四川省泸县第一中学2025-2026学年高三上学期二诊模拟考试数学试题

**基本信息** 泸县一中高2023级二诊模拟数学卷覆盖集合、复数、统计、立体几何等核心知识，通过统计图表分析、立体几何翻折、病毒检测概率等情境，梯度考查数学眼光观察、思维推理与语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、复数象限、统计图表分析（第3题）|基础巩固，结合数据观察| |多选题|3/18|三角函数图像（第9题）、圆与直线位置（第10题）|能力提升，考查逻辑推理| |填空题|3/15|等差数列求和（12题）、三棱锥外接球表面积（13题）|空间观念与运算能力| |解答题|5/77|病毒检测概率计算（17题）、导数证明（19题）|创新应用，关联现实情境与逻辑论证|

泸县一中高2023级2025年秋期二诊模拟考试（练习题） 数学试题 一．单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，则（　　） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知在一次射击预选赛中，甲、乙两人各射击次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列四个选项中判断不正确的是 A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数 C．甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 4．已知，，，若，，三个向量共面，则实数的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的不同选法共有（ ）种 A． B． C．30 D．20 6．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，， 则 C．若，， 则 D．若，， 则 7．设，若，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 8．已知数列前项和为，且满足，（为非零常数），则下列结论中: ①数列必为等比数列； ②时，； ③； ④存在，对任意的正整数，都有 正确的个数有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二．多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分） 9．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在区间上的取值范围为 D．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 10．在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（ ） A．圆上有且仅有两个点到直线的距离为 B．圆C与曲线：恰有三条公切线，则 C．过点作圆的一条切线，切点为Q，可以为 D．过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点 11．已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则下列说法中正确的有（   ） A．函数关于直线对称 B． C．时， D．若关于x的方程至少有2个不同的实根，则实数a的取值范围是 三．填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．等差数列的前项和为，若，是方程的两根， ． 13．如图，在三棱锥中，平面为外接圆的圆心，为三棱锥外接球的球心，，则三棱锥的外接球的表面积为 ． 14．记抛物线的焦点为F，为抛物线上一点，，直线与拋物线另一交点为B，则 ．  四、解答题（本题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸）  15. 已知在中，，. (1)求，； (2)若，求的面积. 16. 如图①所示，矩形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，得到图②的四棱锥为中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的大小； 17．某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品分为两类不同剂型和．现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂和合格的概率分别为和，第二次检测时两类试剂和合格的概率分别为和．已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品才算合格． (1)设经过两次检测后两类试剂和合格的种类数为，求的分布列和数学期望； (2)若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为，若当时，最大，求的值． 18．已知圆，点是圆上一动点，点是平面直角坐标系中一点，动点满足. (1)若，点的坐标为，求动点的轨迹方程； (2)若，点为圆上的动点.试问：是否存在定点恒在动点的轨迹上？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若，，记为动点在时轨迹的面积，求满足对任意恒成立的最小正整数. 19.已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围； (3)证明：． 试卷第1页，共3页 参考答案 一．单选题 BADBC DBC 二．多选题 ABD BD AC 3． 填空题 12. 52 13. 72π 14.2 四．解答题 15.（1）由，得，即， 因为，所以，所以，所以， 由，且，得， 则，即， 因为，则，所以； （2）由（1）可得，记的内角，，的对边分别为，，， 由， 因为，由正弦定理，得， 所以. 16.（1）取中点，连接，由N为PB中点，得， 依题意，，则， 于是四边形是平行四边形，，而平面，平面， 所以平面. （2）取中点，连接，由，得， 而平面平面，平面平面平面， 则平面， 过作，则平面，又平面， 于是， 在矩形中，，，则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线BC与平面所成的角为，则， 所以直线BC与平面所成角的大小为. 17. (1)分布列见解析，1 (2)． 【分析】（1）先得到剂型与合格的概率，求出X的所有可能取值及相应的概率，得到分布列，求出期望值； （2）求出，令，得到，利用基本不等式求出最值，得到答案. 【详解】（1）剂型合格的概率为：； 剂型合格的概率为：． 由题意知X的所有可能取值为0，1，2． 则， ， ， 则X的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望． （2）检测3人确定“感染高危户”的概率为， 检测4人确定“感染高危户”的概率为， 则． 令，因为，所以， 原函数可化为． 因为， 当且仅当，即时，等号成立． 此时，所以． 18.(1) (2)存在， (3)2 【分析】（1）设，再根据，得到代入圆即可求轨迹方程； （2）设，，则，再代入得到的轨迹方程即可证明； （3）设，，则，进而得到的轨迹方程且，再根据进行放缩求和即可． 【详解】（1），设，则 代入圆得：，即 即动点的轨迹方程为：； （2），设，，则 ，分别在圆和圆上，则 整理可得的轨迹方程为. 显然恒过定点，故； （3）时，，设，，则 代入圆得： 即的轨迹方程为：，则 ，则，故 时，，故 所以，因此最小正整数的值为2． 19.（1）当时，，，即切点坐标为， 又可得，即切线斜率为， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）当时，若单调递减，则满足条件， 因此需在恒成立，即在恒成立， 所以 设， 则当时，恒成立（当且仅当时取等号）， 所以在单调递增，所以， 所以，得； 当时，，所以存在，， 则当时，，单调递增，此时，不满足条件， 综上可知，实数的取值范围为. （3）由（2）可知，当时，在单调递减， 且时，，即， 令，则，所以， 即， 所以 . 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $