3.2.1 双曲线及其标准方程同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学双曲线同步练，采用“基础巩固+能力提升”分层设计，覆盖定义、标准方程及应用，通过梯度化题型培养数学抽象、逻辑推理与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础练习|定义辨析、标准方程求解、简单几何应用|以选择、填空为主，含教材改编题，强化概念理解与基本运算| |能力提升练|轨迹综合、实际情境建模、跨知识整合|含多选题与解答题，结合光学、折纸等情境，提升数学建模与逻辑推理能力|

3.2　双曲线 3.2.1　双曲线及其标准方程 基础练习 题型一　双曲线的定义及其应用 1.(2025四川宜宾期中)与圆x2+y2=4及圆x2+y2-8x-6y+24=0都外切的圆的圆心在(　　) A.一个椭圆上　　B.双曲线的一支上 C.一条直线上　　D.一个圆上 2.(2026广东广州期中)双曲线-=1(a>0)的左、右两个焦点分别是F1与F2,焦距为8,M是双曲线左支上的一点,且|MF1|=5,则|MF2|的值为(　　) A.1　　B.9　　C.1或9　　D.9或13 3.(多选题)(2026江苏常州奔牛高级中学等校期中)在平面直角坐标系中,点A(-1,0),B(1,0),M是平面内的一个动点,则下列说法中正确的是(　　) A.若|||-|||=1,则点M的轨迹是双曲线 B.若||+||=2,则点M的轨迹是椭圆 C.若||=||,则点M的轨迹是一条直线 D.若·=2,则点M的轨迹是圆 4.(2026山西天一大联考期中)已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上且位于第一象限,若直线PF2的斜率为,则△PF1F2的内切圆面积为(　　) A.4π　　B.6π　　 C.12π　　D.16π 5.(2026吉林长春第二实验中学期中)P是双曲线-=1的右支上一点,M,N分别是圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=4上的点,则|PM|-|PN|的最大值为(　　) A.6　　B.7　　 C.8　　D.9 6.(2025河南南阳段考)已知双曲线方程为-=1(m>0),焦距为8,左、右焦点分别为F1,F2,点A的坐标为(1,2),P为双曲线右支上一动点,则|PF1|+|PA|的最小值为　　　　.  题型二　双曲线的标准方程 7.(2026广东深圳期中)若方程-=1表示双曲线,则m的取值范围为(　　) A.-3<m<2　　B.m<-3或m>2　　 C.m<-3　　D.m>2 8.(2026江苏南通启东中学月考)焦点为(0,-2),(0,2)且经过点(,-2)的双曲线方程为(　　) A.-=1　　B.-=1　　 C.-=1　　D.-=1 9.(2025福建莆田期中)与椭圆C:+=1共焦点且过点P(2,)的双曲线的标准方程为(　　) A.-=1　　B.-=1　　 C.-=1　　D.-=1 10.(多选题)(2026山西阳泉期末)已知α∈(0,π),则方程x2+y2cos α=1表示的曲线可以是(　　) A.圆　　B.椭圆　　 C.双曲线　　D.两条直线 11.(2026河北衡水中学期中)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2外切,则动圆的圆心M的轨迹方程为(　　) A.x2-=1(x≥1)　　B.x2-=1 C.x2-=1(x≤-1)　　D.-x2=1 12.(2026山东潍坊期中)已知圆A:(x+2)2+y2=r2,P(x,y)在圆A上运动,点B(2,0),线段PB的垂直平分线l与直线AP相交于点C.当r=6时,点C的轨迹方程为　　　　　　;当r=2时,点C的轨迹方程为　　　　　　.  13.(教材习题改编)根据下列条件,求双曲线的标准方程: (1)a=4,经过点A; (2)与双曲线-=1有相同的焦点,且经过点(4,-2); (3)过点P(2,-),Q且焦点在坐标轴上. 题型三　双曲线标准方程的应用 14.(多选题)(2026河北邢台质检联盟期中)已知α∈∪,曲线C:+=1,则下列判断正确的是(　　) A.C可能为圆 B.C可能为焦点在y轴上的双曲线 C.若C为双曲线,则α∈ D.若C为焦点在x轴上的椭圆,则C的焦距的取值范围为(0,2) 15.(2026上海长宁期中)若将方程|-|=4化简为-=1的形式,则a2-b2=　　　　.  16.(2026河北保定期中)已知O为坐标原点,P为双曲线C:-=1(a>0,b>0)上一点,A1,A2为双曲线C与x轴的两个交点,A1在A2的左侧,且直线PA1与直线PA2的斜率之积为,则·=　　　　.  17.(2026安徽合肥一中期中)曲线C:-=1(m≠-3且m≠1). (1)若曲线C为双曲线,求m的取值范围; (2)若m=0,点P在曲线C上,且点P在第一象限内,F1(-2,0),F2(2,0),PF1⊥PF2,求点P的横坐标. 能力提升练 题型一　双曲线的方程及其应用 1.(多选题)(2026河南周口太康第一高级中学期中)若方程+=1所表示的曲线为C,则下面四个说法中正确的是(　　) A.若1<t<5,则C为椭圆 B.若t<1,则C为双曲线 C.若C为双曲线,则焦距为4 D.若C为焦点在y轴上的椭圆,则3<t<5 2.(多选题)(2026重庆大足期中)已知点P是双曲线E:-=1的左支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,△PF1F2的面积为20,则下列说法正确的是(　　) A.点P的横坐标为- B.△PF1F2的周长为 C.∠F1PF2大于 D.△PF1F2的内切圆半径为 3.(2026广东部分高中联考)已知F1,F2分别为双曲线x2-=1的左、右焦点,O为坐标原点,双曲线上一点P满足PF1⊥PF2,点Q满足=2,则tan∠POQ=　　　　.  题型二　双曲线的实际应用 4.(2026山西太原期中)历史上最早系统研究圆锥曲线的是古希腊学者梅纳库莫斯,大约100年后,阿波罗尼斯更详尽地研究了圆锥曲线,他的研究涉及圆锥曲线的光学性质,其中一条如下:如图1,从右焦点F2发出的光线m交双曲线的右支于点P,经双曲线反射后,反射光线n的反向延长线经过左焦点F1.已知图2中,双曲线C的中心为坐标原点O,左、右焦点分别为F1(-4,0),F2(4,0),直线l平分∠F1PF2,过点F2作l的垂线,垂足为H,连接OH,若|OH|=2,则当反射光线n经过点M(8,5)时,|PF2|+|PM|=　　　　.  　　 5.(2026河南商丘期中)如图,在纸上画一个半径为2的圆O,再取一定点P,使|OP|=4,将纸片折起,使圆周通过P,然后展开纸片,得到一条折痕l.这样继续下去,得到若干折痕,这些折痕围成的轮廓构成曲线C.若点M在曲线C上,且OM⊥PM,则△OPM的面积为　　　　.  6.(2025福建泉州质检)与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆,旁切圆的圆心被称为三角形的旁心,每个三角形都有三个旁心,如图1所示.已知F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,P是双曲线右支上一点,Q是△PF1F2的一个旁心,直线PQ与x轴交于点M,如图2所示,则=　　　　.  　　 答案 3.2　双曲线 3.2.1　双曲线及其标准方程 基础练习 1.B　圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径r1=2,记O1(0,0).圆x2+y2-8x-6y+24=0可化为(x-4)2+(y-3)2=1,其圆心为(4,3),半径r2=1,记O2(4,3). 设所求圆的圆心为P,半径为r, 由题意可知|PO1|=r+2,|PO2|=r+1, 则|PO1|-|PO2|=1<|O1O2|, 故由双曲线的定义可知,所求圆的圆心的轨迹为双曲线的一支. 2.B　依题意得c=4,所以a2+12=16,即a=2,因为M在双曲线的左支上,所以|MF2|-|MF1|=2a=4,所以|MF2|=|MF1|+4=9. 3.ACD　因为A(-1,0),B(1,0),所以|AB|=2. 对于A,因为|||-|||=1<|AB|,所以点M的轨迹是以A,B为焦点的双曲线,因此A正确; 对于B,因为||+||=2=|AB|,所以点M的轨迹为线段AB,因此B错误; 对于C,因为||=||,所以点M的轨迹是线段AB的垂直平分线,因此C正确; 对于D,设M(x,y),则·=(-1-x)·(1-x)+(-y)2=2,即x2+y2=3,所以点M的轨迹是以原点为圆心,为半径的圆,因此D正确. 4.C　由题意知F1(-5,0),F2(5,0),|PF1|-|PF2|=6. 如图,设△PF1F2的内切圆为圆C,且与线段PF1,PF2,F1F2分别相切于点D,E,G, 则|PD|=|PE|,|F1D|=|F1G|,|F2G|=|F2E|, 所以|F1G|-|F2G|=|F1D|-|F2E|=(|F1D|+|PD|)-(|F2E|+|PE|)=|PF1|-|PF2|=6,所以G(3,0), 从而可知内切圆的圆心C在直线x=3上. 因为直线PF2的斜率为,所以其倾斜角为60°, 又CF2平分∠PF2F1,所以直线CF2的倾斜角为120°, 所以其方程为y=-(x-5), 将x=3代入,得y=2,即C(3,2), 所以|CG|=2,即圆C的半径为2, 可得圆C的面积为12π. 5.D　由-=1,知a2=9,b2=16,则a=3,c2=25, 因此双曲线的两个焦点分别为(-5,0),(5,0),记F1(-5,0),F2(5,0), 易知F1(-5,0),F2(5,0)分别是圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=4的圆心,两圆的半径分别为1,2, 易得|PM|max=|PF1|+1,|PN|min=|PF2|-2, 则|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|+1)-(|PF2|-2)=|PF1|-|PF2|+3=2a+3=9. 6.答案　4+ 解析　因为焦距为8,所以c=4,故F2(4,0),c2=16,即2m=16,故m=8,所以双曲线的方程为-=1,所以a=2,由P为双曲线右支上一点及双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a=4,所以|PF1|=4+|PF2|,则|PF1|+|PA|=4+|PF2|+|PA|,如图所示, 当P,A,F2三点共线,且点P在点A与点F2之间时,|PF2|+|PA|取得最小值,为|AF2|==, 故=4+|AF2|=4+. 7.A　由方程-=1表示双曲线,得(2-m)(3+m)>0,解得-3<m<2, 所以m的取值范围为-3<m<2. 8.D　由题意知,所求双曲线的焦点在y轴上,设其标准方程为-=1(a>0,b>0), 因为c=2,c2=a2+b2,所以a2+b2=4①, 因为双曲线过点(,-2), 所以-=1,化简得-=1②, 联立①②,得 所以a2=2,b2=2,(也可利用定义求a,再结合c的值求b2) 所以双曲线方程为-=1. 9.C　因为椭圆C的焦点为(±,0),即(±3,0),所以c=3, 记F1(-3,0),F2(3,0), 所以||PF1|-|PF2||=|-|=2=2a, 所以a=,所以b==, 所以双曲线的标准方程为-=1. 10.BCD　设m=cos α,则m∈(-1,1),因此方程可写为x2+my2=1(-1<m<1). 对于A,要使方程x2+my2=1表示圆,则m=1,不合题意; 对于B,当0<m<1时,>1,方程为x2+=1,此时它表示焦点在y轴上的椭圆,符合题意; 对于C,当-1<m<0时,->1,方程为x2-=1,此时它表示焦点在x轴上的双曲线,符合题意; 对于D,当m=0时,方程为x2=1,即x=±1,此时它表示两条直线,符合题意. 11.C　设动圆M的半径为r,r>0, 由题知圆C1的圆心为C1(-3,0),半径r1=1;圆C2的圆心为C2(3,0),半径r2=3, 因为动圆M同时与圆C1及圆C2外切,所以|MC1|=r+1,|MC2|=r+3, 则|MC2|-|MC1|=2<|C1C2|=6, 根据双曲线的定义知,动圆的圆心M的轨迹为双曲线的左支,且2a=1,2c=6,所以a=1,c=3,所以b2=c2-a2=8,则所求方程为x2-=1(x≤-1). 12.答案　+=1;x2-=1 解析　当r=6时,如图1所示: |CA|+|CB|=|CA|+|CP|=|AP|=6>|AB|=4, 所以点C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,且2a1=6,2c1=4, 则a1=3,c1=2,b1==, 所以其标准方程为+=1. 当r=2时,如图2所示: ||CA|-|CB||=||CA|-|CP||=|AP|=2<|AB|=4, 所以点C的轨迹是以A,B为焦点的双曲线,且2a2=2,2c2=4, 则a2=1,c2=2,b2==, 所以其标准方程为x2-=1. 13.解析　(1)当焦点在x轴上时,设所求标准方程为-=1(b1>0),把点A的坐标代入,解得=-×<0,不符合题意;当焦点在y轴上时,设所求标准方程为-=1(b2>0),把点A的坐标代入,解得=9. 故所求双曲线的标准方程为-=1. (2)解法一:∵所求双曲线与已知双曲线的焦点相同,∴可设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),半焦距为c(c>0), ∴c2=14+6=20,即a2+b2=20.① ∵所求双曲线经过点(4,-2), ∴-=1.② 由①②得a2=12,b2=8,∴所求双曲线的标准方程为-=1. 解法二:设所求双曲线的方程为-=1(-6<λ<14). ∵所求双曲线过点(4,-2), ∴-=1, 解得λ=4或λ=-64(舍去). ∴所求双曲线的标准方程为-=1. (3)设所求双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB<0. ∵点P,Q在双曲线上, ∴解得 ∴所求双曲线的标准方程为-=1. 14.ACD　当α=时,sin α=cos α=,曲线C的方程为x2+y2=,即曲线C为圆,故A正确. 由α∈∪,得sin α>0,所以C不可能为焦点在y轴上的双曲线,故B错误. 若C为双曲线,因为sin α>0,所以须使cos α<0,故α∈,故C正确. 若C为焦点在x轴上的椭圆,则C的焦距为2=2,且sin α>cos α>0,可得tan α>1,得α∈,所以α-∈,所以sin∈,所以2∈(0,2),故D正确. 15.答案　-8 解析　由|-|=4的等号两边同时平方, 可得(x-4)2+y2+(x+4)2+y2-2=16, 整理得x2+y2+8 =, 上式等号两边再同时平方,可得=-64x2, 即16(x2+y2+12)=64x2,即-=1. 故a2=4,b2=12,则a2-b2=-8. 16.答案　30 解析　由题意知,A1(-a,0),A2(a,0), 又P, 故·=·=,解得a2=9,所以A1(-3,0),A2(3,0). =,=(6,0),所以·=30. 17.解析　(1) 若曲线C:-=1为双曲线,则(3+m)·(1-m)>0,解得-3<m<1,因此m的取值范围是(-3,1). (2)m=0时,曲线C:-y2=1, 设P(s,t),s>0,t>0,则-t2=1, 因为PF1⊥PF2,所以·=(-2-s,-t)·(2-s,-t)=s2-4+t2=s2-4+-1=0, 解得s=(舍负),故点P的横坐标为. 能力提升练 1.BD　对于A,当t=3时,方程为x2+y2=2,它表示圆,所以A不正确; 对于B,当t<1时,5-t>0,t-1<0,此时方程表示焦点在x轴上的双曲线,所以B正确; 对于C,当t=0时,方程为-y2=1,它表示双曲线,且其焦距为2×=2,所以C不正确; 对于D,若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则满足解得3<t<5,所以D正确. 2.ABD　由E:-=1可得a=4,b=3,c=5,则双曲线的离心率e=. 对于A,△PF1F2的面积为×|F1F2|×|yP|=5|yP|=20, 解得|yP|=4,代入-=1,得|xP|=,又P在左支上,所以xP<0,则xP=-,故A正确; 对于B,由A知P,又F1(-5,0),故|PF1|==,则|PF2|=|PF1|+2a=+8=, 所以△PF1F2的周长为|F1F2|+|PF1|+|PF2|=10+|PF1|+|PF2|=10++=,故B正确; 对于C,在△PF1F2中,由余弦定理的推论可得,cos∠F1PF2===>, 因为0<∠F1PF2<π,y=cos x在(0,π)上单调递减,所以0<∠F1PF2<,故C错误; 对于D,设△PF1F2的内切圆半径为r, 则=×(|F1F2|+|PF1|+|PF2|)r=20,解得r=,故D正确. 3.答案　-或8 解析　由x2-=1知a=1,b=2,c=. 当点P在双曲线的左支上时, 设|PF1|=t,t>0,则|PF2|=t+2, 在Rt△F1PF2中,由勾股定理知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即t2+(t+2)2=(2)2, 由t>0解得t=2,即|PF1|=2,|PF2|=4,因为=2,所以|F2Q|=|PF2|=4. 取PF2的中点H,由三角形中位线的性质可知|OH|=|PF1|=1,故|OQ|==, 而Rt△F1PF2中,|PO|=|F1F2|=,故在△POQ中,由余弦定理的推论得cos∠POQ==-, 易知∠POQ∈(0,π),则sin∠POQ==, 故tan∠POQ==-. 当点P在双曲线的右支上时, 同理可得|PF2|=|QF2|=2,|PF1|=|PQ|=4,取PF2的中点M, 由三角形中位线的性质可知|OM|=2,故|OQ|==, 又|PO|=|F1F2|=,故在△POQ中,由余弦定理的推论知cos∠POQ==, 易知∠POQ∈(0,π),则sin∠POQ==, 故tan∠POQ==8. 综上,tan∠POQ=-或tan∠POQ=8. 4.答案　9 解析　延长F2H,交PF1于点N, 因为直线l平分∠F1PF2,所以|PF2|=|PN|, 所以|PF1|-|PF2|=|PF1|-|PN|=|NF1|=2a, 所以|PF2|+|PM|=|PN|+|PM|=|MF1|-|NF1|=-2a=13-2a, 易知H为F2N的中点,又因为O为F1F2的中点,所以由三角形中位线的性质可得,|NF1|=2|OH|=4,所以2a=4,即a=2,所以|PF2|+|PM|=13-2a=9. 5.答案　3 解析　如图,设点P关于直线l的对称点为点F,连接FO并延长,交直线l于点M,连接MP. 由题意可知,点F在圆O上,直线l为线段PF的垂直平分线,则|MP|=|MF|, 可得|MP|-|MO|=|MF|-|MO|=|OF|=2<4=|OP|,依据定义可知,点M的轨迹是以O,P为焦点的双曲线的靠近点O的一支, 若OM⊥PM,则|MO|2+|MP|2=|OP|2,可得(|MP|-|MO|)2+2|MP|·|MO|=|OP|2,即4+2|MP|·|MO|=16, 可得|MP|·|MO|=6, 所以△OPM的面积为|MP|·|MO|=3. 6.答案　 解析　连接F1Q,F2Q.由三角形旁切圆的定义易知F1Q,F2Q分别平分∠PF1M,∠PF2M, 由角平分线的性质可得==, 结合比例的性质及双曲线的定义,得===. 7 学科网（北京）股份有限公司 $