四川省泸州市泸县第一中学2025-2026学年高三上学期数学周考试题（九）

**基本信息** 泸县一中高2023级物理类数学周测试卷，以立体几何（正方体线面角）、概率应用（卡牌排列）、导数证明为核心，通过基础巩固（圆锥母线长计算）、能力提升（正四棱台外接球体积）、创新应用（多问概率题）的梯度设计，培养空间观念、数据意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数象限判断、等差数列求和、面面平行性质|结合正方体模型考查线面角，体现空间观念| |填空题|3题15分|三角恒等变换、向量线性运算、函数零点问题|以三角形中线为背景，考查向量运算的数学语言表达| |解答题|5题77分|立体几何证明、数列求通项与求和、概率应用、导数证明|设计卡牌排列多问（互不相邻、左侧无数字牌），强化数据观念与逻辑推理|

泸县一中高2023级2025年秋期数学大周练（9） （物理类） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分. 1．设复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知命题，命题，则是成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知数列为等差数列，的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．在正方体中，棱的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 6．已知一个底面半径为1的圆锥侧面展开图形的面积是底面面积的4倍，则该圆锥的母线长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 7．若命题“，不等式成立”是假命题，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若m⊥α，n⊥α，则m∥n B．若m∥n，m∥α，则n∥α C．若m⊂α，n⊂β，则m，n是异面直线 D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n是异面直线 10．已知函数的最小正周期为，则（    ） A．的最大值为2 B．在上单调递增 C．的图象关于点中心对称 D．的图象可由的图象向右平移个单位得到 11．如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列说法中正确的是（    ） A．水的部分始终呈棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状 B．水面四边形的面积不改变 C．棱始终与平行 D．当时，是定值 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，，则 . 13．在中，为线段的中点，点在线段上端点不重合，若，则的最大值为 . 14．已知函数若方程恰有4个不等实根，则实数的取值范围是 . 四、解答题：共77分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 16．在中，内角所对的边分别是且. (1)求； (2)已知的角平分线交于点.若，.求面积及的长. 17．已知函数， 且 (1)当时，证明：； (2)若有两个不相等的零点，且，证明：； 18．13张大小质地完全相同的卡牌中有八张数字牌，正面标有1~8，此外还有五张字母牌，正面标有A~E，将这十三张牌随机排成一行． (1)求五张字母牌互不相邻的概率； (2)求在标有8的卡牌左侧没有数字牌的概率； (3)对于给定的整数，记“在标有k的数字牌左侧，没有标号比k小的数字牌”为事件，求发生的概率．（结果用含k的式子表示） 19．已知数列的前项和为，，且 . (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，数列的前项的积为，求证：. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B D C A A B AD ACD 题号 11 答案 ACD 1．D 【详解】由题意得， 则复数在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限； 故选：D. 2．B 【详解】或， 因为成立，但不成立， 所以是成立的必要不充分条件. 故选：B 3．B 【详解】设等差数列的公差为, 则，即， 又，即， 则由解得， 则. 故选：B. 4．D 【详解】， 所以， 所以， 解得． 故选：D 5．C 【详解】连接，在正方体中，平面， 棱的中点为，则平面， 而平面，故， 则即为直线与平面所成角， 设正方体棱长为2，则， 则， 故， 故选：C 6．A 【详解】已知圆锥底面半径 ，底面面积 ， 侧面展开图为扇形，其面积是底面面积的 4 倍， 因此侧面积 ， 圆锥的侧面积公式为 ，其中 为母线长， 联立得：， 解得：， 因此，该圆锥的母线长为 4. 故选：A 7．A 【详解】原命题为假命题，则否定为真命题，即，恒成立， ，令，则，， 所以， 根据对勾函数的性质知在上单调递增，所以当时，， ∴. 故选：A. 8．B 【详解】由题可知，，设棱台高为， 则，解得，    根据正四棱台的特性，正四棱台的外接球半径即为四边形外接圆半径， 又，，所以， 则，所以为直角三角形， 故为四边形外接圆直径， 正四棱台的外接球半径，体积. 故选：B. 9．AD 【详解】由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，得： 对于A，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故A正确； 对于B，若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故B错误； 对于C，若m⊂α，n⊂β，则m，n相交、平行或异面，故C错误； 对于D，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n是异面直线，故D正确. 故选：AD. 10．ACD 【详解】易知，其最小正周期为， 所以，即，显然，故A正确； 令， 显然区间不是区间的子区间，故B错误； 令，则是的一个对称中心，故C正确； 将的图象向右平移个单位得到 ， 故D正确. 故选：ACD 11．ACD 【详解】将BC固定时，在倾斜的过程中，随着倾斜度的不同，平面始终与地面平行， 根据面面平行性质定理，始终有，且平面平面DHGC， 故水的形状成棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状，故A正确； 水面四边形是矩形，随着倾斜度的不同，EF是变化的，而EH不变，所以面积是改变的，故B错误； 由，故C正确； 由于水的体积是定值，即四棱柱体积不变， 由高不变，所以底面梯形面积不变，即为定值， 即当时，是定值，故D正确. 故选：ACD. 12．2 【详解】因为， 所以. 故答案为：2 13． 【详解】因为，所以. 因为点在线段上（端点不重合），所以三点共线， 所以，且，​. 由均值不等式，可得， 化简得，即. 当且仅当时等号成立，结合，可得，时等号成立. 故答案为：. 14． 【详解】当时，， 当时，方程可化为；当时，方程可化为， 令， 当时，， 可知，故在上单调递减； 当时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 又，所以可画出的图象， 如图所示，方程有4个不等实根， 等价于的图象与直线有4个交点， 由图可知，.    15．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）由于分别为棱的中点，故， 又平面，且平面， 所以平面； （2）由于平面，且平面，故， 又，且为棱的中点，故， 因为，平面， 故平面， 16．(1) (2)， 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为， 所以， 因为，可得， 所以，可得， 又因为，所以. （2）由（1）知，又， 利用余弦定理，可得， 因为，所以， 所以的面积为， 又因为的角平分线交于点， 所以， 可得， 整理得. 17．（1）①证明见解析②证明见解析；（2）当时，在上单调递增，在单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【详解】（1）证明：，. 当时，，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故. （2）由题意得，，， 两式相减得， ，，. 令，其中，则， 令，则， 所以在上是增函数， 故，即，即. ，， 即， . 18．(1) (2) (3) 【详解】（1）记五张字母牌互不相邻为事件为， 则； （2）记在标有8的卡牌左侧没有数字牌为事件， 由于标的牌都在标有的牌的右侧，有种排法， 所以； （3）标号比小的字牌有张，比大的字牌有张， . 19．(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为数列满足，所以时，得， 两式相减，得，即， 因为，，则所以， 所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以； （2）由（1）得，，， 两式相减得 解得； （3）由（1）得, 则， 所以 要证，只需证，即证， 令，则，所以在上单调递减， 所以，所以， 所以， 所以得证． 学科网（北京）股份有限公司 $