3.1.2 第2课时 椭圆几何性质的应用 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦椭圆几何性质应用，通过基础概念辨析、核心运算训练到综合问题解决的三层设计，实现从单一知识点到复杂情境的递进，适配新授课巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|通径、直线与椭圆相切/弦长|选择1-3直接考查定义与基本运算，夯实概念理解| |提升层|离心率计算、几何关系推理|选择4-5及填空7-8结合点线距离、垂直关系，培养数学思维| |综合层|面积计算、方程与直线综合应用|填空9及解答10整合多性质，如弦长与短轴关系，体现应用意识|

3.1.2 椭圆的简单几何性质 第2课时 椭圆几何性质的应用 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、选择题 1.椭圆＋＝1的通径长为（　 ） A.4 B.3 C. D.1 2.若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是（　 ） A. B.－ C.± D.± 3.直线x－2y＋1＝0被椭圆x2＋＝1截得的弦长｜AB｜等于（　 ） A. B. C. D. 4.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为｜F1F2｜，则椭圆C的离心率e＝（　 ） A. B. C. D. 5．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为（　 ） A． B． C． D． 二、填空题 6.已知椭圆C的方程为＋＝1（a＞b＞0），焦距为2c，直线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点，若｜AB｜＝2c，则椭圆C的离心率为 . 7.如图，将桌面上装有液体的圆柱形杯子倾斜α角（母线与竖直方向所成角）后，液面呈椭圆形，当α＝30°时，该椭圆的离心率为. 8.已知F为椭圆C：＋y2＝1的右焦点，直线y＝kx＋1与椭圆C交于A，B两点.若AF⊥BF，则实数k的值为　 　. 9.过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为. 三、解答题 10.已知椭圆的两焦点分别为F1（－，0），F2（，0），离心率e＝. （1）求此椭圆的方程； （2）设直线l：y＝x＋m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且｜PQ｜等于椭圆的短轴长，求m的值. 解析版 一、选择题 1.椭圆＋＝1的通径长为（　B　） A.4 B.3 C. D.1 解析：由题得，a＝2，b＝，c＝1， x＝1与＋＝1联立， 解得y＝±， 所以通径长为－（－）＝3. 2.若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是（　C　） A. B.－ C.± D.± 解析：联立消去y可得（2＋3k2）x2＋12kx＋6＝0，由Δ＝144k2－24（2＋3k2）＝0，得k＝±. 3.直线x－2y＋1＝0被椭圆x2＋＝1截得的弦长｜AB｜等于（　A　） A. B. C. D. 解析：由得两个交点坐标分别为（－1，0），（，）， 则｜AB｜＝＝. 4.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为｜F1F2｜，则椭圆C的离心率e＝（　A　） A. B. C. D. 解析：设椭圆C的焦距为2c（c＜a），由题易得直线AB的方程为ay＋bx－ab＝0， 所以＝×2c＝c. 因为b2＝a2－c2，所以3a4－7a2c2＋2c4＝0，即（a2－2c2）（3a2－c2）＝0，解得a2＝2c2或3a2＝c2（舍）， 所以e＝. 5．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为（　A　） A． B． C． D． 解析：以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2， ∵圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切， ∴＝a， 即2b＝，∴a2＝3b2. ∵a2＝b2＋c2，∴c2＝2b2， ∴＝，∴e＝＝. 二、填空题 6.已知椭圆C的方程为＋＝1（a＞b＞0），焦距为2c，直线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点，若｜AB｜＝2c，则椭圆C的离心率为　　. 解析：设直线与椭圆在第一象限内的交点为A（x，y），x＞0，则y＝x.由｜AB｜＝2c，可知｜OB｜＝｜OA｜＝＝c，即＝c，解得x＝c，所以A（c，c）.又因为点A在椭圆上，所以＋＝1.整理得8e4－18e2＋9＝0，即（4e2－3）（2e2－3）＝0，因为0＜e＜1，所以e＝. 7.如图，将桌面上装有液体的圆柱形杯子倾斜α角（母线与竖直方向所成角）后，液面呈椭圆形，当α＝30°时，该椭圆的离心率为　. 解析：由图知椭圆的短轴长为圆柱底面圆的直径，椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为30°的直角三角形，设圆柱形杯子的底面半径为b，画示意图如图所示： 则OC是椭圆的长半轴长，OB是椭圆的短半轴长，则BC＝＝c， 又∠COB＝α＝30°，∴e＝＝sin α＝. 8.已知F为椭圆C：＋y2＝1的右焦点，直线y＝kx＋1与椭圆C交于A，B两点.若AF⊥BF，则实数k的值为　－　. 解析：联立消去y并整理得（2k2＋1）x2＋4kx＝0，解得x＝0或x＝，不妨取xA＝0，则xB＝，则yA＝1，yB＝k·＋1＝，所以A（0，1），B（，）， 又F（1，0），所以kAF＝－1，又因为AF⊥BF，所以kBF＝1，即＝1，即＝－1，所以1－2k2＝－4k－（2k2＋1），解得k＝－. 9.过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为　. 解析：由题意知，右焦点的坐标为（1，0）， 故所作直线的方程为y＝2（x－1），y＝2（x－1）与＋＝1联立，消去y，整理得3x2－5x＝0. 设A（x1，y1），B（x2，y2），x1＞x2，则x1＝，x2＝0， 所以｜AB｜＝·｜x1－x2｜＝×＝.设原点到直线的距离为d， 则d＝＝. 所以S△OAB＝｜AB｜·d＝××＝. 三、解答题 10.已知椭圆的两焦点分别为F1（－，0），F2（，0），离心率e＝. （1）求此椭圆的方程； （2）设直线l：y＝x＋m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且｜PQ｜等于椭圆的短轴长，求m的值. 解：（1）设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0）， 则c＝，＝. ∴a＝2，b＝1，所求椭圆方程为＋y2＝1. （2）由消去y，整理得5x2＋8mx＋4（m2－1）＝0， 则Δ＞0，得m2＜5. 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1＋x2＝－，x1x2＝，y1－y2＝x1－x2， ｜PQ｜＝＝2， 解得m＝±，满足m2＜5， ∴m＝±. 页 学科网（北京）股份有限公司 $