四川省泸州市泸县第一中学2025-2026学年高三上学期数学周考试题（六）

**基本信息** 泸县五中高三数学周考卷聚焦函数、数列、概率统计等核心知识，通过野生动物调查、AI答题等真实情境设计，体现数学眼光、思维与语言的素养导向，适配高三阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、充分条件判断等基础概念|注重数学抽象与逻辑推理| |多选题|3/15|函数图像分析、统计量计算等综合应用|考查批判性思维与知识整合| |填空题|3/15|二项式系数、函数对称性等细节掌握|强化数学运算与空间观念| |解答题|5/80|数列证明、统计估计、概率应用等|结合野生动物调查、AI答题情境，培养数据观念与应用意识|

泸县五中高2023级2025年秋期数学周考（10.24） 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 考试时间：120分钟， 试卷满分：150分，答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 一、单选题 1．已知集合，，则（  ） A． B． C． D． 2．已知，则（  ） A． B． C． D．1 3．从7名男运动员和3名女运动员中选出2人组队参加乒乓球混合双打比赛，则不同的选法共有（  ） A．12种 B．18种 C．20种 D．21种 4．设甲：四边形ABCD为矩形；乙：四边形ABCD为平行四边形，则（  ） A．甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件 C．甲是乙的充分必要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5．已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．若，是非零向量且满足，，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 8．已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ） A． 4个 B．无数个 C．1个 D．3个 二、多选题 9．下列说法中，正确的是（  ） A．一组数据9， 8， 13，10，12， 14的第70百分位数为13 B．若样本数据的方差为2，那么数据的方差为6 C．已知随机事件A和B互斥且，则 D．已知随机变量X服从正态分布．若，则 10．函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点， 为图象与轴的交点，点，且为正三角形，则下列说法正确的是（   ） A． B．当，函数的值域为 C．将函数的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象 D．若，且，则 11．设函数，则（  ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 三、填空题 12．在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 ． 13．函数的图像关于直线对称，则 ． 14．空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为 ． 四、解答题 15．已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)求的极小值． 16．已知函数． (1)求函数的最小正周期及最值； (2)令，判断函数的奇偶性，并说明理由． 17．记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 18．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，，. （1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）； （2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）； （3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由. 附：相关系数r=，≈1.414. 19．某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件“学生报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，． (1)根据已知条件，完成下列2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ 性别活动 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 报名参加答题活动 合计 100 (2)网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定：每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第m道题答完，本轮答题结束．已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为． ①当时，求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分．记甲答题累计得分为n的概率为，求． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ( 4 ) ( 5 ) 学科网（北京）股份有限公司 泸县五中高2023级高三上数学周练 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A D A B B C D AC ABD AD 12．10 13． 14．9 15．【详解】（1）由，解得，所以x的取值范围为. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，在上单调递增；当时，在上单调递减； 当时，在单调递减；当时，在上单调递增， 所以当时，取得极小值. 16．【详解】（1）， 故，当，即时，函数有最大值为； 当，即时，函数有最小值为. （2）， ，函数为偶函数. 17．【详解】（1）因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． （2）[方法一]：二次函数的性质 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，所以， 所以，当或时，． [方法二]：【最优解】邻项变号法 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，即有. 则当或时，． 18.【详解】（1）样区野生动物平均数为， 地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为 （2）样本(i=1，2，…，20)的相关系数为 （3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性， 由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异很大， 采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性， 从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计. 19．【详解】（1）解：由题意知：， 可得报名参加答题活动人数人，参加答题活动的男生人数为人， 所以报名参加答题活动的女生人数为人， 因为，可得样本中男生人数为人，女生人数为人， 所以完成的列联表，如下表所示： 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 20 35 55 报名参加答题活动 30 15 45 合计 50 50 100 可得， 所以有的把握认为该校学生报名参加答题活动与性别有关联. （2）解：①设甲完成一轮答题，答题数量为随机变量， 则随机变量的所有可能取值为， 所以, 则， 当时，， 所以当时，， ②每轮比赛甲得1分的概率为，得2分的概率为， 所以，当时，， 因为且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 则， 又由且， 所以数列是各项均为1的常数列，所以， 联立方程组，解得. $