的边长分别是多少？（用，的代数式表示） (2)若图①中裁剪前长方形的周长为，试求号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为的长方形中，求阴影部分的周长． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）观察图形，易知号正方形的边长为号正方形的边长减去号正方形的边长，同理易知号正方形的边长为号正方形的边长减去号正方形的边长； （2）根据观察可知，图①中大长方形的长为号正方形的边长与号正方形的边长和，宽为号正方形的边长与号正方形的边长和，又知长方形的周长，即可求出号正方形的边长； （3）要求阴影部分的周长，可根据平移的性质得出阴影部分的周长即为长方形的周长，再利用大长方形的周长和大长方形的宽，进而可求出的长，从而解得阴影部分的周长． 【详解】（1）解：号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号正方形的边长为，号正方形的边长为． （2）解：设号正方形的边长为，号正方形的边长为， ∴号正方形的边长为，号正方形的边长为， 则图①中的长方形的长为，宽为， 长方形的周长为，即， ． 号正方形的边长为， 号正方形的边长为． （3）解：如图，由平移知识可得阴影部分的周长为长方形的周长， 由（2）可知，号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号长方形的宽为号正方形的边长减去号正方形的边长的差即：， ， 周长为的长方形的长为：，宽为， ， ， 则长方形的周长为：， 即阴影部分的周长为． 16．阅读材料即当时，；当时，，用这个结论解决下列问题： (1)已知数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则________； (2)已知a，b是有理数，当时， _________； (3)若，则_________． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）由数轴得，再结合题干所给材料计算即可得出结果； （2）由题意可得，同号，再分两种情况，结合题干所给材料计算即可得出结果； （3）由题意可得，，全为正数或其中两个为负数，一个为正数，再分两种情况，结合题干所给材料计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由数轴得，， ∴； （2）解：∵a，b是有理数，， ∴，同号， 当，时，， 当，时，； 综上所述，或 （3）解：∵， ∴，，全为正数或其中两个为负数，一个为正数， 当，，全为正数时，， 当，，其中两个为负数，一个为正数时，不妨设，，，则， 综上所述，或． 17．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．已知． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵， ∴ 19．先合并同类项，再求各多项式的值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)，6 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解： ， 当时， 原式． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 39 页 第 1 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题4.2 整式的加法和减法 （新教材人教版） 知识点一：同类项、合并同类项 2 知识点二：去括号、添括号 2 知识点三：整式的加减 2 【题型1 同类项的判断】 2 【题型2 已知同类项求指数中字母的值或代数式的值】 3 【题型3 合并同类项】 3 【题型4 去括号】 4 【题型5 添括号】 4 【题型6 整式的加减运算】 5 【题型7 整式加减运算中的化简求值】 5 【题型8 整式加减中的无关型问题】 6 【题型9 整式加减的应用】 6 【题型10 带有字母的绝对值化简问题】 7 【探究式学习】 8 【课后检测】 11 【复盘笔记】 16 知识点一：同类项、合并同类项 1. 同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 判断同类项的标准：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，缺一不可. 2. 合并同类项 定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变） 知识点二：去括号、添括号 添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号. 【补充】去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 知识点三：整式的加减 运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【补充说明】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项； 【题型1 同类项的判断】 【例1】下列各组中的两项，属于同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1-1】下列说法：①0是最小的有理数； ②一个有理数不是正数就是负数； ③绝对值是它本身的有0，1；④ 的系数是；⑤是整式；⑥ 与是同类项，其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-2】下列说法中，正确的是（    ）． A．是整式 B．的常数项是 C．系数是 D．与是同类项 【变式1-3】下列说法正确的是（   ） A．与是同类项 B．多项式是三次二项式 C．单项式没有系数 D．单项式的次数是5 【题型2 已知同类项求指数中字母的值或代数式的值】 【例2】若单项式与能合并成一项，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如果单项式与的和仍然是一个单项式，则的值为（  ） A．1 B． C．3 D． 【变式2-2】已知单项式与可以合并同类项，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式2-3】若与是同类项，则代数式的值(   ) A．6 B．5 C．4 D．3 【题型3 合并同类项】 【例3】下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】化简的结果为（   ） A．0 B． C．m D．以上答案都不对 【变式3-2】下列说法正确的是（    ） A．一定是负数． B．多项式是二次二项式 C．的系数是，次数是2 D．如果，那么 【变式3-3】下列运算中，正确的是（） A． B． C． D． 【题型4 去括号】 【例4】下列去括号中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】下列说法中正确的是（    ） A．单项式的系数是 B．单项式没有次数 C．多项式的项是， D． 【变式4-3】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型5 添括号】 【例5】下列添括号变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列各项中，添括号与去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】将多项式添括号后正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】当时，代数式的值为13，则当时，代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【题型6 整式的加减运算】 【例6】、、三个有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子：（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】下列各项中，添括号与去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】若有理数a，b在数轴上的位置如图，则等于（   ） A．a B． C． D．3a 【变式6-3】有理数在数轴上的位置如图所示，则的值为（　　） A． B． C． D． 【题型7 整式加减运算中的化简求值】 【例7】对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”记为．若是“相随数对”则（    ） A． B． C．2 D．3 【变式7-1】已知，，则式子的值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】在学习了整式的加减后，老师给出下面这道课堂练习题：选择的一个值，求的值.学生甲、乙、丙、丁对此题说法错误的是：（   ） A．甲说：“当时，原式．” B．乙说：“当时，原式．” C．丙说：“当时，原式．” D．丁说：“当取1或时，原式的值都是．” 【变式7-3】已知，，则多项式的值为(    ) A．1 B． C．2024 D． 【题型8 整式加减中的无关型问题】 【例8】若多项式与的差与的取值无关，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式8-1】已知代数式合并同类项后不含，项，则的值为(        ) A． B． C． D． 【变式8-2】已知为有理数，若代数式的值与的取值无关．则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】下列说法中，不正确的个数有（   ） ①若，则； ②A，B，C，三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ③若代数式的值与无关，则该代数式的值为2021； ④，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型9 整式加减的应用】 【例9】已知，，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．以上都有可能 【变式9-1】若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常这个两位数可表示为，于是．类似的方法也可以表示三位数或四位数．则一定是（    ） A．2的倍数 B．5的倍数 C．11的倍数 D．37的倍数 【变式9-2】如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（    ） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④若时，则阴影A的周长比阴影B的周长少8． A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④ 【变式9-3】将三张边长各不相同的正方形纸片①，②，③按如图方式放入矩形内（纸片①与②、纸片①与③均有部分重叠），且满足，未被三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．设正方形纸片①，②，③的边长分别为a，b，c（其中）．若要求出上下两个阴影部分周长的差，则只要知道下列哪个代数式的值（   ） A． B． C． D． 【题型10 带有字母的绝对值化简问题】 【例10】若，，且，那么的值是（    ）． A．或4 B．2或 C．2或4 D．或 【变式10-1】在数轴上，有理数a，b的位置如图，将a与b的对应点间的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为，，，，，且，．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式10-2】若，则的值是（   ） A． B．1 C．1或 D．或3 【变式10-3】已知数，在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①；② ；③；④ ． A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【探究式学习】 1．阅读与思考 如图是年月份的日历，乐乐在其中画出一个的方框（阴影框），框住九个数，计算其中如图所示位置的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为 ． 将的方框移动到图的其他位置，通过计算可以发现的值为 ． (2)数学思考：乐乐认为（1）中的猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则， ， ． 所以，的值为 ． (3)迁移应用：某天，乐乐不小心将日历表撕掉了一块，使得某个方框中的日期看不到了，但他记得在探究过程中方框中，请你类比（2）中探究思路帮乐乐求出的值． 2．【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． 如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ； (4)的最小值为 ． 3．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①若a，b，c都是正数，即，，时，则； ②若a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， ， 综上所述，的值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数a，b，c满足，求的值； (2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 【课后检测】 1．已知a，b，c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，有下列结论： ①；②；③；④；⑤其中错误的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图1是某圆形餐桌的桌面（阴影表示可折叠部分），把其折叠可得到如图2正方形桌面．已知圆形桌面的直径为，正方形桌面的边长为b．如图3、图4所示，现将两块边长都为的正方形桌布分别铺在圆形桌面和正方形桌面上，设桌布垂下部分的面积分别为，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图1是2026年5月份的月历，嘉琪同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则m，n的值不可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．计算：（    ） A． B． C． D． 5．计算的结果是(　　) A． B． C． D． 6．有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，若在每个大长方形内放入四个如图（3）所示的小长方形，深色区域是空下来的地方，若已知大长方形的长比宽多4厘米，图（1）比图（2）中深色的区域的周长大（   ） A．8 B．4 C．2 D．6 8．下列每组单项式中是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 9．已知数a，b，c在数轴上的位置如图，且，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．有依次排列的2个整式，对任意相邻的两个整式，都相加再除以2，所得的结果写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式列，这称为第1次操作；将第1次操作后的整式列按上述方式再做一次操作，可得到整式列，这称为第2次操作；…；按此方式操作下去，下列说法： ①无论经过多少次操作，每一个整式中字母x系数都为1； ②经过3次操作后，将整式列求和，和为； ③经过7次操作后，将得到128个整式． 其中正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 11．对于三个非零有理数a，b，c，那么____________． 12．已知单项式与的和为单项式，则________． 13．若，且，则________． 57．若，则_________ 14．如图，数轴上的三个点分别表示有理数，化简_____． 15．定义：将图①中的长方形纸片剪成号，号，号，号正方形和号长方形． (1)设号正方形的边长为，号正方形的边长为，求号，号正方形的边长分别是多少？（用，的代数式表示） (2)若图①中裁剪前长方形的周长为，试求号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为的长方形中，求阴影部分的周长． 16．阅读材料即当时，；当时，，用这个结论解决下列问题： (1)已知数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则________； (2)已知a，b是有理数，当时， _________； (3)若，则_________． 17．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．已知． (1)求； (2)求． 19．先合并同类项，再求各多项式的值： (1)，其中； (2)，其中． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 39 页 第 1 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 $