四川省泸县第一中学2025-2026学年高三上学期二诊模拟考试数学试题（一）

**基本信息** 泸县一中高2023级二诊模拟数学卷，以川渝高温社会热点和数学主干知识为载体，分层考查抽象能力、逻辑推理与数学建模，适配高三二模备考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、复数、数列、双曲线离心率|基础知识点全面，注重概念辨析| |多项选择题|3/18|概率独立性、圆的性质、函数切线|选项分层设计，考查逻辑推理| |填空题|3/15|二项式定理、定积分、抛物线焦点弦|短小精悍，覆盖数学工具性知识| |解答题|5/77|解三角形、立体几何、函数导数、统计概率、椭圆综合|18题结合高温热点考查回归与概率，19题椭圆综合题考查逻辑推理，呼应高考命题趋势|

泸县一中高2023级2025年秋期二诊模拟考试（一） 数学试题 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分. 1．已知集合，，是实数集，则（    ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（    ） A． B．1 C． D．2 3．在等差数列中，，则（    ） A．5 B．6 C．10 D．15 4．设双曲线C：的左､右焦点分别为，，以为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段的中点，则双曲线C的离心率是（    ） A． B． C． D． 5．已知则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D.1 6．登山运动员 人， 平均分为两组， 其中熟悉道路的有4人， 每组都需要 人， 那么不同的分配方法种数是（    ） A． B． C． D． 7．已知点为的重心，若则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 3 8．若函数的图象关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9．已知事件A，B发生的概率分别为，，则（     ） A．若，则事件与B相互独立 B．若A与B相互独立，则 C．若A与B互斥，则 D．若B发生时A一定发生，则 10．若一个以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是（    ） A．直线与圆相切 B．圆关于直线对称 C．对，直线与圆都相交 D．为圆上任意一点，则的最大值为9 11．设，函数，则下列说法正确的是（     ） A．存在，使得 B．函数在处的切线方程为 C．函数图象上的点与原点距离的最小值为 D．函数图象与函数的图象有且仅有一条公共的切线 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．二项式的展开式中，常数项为 ．（结果用数值表示） 13． . 14．已知抛物线的焦点为，斜率为1的直线与抛物线交于两点，则的值为 . 试卷第1页，共3页 四、解答题：共77分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题13分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C大小； (2)若点在边上，且满足，求的值． 16．（本小题15分）如图，在三棱锥中，平面，，，点M，N分别是线段SB，AC上的动点，且满足. (1)证明：平面； (2)当线段MN的长度最小时，求直线SC与平面AMN所成角的正弦值. 17．（本小题15分）函数 （1） 当时，求函数极值和极值点； （2） 若在上恒成立，求实数的取值范围. 18．（本小题17分）今年立秋以后，川渝地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论.根据专家推测，主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，川渝地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.川东北某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况. 星期t 1 2 3 4 5 6 销售量y（张） 218 224 230 232 236 90 经计算可得：，，. (1)因为优惠券销售火爆，App平台在周六时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求y关于t的经验回归方程； (2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求； (3)请依据下列定义，解决下列问题： 定义：如果对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，（a是一个确定的实数），则称数列收敛于a. 运用：记（2）中所得概率的值构成数列.求的最值，并证明数列收敛. 参考公式：，. 19.（本小题17分） 已知椭圆C:的左、右焦点分别为F1（-2，0），F2（2，0），且椭圆C过点，椭圆的下顶点为E。 （1）求椭圆C的方程； （2）过右焦点F2的直线与椭圆C交于A，B两点（点A在点B的上方），与y轴交于点P（点P在点E的下方），Q为点P关于原点的对称点，QB交x轴于点R，设∆PBQ，∆BF2Q，∆AF2Q的面积分别为S1，S2，S3。 ①若直线的斜率为2，求的值； ②是否存在直线，使Q，R，F2，A四点共圆？若存在，试判断直线的条数；若不存在，说明理由。 泸县一中高2023级2025年秋期二诊模拟考试（一） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D A B A C A AB BD 题号 11 答案 ABD 1．B 【详解】因为或， 所以， 又， 所以. 故选：B. 2．A 【详解】由，得， 所以在复平面内z对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 3．D 【详解】试题分析：,又因为是与的等比中项,所以，即，解之得，所以，故选D. 4．A 【详解】由题意知：渐近线方程为，由焦点，， 以为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切， 则圆的半径等于圆心到切线的距离，即， 又该圆过线段的中点，故， 所以离心率为. 故答案为：. 5．B 【详解】先将4个熟悉道路的人平均分成两组有种. 再将余下的6人平均分成两组有种. 然后这四个组自由搭配还有种， 故最终分配方法有种 故选：B. 6．A 【详解】：的圆心为，半径为， 到直线的距离为， ，，，， 圆的面积为. 故选：A. 7．C 【详解】因为（其中）， 又函数的图象关于直线对称，且， 所以，解得， 所以， 当时，则， 令，解得，且， 令，解得，且， 所以在上单调递增，在上单调递减，且，，， 因为方程在上恰有两个实数根，即与在上恰有两个交点， 所以，即的取值范围是. 故选：C 8．A 【详解】由，令，得，所以. 由为奇函数，得， 所以，故①， 又②， 由①和②得， 即， 令，则， 所以③， 令，得，得； 令，得，得. 又④， 由③-④得，即， 所以函数是以8为周期的周期函数，故， 所以， 所以. 故选：A 9．AB 【详解】对于A，由，，得， 显然，因此事件与相互独立，A正确； 对于B，若与相互独立，则， 因此，B正确； 对于C，若与互斥，则，C错误； 对于D，若发生时一定发生，则，，D错误. 故选：AB 10．BD 【详解】对于A：设，则， 由得，由得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，即恒成立，选项A错误. 对于B：由得，即， 所以函数与函数互为反函数，图象关于直线对称， 结合图象可得函数与的图象都过原点，直线为函数与唯一的公切线，选项B正确. 对于C：设点为函数图象上任意一点，则，当且仅当时等号成立，选项C错误. 对于D：令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，选项D正确. 故选：BD. 11．ABD 【详解】A选项，在直角三角形中，，则， 在直角三角形中，，则， 对于线段上的任意动点，翻折前后总有， 对于翻折前的平面四边形，当共线，即的长就是的最小值， 由于，由余弦定理可得，故A正确；    B选项，， ， ， 对于，翻折前为，由于，则可完全翻折使得在直线 上， 由于需要是异面直线，故，，则， 在三角形中可求得， 则，故B正确； C选项，由平面平面，交线为，平面，可得平面， 则，可得，则，即三角形为直角三角形， 作平面，垂足为， 则由即可得， 则，即在平面内，的轨迹是为圆心，1为半径的圆， 对于三角形，由等面积可得其内切圆半径， 则在三角形内部，的轨迹不是完整的圆，故长度不是，C错误；    D选项，三棱锥的底面积不变，长度不变， 由选项C得当平面平面时，平面，此时体积最大， 且此时三角形，都是以为斜边的直角三角形， 则取中点，可得， 则三棱锥的外接球半径为2，表面积为，故D正确； 故选：ABD. 12．/ 【详解】因为，， 所以， 又， 所以，即. 故答案为：. 13．8 【详解】由题意，得，解得， 所以， 所以. 故答案为：8. 14． 【详解】连接，由余弦定理得， ， 即， 即， 又四边形的面积 ， 则 ， 即，即， 当且仅当时，等号成立， 所以平面四边形面积的最大值为. 故答案为：. 15．(1)； (2). 【详解】（1）由已知及余弦定理，化简， 可得， ∴， ∵为锐角，∴． （2）由正弦定理，得， ， 由， 可得：，， ∴．∴． 16．(1) (2) 【详解】（1）由题意，， 整理化简得，， 所以曲线C的标准方程为. （2）由题意，直线的斜率都存在，设， 则直线的方程为， 分别延长，交曲线于点， 设， 联立，即， 则， 根据对称性，可得， 则 ， 即，解得， 所以直线FM的斜率为. 17．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 又，，平面 所以平面. （2）以为原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 因为，， 所以，， 所以， 所以当时，最小， 此时，， 则，， 设平面AMN的一个法向量为， 则，即， 取，则，又， 设直线SC与平面AMN所成角为， 则， 即直线SC与平面AMN所成角的正弦值为. 18．(1) (2) (3)最大值为，最小值为，证明见解析 【详解】（1）由题意，，， 则， ， 所以y关于t的经验回归方程为. （2）由题意，可知，， 当时，，即， 又， 所以当时，数列为各项都为1的常数列， 即， 所以，，又， 所以数列为首项为公比为的等比数列， 所以，即. （3）由（2）知，， 当为偶数时，，且随的增大而减小， 因此的最大值为； 当为奇数时，，且随的增大而增大， 因此的最小值为， 综上所述，的最大值为，最小值为. 对于任意，总存在正整数，其中表示不超过的最大整数， 当时，， 所以数列收敛于. 19．(1) (2)个 (3)或 【详解】（1）当时，，则， 有，又， 故在点处的切线方程为； （2），定义域为，， ①，因为，所以在上单调递增． 又因为， 由零点存在性定理可得，存在使得． ②当且， 因此恒成立，即在该区间内无零点． ③当时，． 因为， 所以在区间上单调递减． . 因为，所以，在上，故该区间内无零点． ④当时，， 因此该区间内也无零点． 综上，函数在上仅有一个零点． （3）函数，由题意． 当时，对于任意恒成立， 当时，由（2）知在上恒成立． 当且时，取，有， 由于且，故，与矛盾． 综上所述，的值为0或1． 学科网（北京）股份有限公司 $