12.2因式分解的方法（讲义，10大知识点&11大题型&刷好题）数学新教材沪教版五四制七年级上册

本讲义聚焦初中数学因式分解的方法，系统梳理提取公因式法（含公因式确定与提取步骤）、公式法（平方差公式、完全平方公式特征及应用）、十字相乘法、分组分解法等核心知识点，构建从基础方法到综合运用的递进学习支架。 该资料通过易错提醒强化严谨的数学思维，随学随练融入上海地区期中期末真题培养数学语言应用能力，拓展阅读理解题发展创新意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

第十二章 因式分解 12.2 因式分解的方法 课标要点 1.掌握提取公因式法，能准确找出公因式并完成因式分解。 2.掌握公式法（平方差公式、完全平方公式），能识别符合公式特征的多项式。 3.理解因式分解的一般步骤：先提公因式，再考虑公式法。 4.能综合运用提公因式法和公式法进行因式分解，并能判断分解是否彻底。 5.掌握十字相乘法，能对二次三项式进行因式分解。 6.掌握分组分解法，能对四项及以上的多项式进行因式分解。 7.能利用因式分解进行简便计算和解决实际问题。 学习重难点 重点： 1.提公因式法分解因式； 2.平方差公式和完全平方公式分解因式； 3.十字相乘法分解因式； 4.分组分解法分解因式。 难点： 1.公因式为多项式时的提取； 2.综合运用多种方法进行因式分解； 3.分组分解法的分组策略。 知识点 提取公因式法 ◆1、公因式的定义：一个多项式中每一项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 ◆2、提取公因式法的定义：如果含多个项的整式的各项含有非常数的公因式，那么可以把这个公因式提取出来，从而将这个整式化为两个次数更低的整式的积，这种因式分解的方法叫做提取公因式法。 ◆3、确定公因式的方法： 定系数： 当各项系数都是整数时，取各项系数的最大公因数； 定字母： 取多项式各项都含有的相同字母（或多项式），其指数取最低次； 定符号： 如果多项式的第一项系数是负数，通常提出“-”号，使括号内第一项的系数成为正数。 ◆4、提取公因式的步骤： （1）找出多项式各项的公因式； （2）提出公因式； （3）写成公因式与另一个整式的乘积形式。 易错提醒 1. 一次提净： 提出公因式后，要检查是否还有公因式可提，确保一次提净； 2. 切勿漏1： 当提出公因式后，某项系数变为1时，不能漏掉这个1。如 ，括号内的1不能省略； 3. 注意符号： 当提出负公因式时，括号内各项的符号都要改变； 4. 视“多”为“1”： 当公因式是一个多项式时，要把它看作一个整体。 教材延伸 由整式乘法 ，反过来可得： 其中 是 各项的公因式。 随学随练 1．（25-26七年级上·上海·课后作业）利用提取公因式法计算，结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解， 通过提取公因式 ，将原式化简为 ，再结合负数的偶次幂为正的性质，得到结果． 【详解】解：． 故选：A． 2．（25-26七年级上·上海普陀·期末）因式分解：______． 【答案】 【分析】该题考查了因式分解，运用提公因式法分解因式，通过变形后提取公因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 知识点 判断能否用公式法分解因式 ◆1、公式法定义： 逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法。 ◆2、可用公式法分解的多项式特征： 公式 多项式特征 平方差公式 二项式，两项都是平方形式，且符号相反 完全平方公式 三项式，首末两项是平方且符号相同，中间项是首尾两数乘积的2倍 随学随练易错提醒 1.判断能否用平方差公式，关键看是否为两项且符号相反的平方形式； 2.判断能否用完全平方公式，关键看中间项是否为 ±2ab； 3.若多项式有公因式，应先提公因式，再考虑公式法。 1.（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．通过观察多项式的各项，提取公因式进行因式分解． 【详解】解：． 故答案为 ． 2.（25-26七年级上·上海金山·期中）已知：，，则______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，把所求式子因式分解得到，进一步变形得到，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：7． 知识点 公式法——平方差公式分解因式 ◆1、公式法定义： 逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法。 ◆2、因式分解的平方差公式：由平方差公式反过来可得： 这个公式叫做因式分解的平方差公式。 ◆3、公式特征： 等号左边是二项式，两项都是平方的形式，且符号相反； 等号右边是两个数的和与这两个数的差的积。 随学随练易错提醒 1. 只有两项且符号相反的平方形式才能用平方差公式，如 不能分解； 2. 注意将各项写成 “某数（式）的平方” 的形式，如 ； 3. 分解要彻底，如 应分解到 。 1.（25-26七年级上·上海金山·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式；平方差公式适用于两个平方项的差，即形式为 ，需检查各选项是否可化为该形式． 【详解】∵ 平方差公式为 ； 选项A：，是平方和，不符合公式； 选项B：，符合公式，可分解为 ； 选项C：，是平方和，不符合公式； 选项D：，不是平方差形式； ∴ 能用平方差公式分解因式的是：B； 故选：B． 2.（25-26七年级上·上海普陀·期末）如果，那么括号内的整式是_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用． 将右边因式分解后判断即可． 【详解】解：， 可知括号内的整式是． 故答案为：． 知识点 公式法——完全平方公式分解因式 ◆1、因式分解的完全平方公式： 由完全平方公式反过来可得： 这两个公式叫做因式分解的完全平方公式。 ◆2、公式特征： 等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或式子）的平方，符号相同； 中间一项是这两个数（或式子）乘积的2倍，符号正负均可； 等号右边是两个数（或式子）的和（或差）的平方。 随学随练易错提醒 1. 完全平方公式的特征可概括为：“首平方，尾平方，首尾两倍在中央” ； 2. 中间项必须是 ±2ab，不能漏掉“2倍”； 3. 首末两项的符号必须相同（均为正），若为负要先提取负号。 1.（25-26七年级上·上海松江·期末）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式是解题的关键． 需满足的形式，据此判断各选项． 【详解】解：选项A：，末项为负数，且非平方数，不符合公式； 选项B：：中间项对应，末项应为，但末项为，不匹配； 选项C：：首项，末项，中间项，符合； 选项D：：缺少常数项，无法构成完全平方； 故选C． 2.（25-26七年级上·上海普陀·期中）下列整式能用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解，根据完全平方公式，逐项检查各选项是否符合该形式． 【详解】解：对于A：能用平方差公式分解因式，不能用完全平方公式分解，故不符合题意； 对于B：，不能用完全平方公式分解因式，故不符合题意； 对于C：，能用完全平方公式分解，故符合题意； 对于D：，常数项应为，不能用完全平方公式分解因式，故不符合题意， 故选：C． 知识点 综合运用公式法分解因式 ◆1、方法： 先观察多项式的项数和特征，选择合适的公式。 若是二项式且符号相反 → 考虑平方差公式； 若是三项式且首尾为平方 → 考虑完全平方公式。 易错提醒 分解要彻底，如 应分解到 ； 若多项式有公因式，应先提公因式再套公式。 随学随练 1.（24-25七年级上·上海黄浦·阶段检测）若，，则________． 【答案】18 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法和公式法因式分解是解题的关键； 将所求表达式因式分解，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解： ， ， ∵，， ∴原式， 故答案为：18． 2.（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，是解题的关键．先用完全平方公式进行计算，然后用平方差公式，进行计算即可． 【详解】解： ． 知识点 综合提公因式和公式法分解因式 ◆1、分解因式的一般步骤： 1. 如果多项式的各项有公因式，应先提公因式； 2. 如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式法； 3. 分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止； 4. 结果一定是乘积的形式，每一个因式都是整式。 易错提醒 因式分解要分解到不能再分解为止，不能半途而废； 相同的因式的积要写成幂的形式； 验证分解是否正确：将分解后的因式相乘，看是否等于原多项式。 随学随练 1.（24-25七年级上·上海嘉定·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解：分组分解法、公式法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先去括号，再分组，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 2.（24-25七年级上·上海黄浦·阶段检测）因式分解： 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 综合利用公式法分解因式即可． 【详解】解： ． 知识点 因式分解在有理数简算中的应用 ◆1、方法： 将算式中的公因式提取出来，将复杂的计算转化为简单的乘法运算。 如：。 易错提醒 提取公因式时，注意不要漏掉系数为1的项； 计算时注意符号。 随学随练 1.利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．533 D．534 【答案】C 【分析】本题考查因式分解在有理数简算中的应用． 通过提取公因式进行因式分解，将表达式转化为简单乘法计算． 【详解】解： ． 故选：C． 2.______． 【答案】246 【分析】本题考查利用平方差公式进行简算，逆用乘法分配律和平方差公式进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：246 知识点 十字相乘法 ◆1、定义： 对于二次三项式 ，如果存在两个数 、，使得 ，，则： ◆2、对于一般二次三项式 ： 将二次项系数 分解为 ，常数项 分解为 ，若 ，则： ◆3、十字相乘法的口诀： “拆两头，凑中间；交叉乘，和相等。” 易错提醒 使用十字相乘法时，注意符号的确定； 分解后要验证中间项是否等于一次项系数； 若二次三项式有公因式，应先提公因式。 随学随练 1.（24-25七年级上·上海黄浦·阶段检测）因式分解：________． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 2.（25-26七年级上·上海·阶段检测）因式分解：_______． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为． 知识点 分组分解法 ◆1、定义： 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。 ◆2、分组分解法的步骤： 1.将多项式适当分组； 2.各组分别提取公因式或运用公式； 3.各组之间再提取公因式。 ◆3、常见的分组方式： 二二分组： 将四项分为两组，每组两项； 三一分组： 将四项分为一组三项和一组一项。 易错提醒 分组时要考虑分组后能否继续分解； 分组后各组之间要有公因式可提； 分组分解法常常与提公因式法和公式法结合使用。 随学随练 1.（25-26七年级上·上海金山·阶段检测）因式分解：________． 【答案】 【分析】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．直接将原式重新分组进而利用提取公因式法分解因式即可． 【详解】解： . 故答案为 2.（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：________ 【答案】 【分析】本题考查分组分解法进行因式分解，通过重新分组并提取公因式后，再提取二次公因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 知识点 因式分解的应用 ◆1、利用因式分解简便计算：将算式中的公因式提取出来，简化计算 ◆2、利用因式分解求代数式的值：先因式分解，再代入求值 ◆3、利用因式分解解决实际问题：如面积问题、体积问题等 ◆4、利用因式分解进行代数推理：如证明整除性、判断奇偶性等 随学随练易错提醒 因式分解是恒等变形，不能改变原式的值； 利用因式分解求值时，要注意整体代入。分组后各组之间要有公因式可提； 1.（25-26七年级上·上海·课后作业）[类比思想]利用我们学过的知识，可以导出下面这个等式： ． 该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． (1)请你展开右边检验这个等式的正确性； (2)利用上面的式子计算：． 【答案】(1) ， 故正确； (2)3． 【分析】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握完全平方公式并能灵活运用． （1）根据完全平方公式和合并同类项的方法可以将等式右边的式子进行化简，从而可以得出结论； （2）根据题目中的等式可以求得所求式子的值． 【详解】（1）略 （2）解：对于， 我们可以利用上述等式进行计算，令，，． 根据，则： ． 2.（25-26七年级上·上海·期中）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，熟记完全平方公式，并灵活运用是解答的关键． （1）利用公式和已知求解即可； （2）先分组分解因式，再把，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； （2）∵，， ∴ ． 拓展 提公因式法的技巧 易错提醒 当公因式是多项式时，要将其看作一个整体； 注意 与 的关系：； 提出负号时，括号内各项都要变号。 活学活用 1．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的因式分解，灵活选择因式分解的方法是解题的关键．首先观察式子中的，利用的关系，将其转化为的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为：． 2.（25-26七年级上·上海杨浦·期中）因式分解：_________． 【答案】 【分析】题目主要考查因式分解，先将原式变形，然后提取公因式即可． 【详解】解： = 故答案为： ． 拓展 公式法的灵活运用 易错提醒 有些多项式需要先变形才能用公式，如 ； 分解要彻底，如 应分解到 。 活学活用 1．（25-26七年级上·上海·课后作业）简便计算： 【答案】16 【分析】本题考查了平方差公式，先把原式整理得，再运用平方差公式进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 2.（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先利用完全平方公式因式分解得到，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 拓展 十字相乘法的技巧 易错提醒 对于二次项系数不为1的二次三项式，要用 “拆两头，凑中间” 的方法； 注意符号的确定，特别是常数项为负数时。 活学活用 1.（25-26七年级上·上海金山·阶段检测）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，使用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 2.（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是________． 【答案】 【分析】此题考查的是整式的乘法和因式分解，掌握多项式乘多项式法则、因式分解的方法是解决此题的关键．甲同学看错一次项系数但常数项正确，故由甲的结果得；乙同学看错常数项但一次项系数正确，故由乙的结果得；因此原整式为，因式分解得结果． 【详解】解∶ ∵，甲看错一次项系数但常数项正确 ∴， ∵，乙看错常数项但一次项系数正确， ∴， ∴原整式为， ∵ ∴整式，即正确的因式分解结果是， 故答案为∶ ． 拓展 分组分解法的分组策略 易错提醒 分组的方式不唯一，要选择能继续分解的分组方式； 分组后要确保各组之间有公因式可提。 活学活用 1.（25-26七年级上·上海浦东新·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 通过分组分解，将多项式分为两组后分别提取公因式，再提取两组的公因式完成因式分解． 【详解】解： ． 2.（25-26七年级上·上海普陀·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先分组，再提取公因式，最后利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 拓展 因式分解的综合应用 易错提醒 因式分解的一般顺序： 先提公因式， 再考虑公式法 最后考虑十字相乘法和分组分解法； 分解要彻底，直到每个因式都不能再分解为止。 活学活用 1.（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，关键是掌握公式法（完全平方和（差）和平方差公式）和提公因式法结合使用即可得出结果． （1）将看成整体，应用完全平方公式因式分解，再利用十字相乘法分解即可得出结果； （2）利用平方差和完全平方公式分解因式即可得出结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2.（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）因式分解 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． （1）使用十字相乘法因式分解； （2）先分组形成完全平方式，再利用平方差公式分解． 【详解】（1）解： ∵， ∴； （2）解： ． 拓展 阅读理解与拓展题 易错提醒 仔细阅读题目给出的新定义或材料，理解其中的规则； 抓住因式分解的本质——多项式化为整式的积。 活学活用 1.（25-26七年级上·上海普陀·期中）如果一个整数能表示成（是整数）的形式，那么称这个数为“完全数”．例如，，那么10是“完全数”．再如，（是整数），所以M也是“完全数”． (1)请你再写一个小于10的“完全数”：______； (2)请判断是整数是否是“完全数”，并说明理由； (3)已知（是整数，k是常数），如果S是“完全数”，求k的值； (4)如果整数m，n都是“完全数”，试说明：也是“完全数”． 【答案】(1) (2) 是，理由如下： ， （是整数）是“完全数”； (3) (4) 证明：设，（为整数）， ， 、b、c、d是整数， ，都是整数， 是完全数． 【分析】本题考查新定义，因式分解的应用，掌握“完全数”的定义是解题的关键． （1）根据“完全数”的定义即可解答； （2）根据“完全数”的定义即可解答； （3）利用完全平方公式将S配成“完全数”，即可解答； （4）设，（为整数），再证明即可． 【详解】（1）解：， 是完全数， 故答案为：（答案不唯一）； （2）略 （3）解：时，S为“完全数”，理由如下： ， 对于任意整数x、y，S都是“完全数”，，也是整数， ∴，即，S是完全数； （4）略 2.（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，现有三种不同型号的卡片若干张，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，其中请你尝试根据以下两种情况，用不同数量的三类卡片，不重叠无缝隙地拼成一个大正方形． (1)用张型正方形卡片，2张型长方形卡片和1张型正方形卡片，拼成一个大正方形，请画出大正方形的拼接示意图，并写出该大正方形的边长为______； (2)用4张型正方形卡片，12张型长方形卡片和______张型正方形卡片，可以拼成一个大正方形，此时这个大正方形的边长为______； (3)三种不同型号的卡片各有9张，从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），取出的这些卡片正好能拼成一个大正方形，当所拼成的大正方形面积最大时，此时需要三类卡片共多少张？ 【答案】(1) ， 大正方形的边长为， (2) (3)张 【分析】此题主要考查了列代数式、整式的混合运算： （1）利用正方形的面积等于边长的平方，结合完全平方公式得出边长； （2）运用完全平方公式得出型卡片的张数； （3）设大正方形边长为，分析的取值． 【详解】（1） 略 （2）解：， ， 张型正方形卡，大正方形的边长是， 故答案为：9，； （3）解：设大正方形边长为， 大正方形的面积为：（为正整数）， 三种不同型号的卡片各最多是9张： ：，：，：， 每种卡片至少取1张， 要使面积最大，需让最大因， 逐一分析m、n的可能取值：当时，，取满9张，正方形的面积最大， 代入，得， 故， 型卡片数量：， 型卡片数量：， 大正方形边长：， 总面积：， 此时三种不同型号的卡片总数为：张． 题型 公因式 ▌例1 （25-26七年级上·上海虹口·期末）因式分解：_____． 【答案】4 【分析】先确定多项式各项的公因式，再提取公因式完成分解即可． 【详解】解： = =． 解题方法 方法：找出多项式各项的公因式，确定公因式的系数和字母。 解题贴士 确定公因式“三步法”： 1. 定系数：取各项系数的最大公因数； 2. 定字母：取各项都含有的相同字母； 3. 定指数：取相同字母的最低次幂。 3. 定指数：取相同字母的最低次幂。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 【答案】． 【分析】先对原式变形得到公因式，再提取公因式化简整理即可得到结果． 【详解】解： ． ▌对点练1-2 （25-26七年级上·上海·课后作业）利用提取公因式法计算，结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查提取公因式法在指数运算中的应用，关键是准确找出公因式，将高次幂的项用公因式和另一个因式的乘积形式表示，从而简化计算．先使用提取公因式法，将 表示为 ，然后提取公因式 ，再进行计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ 结果为 ． 故选：． 题型 提公因式法分解因式 ▌例2 （25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 直接提取公因式即可解答． 【详解】解：原式中，系数最大公因数为2，变量部分公因式为和，则公因式为． ∴． 故答案为 ． 解题方法 方法：找出公因式，将公因式提取出来，写成乘积形式。 易题提醒 提出公因式后，括号内的项数与原多项式项数相同； 某项系数变为1时，不能漏掉1。 解题贴士 提取公因式“三步法”： 1. 找公因式；2. 提公因式；3. 写结果。 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·上海虹口·期中）分解因式：____． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． ▌对点练2-2 （25-26七年级上·上海·期中）因式分解：______ 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 提取公因式进行因式分解． 【详解】解： ． 故答案为 ． 题型 判断能否用公式法分解因式 ▌例3（25-26七年级上·上海松江·期末）因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握公式法进行因式分解是解题的关键． 观察表达式，发现其为平方差形式，利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：原式， 故答案为： 解题方法 方法：根据多项式的项数和特征判断能否用平方差公式或完全平方公式。 解题贴士 判断能否用公式法“两步法”： 1. 看项数：二项式考虑平方差，三项式考虑完全平方； 2. 看特征：平方差要求两项符号相反，完全平方要求中间项为 ±2ab。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·上海·期末）如果，，那么_______． 【答案】7 【分析】本题考查平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 将 用平方差公式分解为，再代入已知条件求解． 【详解】解：由平方差公式，得． ∵，， ∴， 解得． 故答案为：7． ▌对点练3-2 （25-26七年级上·上海·期中）因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 观察多项式发现符合平方差公式的形式，直接应用公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 题型 平方差公式分解因式 ▌例4（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：________ 【答案】 【分析】本题考查因式分解，该表达式为二项式，通过观察可发现其符合平方差公式的形式，因此应用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 解题方法 方法：将多项式写成 的形式，套用 。 解题贴士 平方差公式使用“三步法”： 1. 看：判断是否为两项、符号相反、均为平方形式； 2. 写：写成 的形式； 3. 套：套用公式 。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·上海·课后作业）把因式分解的结果是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了公式法因式分解， 该多项式是平方差形式，根据公式分解即可． 【详解】解：原式 ． ▌对点练4-2 （25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 【答案】． 【分析】先将原式整理为平方差的形式，先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解，直至分解彻底即可． 【详解】解： ． 题型 完全平方公式分解因式 ▌例5（25-26七年级上·上海·期中）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，包括提取公因式法，公式法，以及完全平方公式与平方差公式，解决本题的关键是熟练掌握因式分解的方法并能针对不同题型使用不同方法． （1）通过提取公因式和完全平方公式进行因式分解； （2）通过完全平方公式和平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 解题方法：判断多项式是否符合完全平方式特征，套用 。 解题贴士 完全平方公式判断“三步法”： 1. 看首尾：两项是否为平方形式且符号相同； 2. 看中间：是否为 首项底数 尾项底数； 3. 套公式：符合则套用 。 ▌对点练5-1 （25-26七年级上·上海浦东新·期末）因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握利用完全平方公式进行因式分解． 先处理符号，再由完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． ▌对点练5-2（25-26七年级上·上海·课后作业）（1）__________；（2）_______． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）设两个空依次分别为和，再将等号右边化简，根据各项对应相等即可求解． （2）将原式转化出2倍乘积和尾平方，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：（1）设两个空依次分别为和，则， 故，解得，，解得， （2）根据完全平方公式可知， 故答案为：，，． 题型 综合运用公式法分解因式 ▌例6 （25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 【答案】． 【分析】先将原式整理为平方差的形式，先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解，直至分解彻底即可． 【详解】解： ． 解题方法 方法：先观察多项式的项数和特征，选择合适的公式；分解要彻底。 解题贴士 综合运用公式法“两步法”： 1. 先套公式：先用平方差或完全平方公式分解； 2. 再检查：检查分解后的因式能否继续分解，直到不能再分解为止。 ▌对点练6-1 （25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查换元法、十字相乘法和完全平方公式，利用换元法进行化简是解题的关键． 首先将用t进行表示并结合十字相乘法进行化简，化简结束后将再代入并结合完全平方公式进行化简即可． 【详解】解：令，则， ∴． ▌对点练6-2 （25-26七年级上·上海虹口·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据十字相乘法及完全平方公式进行分解因式即可． 【详解】解：原式． 题型 综合提公因式和公式法分解因式 ▌例7 （25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 解题方法 方法：先提公因式，再考虑公式法，直到不能再分解为止。 解题贴士 综合运用“两步法”： 1. 先提：有公因式先提取公因式； 2. 再套：提完后检查能否用公式法继续分解。 ▌对点练7-1 （25-26七年级上·上海·期末）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键． （1）先提取公因数3，然后运用完全平方公式分解即可； （2）先用平方差公式分解，然后再运用提取公因式法分解即可； （3）先用完全平方公式分解，然后再运用完全平方公式分解即可； （4）先分组，然后再运用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： = ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型 因式分解在有理数简算中的应用 ▌例8 （25-26七年级上·上海·课后作业）简便计算： 【答案】16 【分析】本题考查了平方差公式，先把原式整理得，再运用平方差公式进行计算，即可作答． 【详解】解： ． ▌对点练8-1 （25-26七年级上·上海·课后作业）简便计算：解题方法 方法：将算式中的公因式提取出来，简化计算。 解题贴士 简便计算“三步法”： 1. 找公因式：找出各加数中共同含有的因数或式子； 2. 提公因式：将公因式提取出来； 3. 算结果：计算括号内的结果再相乘。 【答案】16 【分析】本题考查了平方差公式，先把原式整理得，再运用平方差公式进行计算，即可作答． 【详解】解： ． ▌对点练8-2（25-26七年级上·上海普陀·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解在有理数简便运算中的应用，涉及完全平方公式因式分解，利用完全平方公式分解后直接计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型 十字相乘法 ▌例9 （25-26七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：_____． 【答案】 【分析】此题主要考查因式分解．本题为二次三项式的因式分解，通过寻找两个数满足和为、积为，进而分解. 【详解】解：， 故答案为：． 解题方法 方法：对于 ，找两个数 、 使 ，，则 。 解题贴士 十字相乘法口诀：“拆两头，凑中间；交叉乘，和相等。” 对于 ： 1. 拆常数项：将 分解为两数之积； 2. 凑一次项：使两数之和等于 ； 3. 写结果：。 ▌对点练9-1 （25-26七年级上·上海松江·期末）若关于的整式可以在有理数范围内因式分解，则整数的值是_____． 【答案】/或/或 【分析】本题考查公式法的因式分解，掌握十字相乘法是解题的关键． 设因式分解形式为，则，，由为整数，、为整数，枚举的整数解求即可． 【详解】解：因式分解形式为， 故，， 由于为整数，且， 则、为整数， 的整数解有：，或，或，或，， 对应： 当，时； 当，时； 当，时； 当，时， 故整数的值为或， 故答案为：． ▌对点练9-2 （25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查换元法、十字相乘法和完全平方公式，利用换元法进行化简是解题的关键． 首先将用t进行表示并结合十字相乘法进行化简，化简结束后将再代入并结合完全平方公式进行化简即可． 【详解】解：令，则， ∴． 题型 分组分解法 ▌例10 （25-26七年级上·上海·期中）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．通过分组分解法，将原式分为两组，分别提取公因式后，再提取公因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 解题方法 方法：将多项式适当分组，各组分别提取公因式或运用公式，再在各组之间提取公因式。 解题贴士 分组分解法“三步法”： 1. 分组：将多项式适当分组（二二分组或三一分组）； 2. 分解：各组分别提取公因式或运用公式； 3. 再提：在各组之间提取公因式。 ▌对点练10-1 （25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解－分组分解法、提公因式法，正确找出可提取的公因式是解题关键． 利用分组分解法，将原式重新组合为，再进行因式分解，前两项提公因式a，后两项提公因式，再应用提公因式法分解即可. 【详解】解： 故答案为： ▌对点练10-2 （25-26七年级上·上海·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解的分组分解法，以及完全平方公式、平方差公式的应用．关键是通过合理分组，将原式转化为可利用公式分解的形式：先把原式中能构成完全平方的项结合，得到完全平方式后，再与剩余项结合形成平方差的形式，最后用平方差公式完成分解． 【详解】解：原式 ． 题型 因式分解的应用 ▌例11 （25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知关于的整式（其中为常数项）可以写成两个因式的积，其中一个是，求另外一个因式． 【答案】 【分析】由于整式可以写成两个因式的积，且其中一个因式已知，可设另一个因式为，通过比较系数求解即可．本题主要考查了因式分解的定义和多项式乘多项式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 比较系数得，， 解得，， ∴另一个因式为． ▌对点练11-1（25-26七年级上·上海金山·期中）在学习因式分解这一章节时，爱思考的小睿给聪明的小慧出了这样一道题：已知整式，请在（　　　）里添加一项只含字母a的单项式（除外），使得这个整式能因式分解，请写出两种添加的方法，并对该整式讲行因式分解．解题方法 方法：利用因式分解进行简便计算、求代数式的值、解决实际问题。 解题贴士 因式分解求值“三步法”： 1. 因式分解：将待求整式因式分解； 2. 整体代入：将已知条件整体代入； 3. 计算：得出结果。 【答案】 ① ； ② ．（答案不唯一） 【分析】本题考查了利用公式法进行因式分解，掌握平方差公式是解本题的关键． 根据平方差公式进行添加只含字母a的单项式即可． 【详解】解：略． ▌对点练11-2 （25-26七年级上·上海·期中）如果正整数，，满足，这样的正整数对共有______个 【答案】2 【分析】本题主要考查了分解因式的应用，解二元一次方程组，利用平方差公式分解因式得到，根据题意可得是正整数，是正整数，再把64分解成两个正整数的乘积，进而建立关于x、y的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴是正整数， ∴是正整数， ∵， ∴或或或， 解得（舍去）或或或（舍去）， ∴这样的正整数对有和，共2个， 故答案为：2． 基础通关 1．（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：______________． 【答案】 【详解】解：． 2．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．通过分组分解法，将原式分为两组，分别提取公因式后，再提取公因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是掌握提公因式法进行求解； 利用分组分解法对进行因式分解，再提取公因式，即可得到答案. 【详解】解：原式 . 4．（25-26七年级上·上海普陀·阶段检测）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解： ． 5．（25-26七年级上·上海虹口·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 6．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 先凑出公因式，然后再提取公因式即可解答． 【详解】解： ． 7．（25-26七年级上·上海·期中）分解因式： 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式进行分解因式即可． 【详解】解： ． 8．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，直接提取公因式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为： 9．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）利用提公因式法因式分解； （2）利用提公因式法因式分解． 【详解】（1） ； （2） ． 10．（24-25八年级上·山东泰安·期末）在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有______个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 11．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，关键是掌握完全平方公式即可得出结果． 将看成整体，应用完全平方公式因式分解，再利用十字相乘法分解即可得出结果； 【详解】解：原式 ． 12．（25-26七年级上·上海闵行·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先进行分组，再运用完全平方公式进行因式分解，最后运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解： ． 素养提升 13．（25-26七年级上·上海·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解， （1）先分组，再提取公因式即可； （2）先展开多项式，再利用完全平方公式分解． 【详解】（1）解： = =； （2）解： ． 14．（25-26七年级上·上海·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解． （1）根据十字相乘法分解成，再根据平方差公式分解即可； （2）先分组分解，再提取公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（25-26七年级上·上海·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解， （1）先分组，再提取公因式即可； （2）先展开多项式，再利用完全平方公式分解． 【详解】（1）解： = =； （2）解： ． 16．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“友谊数”．下列数中“友谊数”是（　　） A．502 B．204 C．250 D．520 【答案】D 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．设较小的奇数为，较大的为，根据题意列出算式，求出解判断即可． 【详解】解：设较小的奇数为，较大的为， 根据题意得：， A．若，即，不为整数，不符合题意； B．若，即，不为奇数，不符合题意； C．若，即，不为整数，不符合题意； D．若，即，符合题意． 故选：D． 17．（25-26七年级上·上海·期中）对于任何正整数，多项式的值都能（   ） A．都能被整除 B．都能被整除 C．都能被整除 D．都能被8整除 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握解答的方法是关键； 通过平方差公式分解多项式，得到表达式含有因子8，因此对于任何正整数x，其值都能被8整除． 【详解】解：∵ ， ∴ 对于任何正整数x，该多项式的值都是8的倍数，因此都能被8整除 故选：D. 18．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题重点考查完全平方公式分解因式和提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式需要运用完全平方公式，完全平方公式为，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法，熟练掌握因式分解的技巧是本题解题的关键． 先对前三项运用完全平方公式，后两项提取公因式，最后再提取公因式，即可完成计算． 【详解】解： ． 迁移创新 19．（25-26七年级上·上海·课后作业）计算 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用， 对分子、分母提取公因式分解因式，最后约分． 【详解】解： ． 20．（25-26七年级上·上海·期中）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式，这样的二次三项式称为“完全平方式”．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添上适当的项，与其他两项构成完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”解决下列问题： (1)因式分解：； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的化简、因式分解、“配方法”的应用，熟练掌握利用“配方法”得到完全平方式是解题的关键． （1）通过“配方法”得到完全平方式，进行因式分解即可； （2）通过将分成与的和，得到两个完全平方式，根据完全平方式的值大于等于0，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 由于， 则， 解得， 因此的值为． 21．（25-26七年级上·上海·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式因式分解；通过完成平方将方程转化为平方和为零的形式，从而求出和的值． 【详解】解：， ∴， 化简得 ， 所以 且 ， 解得 ， ， 因此 ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二章 因式分解 12.2 因式分解的方法 课标要点 1.掌握提取公因式法，能准确找出公因式并完成因式分解。 2.掌握公式法（平方差公式、完全平方公式），能识别符合公式特征的多项式。 3.理解因式分解的一般步骤：先提公因式，再考虑公式法。 4.能综合运用提公因式法和公式法进行因式分解，并能判断分解是否彻底。 5.掌握十字相乘法，能对二次三项式进行因式分解。 6.掌握分组分解法，能对四项及以上的多项式进行因式分解。 7.能利用因式分解进行简便计算和解决实际问题。 学习重难点 重点： 1.提公因式法分解因式； 2.平方差公式和完全平方公式分解因式； 3.十字相乘法分解因式； 4.分组分解法分解因式。 难点： 1.公因式为多项式时的提取； 2.综合运用多种方法进行因式分解； 3.分组分解法的分组策略。 知识点 提取公因式法 ◆1、公因式的定义：一个多项式中每一项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 ◆2、提取公因式法的定义：如果含多个项的整式的各项含有非常数的公因式，那么可以把这个公因式提取出来，从而将这个整式化为两个次数更低的整式的积，这种因式分解的方法叫做提取公因式法。 ◆3、确定公因式的方法： 定系数： 当各项系数都是整数时，取各项系数的最大公因数； 定字母： 取多项式各项都含有的相同字母（或多项式），其指数取最低次； 定符号： 如果多项式的第一项系数是负数，通常提出“-”号，使括号内第一项的系数成为正数。 ◆4、提取公因式的步骤： （1）找出多项式各项的公因式； （2）提出公因式； （3）写成公因式与另一个整式的乘积形式。 易错提醒 1. 一次提净： 提出公因式后，要检查是否还有公因式可提，确保一次提净； 2. 切勿漏1： 当提出公因式后，某项系数变为1时，不能漏掉这个1。如 ，括号内的1不能省略； 3. 注意符号： 当提出负公因式时，括号内各项的符号都要改变； 4. 视“多”为“1”： 当公因式是一个多项式时，要把它看作一个整体。 教材延伸 由整式乘法 ，反过来可得： 其中 是 各项的公因式。 随学随练 1．（25-26七年级上·上海·课后作业）利用提取公因式法计算，结果是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海普陀·期末）因式分解：______． 知识点 判断能否用公式法分解因式 ◆1、公式法定义： 逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法。 ◆2、可用公式法分解的多项式特征： 公式 多项式特征 平方差公式 二项式，两项都是平方形式，且符号相反 完全平方公式 三项式，首末两项是平方且符号相同，中间项是首尾两数乘积的2倍 随学随练易错提醒 1.判断能否用平方差公式，关键看是否为两项且符号相反的平方形式； 2.判断能否用完全平方公式，关键看中间项是否为 ±2ab； 3.若多项式有公因式，应先提公因式，再考虑公式法。 1.（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：________． 2.（25-26七年级上·上海金山·期中）已知：，，则______． 知识点 公式法——平方差公式分解因式 ◆1、公式法定义： 逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法。 ◆2、因式分解的平方差公式：由平方差公式反过来可得： 这个公式叫做因式分解的平方差公式。 ◆3、公式特征： 等号左边是二项式，两项都是平方的形式，且符号相反； 等号右边是两个数的和与这两个数的差的积。 随学随练易错提醒 1. 只有两项且符号相反的平方形式才能用平方差公式，如 不能分解； 2. 注意将各项写成 “某数（式）的平方” 的形式，如 ； 3. 分解要彻底，如 应分解到 。 1.（25-26七年级上·上海金山·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26七年级上·上海普陀·期末）如果，那么括号内的整式是_____． 知识点 公式法——完全平方公式分解因式 ◆1、因式分解的完全平方公式： 由完全平方公式反过来可得： 这两个公式叫做因式分解的完全平方公式。 ◆2、公式特征： 等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或式子）的平方，符号相同； 中间一项是这两个数（或式子）乘积的2倍，符号正负均可； 等号右边是两个数（或式子）的和（或差）的平方。 随学随练易错提醒 1. 完全平方公式的特征可概括为：“首平方，尾平方，首尾两倍在中央” ； 2. 中间项必须是 ±2ab，不能漏掉“2倍”； 3. 首末两项的符号必须相同（均为正），若为负要先提取负号。 1.（25-26七年级上·上海松江·期末）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26七年级上·上海普陀·期中）下列整式能用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 知识点 综合运用公式法分解因式 ◆1、方法： 先观察多项式的项数和特征，选择合适的公式。 若是二项式且符号相反 → 考虑平方差公式； 若是三项式且首尾为平方 → 考虑完全平方公式。 易错提醒 分解要彻底，如 应分解到 ； 若多项式有公因式，应先提公因式再套公式。 随学随练 1.（24-25七年级上·上海黄浦·阶段检测）若，，则________． 2.（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 知识点 综合提公因式和公式法分解因式 ◆1、分解因式的一般步骤： 1. 如果多项式的各项有公因式，应先提公因式； 2. 如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式法； 3. 分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止； 4. 结果一定是乘积的形式，每一个因式都是整式。 易错提醒 因式分解要分解到不能再分解为止，不能半途而废； 相同的因式的积要写成幂的形式； 验证分解是否正确：将分解后的因式相乘，看是否等于原多项式。 随学随练 1.（24-25七年级上·上海嘉定·期末）因式分解：． 2.（24-25七年级上·上海黄浦·阶段检测）因式分解： 知识点 因式分解在有理数简算中的应用 ◆1、方法： 将算式中的公因式提取出来，将复杂的计算转化为简单的乘法运算。 如：。 易错提醒 提取公因式时，注意不要漏掉系数为1的项； 计算时注意符号。 随学随练 1.利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．533 D．534 2.______． 知识点 十字相乘法 ◆1、定义： 对于二次三项式 ，如果存在两个数 、，使得 ，，则： ◆2、对于一般二次三项式 ： 将二次项系数 分解为 ，常数项 分解为 ，若 ，则： ◆3、十字相乘法的口诀： “拆两头，凑中间；交叉乘，和相等。” 易错提醒 使用十字相乘法时，注意符号的确定； 分解后要验证中间项是否等于一次项系数； 若二次三项式有公因式，应先提公因式。 随学随练 1.（24-25七年级上·上海黄浦·阶段检测）因式分解：________． 2.（25-26七年级上·上海·阶段检测）因式分解：_______． 知识点 分组分解法 ◆1、定义： 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。 ◆2、分组分解法的步骤： 1.将多项式适当分组； 2.各组分别提取公因式或运用公式； 3.各组之间再提取公因式。 ◆3、常见的分组方式： 二二分组： 将四项分为两组，每组两项； 三一分组： 将四项分为一组三项和一组一项。 易错提醒 分组时要考虑分组后能否继续分解； 分组后各组之间要有公因式可提； 分组分解法常常与提公因式法和公式法结合使用。 随学随练 1.（25-26七年级上·上海金山·阶段检测）因式分解：________． 2.（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：________ 知识点 因式分解的应用 ◆1、利用因式分解简便计算：将算式中的公因式提取出来，简化计算 ◆2、利用因式分解求代数式的值：先因式分解，再代入求值 ◆3、利用因式分解解决实际问题：如面积问题、体积问题等 ◆4、利用因式分解进行代数推理：如证明整除性、判断奇偶性等 随学随练易错提醒 因式分解是恒等变形，不能改变原式的值； 利用因式分解求值时，要注意整体代入。分组后各组之间要有公因式可提； 1.（25-26七年级上·上海·课后作业）[类比思想]利用我们学过的知识，可以导出下面这个等式： ． 该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． (1)请你展开右边检验这个等式的正确性； (2)利用上面的式子计算：． 2.（25-26七年级上·上海·期中）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 拓展 提公因式法的技巧 易错提醒 当公因式是多项式时，要将其看作一个整体； 注意 与 的关系：； 提出负号时，括号内各项都要变号。 活学活用 1．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______． 2.（25-26七年级上·上海杨浦·期中）因式分解：_________． 拓展 公式法的灵活运用 易错提醒 有些多项式需要先变形才能用公式，如 ； 分解要彻底，如 应分解到 。 活学活用 1．（25-26七年级上·上海·课后作业）简便计算： 2.（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）因式分解：． 拓展 十字相乘法的技巧 易错提醒 对于二次项系数不为1的二次三项式，要用 “拆两头，凑中间” 的方法； 注意符号的确定，特别是常数项为负数时。 活学活用 1.（25-26七年级上·上海金山·阶段检测）因式分解：________． 2.（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是________． 拓展 分组分解法的分组策略 易错提醒 分组的方式不唯一，要选择能继续分解的分组方式； 分组后要确保各组之间有公因式可提。 活学活用 1.（25-26七年级上·上海浦东新·期末）因式分解：． 2.（25-26七年级上·上海普陀·期末）因式分解：． 拓展 因式分解的综合应用 易错提醒 因式分解的一般顺序： 先提公因式， 再考虑公式法 最后考虑十字相乘法和分组分解法； 分解要彻底，直到每个因式都不能再分解为止。 活学活用 1.（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： (1)； (2)． 2.（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）因式分解 (1)． (2)． 拓展 阅读理解与拓展题 易错提醒 仔细阅读题目给出的新定义或材料，理解其中的规则； 抓住因式分解的本质——多项式化为整式的积。 活学活用 1.（25-26七年级上·上海普陀·期中）如果一个整数能表示成（是整数）的形式，那么称这个数为“完全数”．例如，，那么10是“完全数”．再如，（是整数），所以M也是“完全数”． (1)请你再写一个小于10的“完全数”：______； (2)请判断是整数是否是“完全数”，并说明理由； (3)已知（是整数，k是常数），如果S是“完全数”，求k的值； (4)如果整数m，n都是“完全数”，试说明：也是“完全数”． 2.（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，现有三种不同型号的卡片若干张，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，其中请你尝试根据以下两种情况，用不同数量的三类卡片，不重叠无缝隙地拼成一个大正方形． (1)用张型正方形卡片，2张型长方形卡片和1张型正方形卡片，拼成一个大正方形，请画出大正方形的拼接示意图，并写出该大正方形的边长为______； (2)用4张型正方形卡片，12张型长方形卡片和______张型正方形卡片，可以拼成一个大正方形，此时这个大正方形的边长为______； (3)三种不同型号的卡片各有9张，从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），取出的这些卡片正好能拼成一个大正方形，当所拼成的大正方形面积最大时，此时需要三类卡片共多少张？ 题型 公因式 ▌例1 （25-26七年级上·上海虹口·期末）因式分解：_____． 解题方法 方法：找出多项式各项的公因式，确定公因式的系数和字母。 解题贴士 确定公因式“三步法”： 1. 定系数：取各项系数的最大公因数； 2. 定字母：取各项都含有的相同字母； 3. 定指数：取相同字母的最低次幂。 3. 定指数：取相同字母的最低次幂。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． ▌对点练1-2 （25-26七年级上·上海·课后作业）利用提取公因式法计算，结果是（    ） A． B． C． D． 题型 提公因式法分解因式 ▌例2 （25-26七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：__________． 解题方法 方法：找出公因式，将公因式提取出来，写成乘积形式。 易题提醒 提出公因式后，括号内的项数与原多项式项数相同； 某项系数变为1时，不能漏掉1。 解题贴士 提取公因式“三步法”： 1. 找公因式；2. 提公因式；3. 写结果。 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·上海虹口·期中）分解因式：____． ▌对点练2-2 （25-26七年级上·上海·期中）因式分解：______ 题型 判断能否用公式法分解因式 ▌例3（25-26七年级上·上海松江·期末）因式分解：______． 解题方法 方法：根据多项式的项数和特征判断能否用平方差公式或完全平方公式。 解题贴士 判断能否用公式法“两步法”： 1. 看项数：二项式考虑平方差，三项式考虑完全平方； 2. 看特征：平方差要求两项符号相反，完全平方要求中间项为 ±2ab。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·上海·期末）如果，，那么_______． ▌对点练3-2 （25-26七年级上·上海·期中）因式分解：______． 题型 平方差公式分解因式 ▌例4（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：________ 解题方法 方法：将多项式写成 的形式，套用 。 解题贴士 平方差公式使用“三步法”： 1. 看：判断是否为两项、符号相反、均为平方形式； 2. 写：写成 的形式； 3. 套：套用公式 。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·上海·课后作业）把因式分解的结果是________． ▌对点练4-2 （25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 题型 完全平方公式分解因式 ▌例5（25-26七年级上·上海·期中）因式分解 (1) (2) 解题方法：判断多项式是否符合完全平方式特征，套用 。 解题贴士 完全平方公式判断“三步法”： 1. 看首尾：两项是否为平方形式且符号相同； 2. 看中间：是否为 首项底数 尾项底数； 3. 套公式：符合则套用 。 ▌对点练5-1 （25-26七年级上·上海浦东新·期末）因式分解：______． ▌对点练5-2（25-26七年级上·上海·课后作业）（1）__________；（2）_______． 题型 综合运用公式法分解因式 ▌例6 （25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 解题方法 方法：先观察多项式的项数和特征，选择合适的公式；分解要彻底。 解题贴士 综合运用公式法“两步法”： 1. 先套公式：先用平方差或完全平方公式分解； 2. 再检查：检查分解后的因式能否继续分解，直到不能再分解为止。 ▌对点练6-1 （25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）因式分解： ▌对点练6-2 （25-26七年级上·上海虹口·期末）因式分解： 题型 综合提公因式和公式法分解因式 ▌例7 （25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 解题方法 方法：先提公因式，再考虑公式法，直到不能再分解为止。 解题贴士 综合运用“两步法”： 1. 先提：有公因式先提取公因式； 2. 再套：提完后检查能否用公式法继续分解。 ▌对点练7-1 （25-26七年级上·上海·期末）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型 因式分解在有理数简算中的应用 ▌例8 （25-26七年级上·上海·课后作业）简便计算： ▌对点练8-1 （25-26七年级上·上海·课后作业）简便计算：解题方法 方法：将算式中的公因式提取出来，简化计算。 解题贴士 简便计算“三步法”： 1. 找公因式：找出各加数中共同含有的因数或式子； 2. 提公因式：将公因式提取出来； 3. 算结果：计算括号内的结果再相乘。 ▌对点练8-2（25-26七年级上·上海普陀·阶段检测）计算：． 题型 十字相乘法 ▌例9 （25-26七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：_____． 解题方法 方法：对于 ，找两个数 、 使 ，，则 。 解题贴士 十字相乘法口诀：“拆两头，凑中间；交叉乘，和相等。” 对于 ： 1. 拆常数项：将 分解为两数之积； 2. 凑一次项：使两数之和等于 ； 3. 写结果：。 ▌对点练9-1 （25-26七年级上·上海松江·期末）若关于的整式可以在有理数范围内因式分解，则整数的值是_____． ▌对点练9-2 （25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）因式分解： 题型 分组分解法 ▌例10 （25-26七年级上·上海·期中）因式分解：________． 解题方法 方法：将多项式适当分组，各组分别提取公因式或运用公式，再在各组之间提取公因式。 解题贴士 分组分解法“三步法”： 1. 分组：将多项式适当分组（二二分组或三一分组）； 2. 分解：各组分别提取公因式或运用公式； 3. 再提：在各组之间提取公因式。 ▌对点练10-1 （25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：______． ▌对点练10-2 （25-26七年级上·上海·期末）因式分解： 题型 因式分解的应用 ▌例11 （25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知关于的整式（其中为常数项）可以写成两个因式的积，其中一个是，求另外一个因式． ▌对点练11-1（25-26七年级上·上海金山·期中）在学习因式分解这一章节时，爱思考的小睿给聪明的小慧出了这样一道题：已知整式，请在（　　　）里添加一项只含字母a的单项式（除外），使得这个整式能因式分解，请写出两种添加的方法，并对该整式讲行因式分解．解题方法 方法：利用因式分解进行简便计算、求代数式的值、解决实际问题。 解题贴士 因式分解求值“三步法”： 1. 因式分解：将待求整式因式分解； 2. 整体代入：将已知条件整体代入； 3. 计算：得出结果。 ▌对点练11-2 （25-26七年级上·上海·期中）如果正整数，，满足，这样的正整数对共有______个 基础通关 1．（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：______________． 2．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：________． 3．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 4．（25-26七年级上·上海普陀·阶段检测）因式分解：． 5．（25-26七年级上·上海虹口·期中）因式分解：． 6．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 7．（25-26七年级上·上海·期中）分解因式： 8．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 9．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）因式分解： (1)； (2)． 10．（24-25七年级上·上海·期末）在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有______个． 11．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）因式分解：． 12．（25-26七年级上·上海闵行·期末）因式分解：． 素养提升 13．（25-26七年级上·上海·期末）因式分解： (1)； (2)． 14．（25-26七年级上·上海·期末）因式分解： (1)； (2)． 15．（25-26七年级上·上海·期末）因式分解： (1)； (2)． 16．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“友谊数”．下列数中“友谊数”是（　　） A．502 B．204 C．250 D．520 17．（25-26七年级上·上海·期中）对于任何正整数，多项式的值都能（   ） A．都能被整除 B．都能被整除 C．都能被整除 D．都能被8整除 18．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 迁移创新 19．（25-26七年级上·上海·课后作业）计算 20．（25-26七年级上·上海·期中）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式，这样的二次三项式称为“完全平方式”．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添上适当的项，与其他两项构成完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”解决下列问题： (1)因式分解：； (2)若，求x的值． 21．（25-26七年级上·上海·期中）已知，求的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $