第07讲 因式分解（知识点+题型+分层强化）讲义-2025-2026学年沪教版五四制七年级数学上册满分全攻略备考系列

第07讲 因式分解（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.因式分解的意义 2.提公因式法 3.公式法 4.十字相乘法 5.分组分解法 6.因式分解的一般步骤 题型巩固 一、判断是否是因式分解 二、已知因式分解的结果求参数 三、提公因式法分解因式 四、平方差公式分解因式 五、完全平方公式分解因式 六、综合运用公式法分解因式 七、综合提公因式和公式法分解因式 八、因式分解在有理数简算中的应用 九、十字相乘法 十、分组分解法 十一、因式分解的应用 分层强化 一、单选题（4） 二、填空题（11） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1.因式分解的意义 1、因式分解：将多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解。 2、因式分解与整式乘法互为逆变形： 式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式． 知识点2.提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　 （2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 知识点3.公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 知识点4.十字相乘法 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 知识点5.分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 知识点6.因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 题型巩固 题型一、判断是否是因式分解 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列由左边到右边的变形，是因式分解的有 （填序号） ①a（x＋y）＝ax＋ay； ②10x2－5x＝5x（2x－1）； ③y2－4y＋4＝（y－2）2； ④t2－16＋3t＝（t－4）（t＋4）＋3t． 题型二、已知因式分解的结果求参数 3．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．8 4．（24-25七年级上·上海普陀·期末）已知整式可以因式分解为，如果、、都为整数，那么的值为 ． 5．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 题型三、提公因式法分解因式 6．（24-25七年级上·上海·期末）把因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（） A． B． C． D． 7．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解：（n是正整数） ． 8．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 题型四、平方差公式分解因式 9．（2024七年级上·上海·专题练习）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 11．（2024七年级上·上海·专题练习）分解因式：． 题型五、完全平方公式分解因式 12．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列多项式：（1）；（2）；（3）；（4）其中能用完全平方公式进行因式分解的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）已知正方形的面积是，则正方形的边长为 ． 14．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 题型六、综合运用公式法分解因式 15．对于： ①； ②； ③； ④． 其中因式分解正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 16．（24-25七年级上·上海·阶段练习）分解因式： ． 17．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）分解因式： 题型七、综合提公因式和公式法分解因式 18．（23-24七年级上·上海·单元测试）将多项式分解因式得（　　） A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 20．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：． 题型八、因式分解在有理数简算中的应用 21与相等的是（   ） A． B． C． D． 22．计算： ． 23．（22-23七年级上·上海青浦·期末）计算： 题型九、十字相乘法 24．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）若能分解成两个一次因式的积，且为整数，那么不可能是（    ） A．10 B．17 C．15 D．8 25．（24-25七年级上·上海·阶段练习）因式分解： ． 26．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）因式分解：． 题型十、分组分解法 27．用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 28．（22-23七年级上·上海青浦·期中） 多项式的因式（填“是”或“不是”） 29．（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解：． 题型十一、因式分解的应用 30．已知，，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 31．（24-25七年级上·上海·阶段练习）（ ）． 32．（2024七年级上·上海·专题练习）已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由． 分层强化 一、单选题 1．若，则m的值为（    ） A． B．1 C．0 D．2 2．原创题海海有一本密码本，他通过所学知识设置了密码：将“王、滕、岳、阳、阁、序、楼、记”分别对应“”．通过将因式分解就可得到密码，则密码本的密码可能是（   ） A．滕王阁序 B．岳阳楼记 C．滕王阁 D．岳阳楼 3．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．下列变形中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．因式分解： ． 6．分解因式： ． 7．因式分解： . 8．分解因式： ． 9．因式分解： ． 10．若，，则 ． 11．因式分解（直接写出答案） （1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 12．因式分解： ． 13．若实数x满足，则 ． 14．因式分解：x3﹣6x2+11x﹣6＝ ． 15．已知：，因式分解，结果为 ． 三、解答题 16．把分解因式． 17．用提公因式法分解因式：． 18．因式分解 (1) (2) 19．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．分解因式： (1)． (2)． (3)． 21．已知，，求下列各式的值： (1)． (2)． 22．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：． 原式 ②若，利用配方法求M的最小值： ∵，， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______． (2)若，求M的最小值． (3)已知，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 因式分解（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.因式分解的意义 2.提公因式法 3.公式法 4.十字相乘法 5.分组分解法 6.因式分解的一般步骤 题型巩固 一、判断是否是因式分解 二、已知因式分解的结果求参数 三、提公因式法分解因式 四、平方差公式分解因式 五、完全平方公式分解因式 六、综合运用公式法分解因式 七、综合提公因式和公式法分解因式 八、因式分解在有理数简算中的应用 九、十字相乘法 十、分组分解法 十一、因式分解的应用 分层强化 一、单选题（4） 二、填空题（11） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1.因式分解的意义 1、因式分解：将多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解。 2、因式分解与整式乘法互为逆变形： 式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式． 知识点2.提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　 （2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 知识点3.公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 知识点4.十字相乘法 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 知识点5.分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 知识点6.因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 题型巩固 题型一、判断是否是因式分解 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，据此判断即可． 【详解】解：A.，等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； B.是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； C.右边含分式，不是因式分解，不符合题意； D.是因式分解，符合题意； 故选：D． 2．下列由左边到右边的变形，是因式分解的有 （填序号） ①a（x＋y）＝ax＋ay； ②10x2－5x＝5x（2x－1）； ③y2－4y＋4＝（y－2）2； ④t2－16＋3t＝（t－4）（t＋4）＋3t． 【答案】②③． 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：①a（x+y）=ax+ay，等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故不符合题意； ②10x2-5x=5x（2x-1），等式从左边到右边的变形属于因式分解，符合题意； ③y2-4y+4=（y-2）2，等式从左边到右边的变形属于因式分解，符合题意； ④t2-16+3t=（t-4）（t+4）+3t，等式从左边到右边的变形不属于因式分解，故不符合题意； 即等式从左边到右边的变形，属于因式分解的有②③， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 题型二、已知因式分解的结果求参数 3．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】C 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查因式分解—十字相乘法等知识．等式右边利用多项式乘以多项式法则，将化简成形式即可解题． 【详解】解： ， ，， 故选：C． 4．（24-25七年级上·上海普陀·期末）已知整式可以因式分解为，如果、、都为整数，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查因式分解的意义．由题意可得式，则，，根据m、p，q都为整数确定m的值即可． 【详解】解：由题意可得， 则，， ∵m、p，q都为整数， ∴，或，， 则或， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等得到对应项的系数相同，进行求解即可； （2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可； （3）根据（2）所求得到是多项式的一个因式，再仿照题意利用试根法，进行因式分解． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：，； （2）解：多项式中，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为． ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可得是多项式的一个因式， ∴可设， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 题型三、提公因式法分解因式 6．（24-25七年级上·上海·期末）把因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式，解题的关键是正确找出公因式．直接提取公因式即可分解． 【详解】解：， 故选：D． 7．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解：（n是正整数） ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键，直接利用提取公因式法分解因式得出即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握分解因式的步骤是解题的关键．直接利用提公因式法分解因式即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型四、平方差公式分解因式 9．（2024七年级上·上海·专题练习）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了公式法进行因式分解．根据平方差公式进行因式分解分别判断即可． 【详解】解：不能进行因式分解，故选项A不符合题意； 不能因式分解，故选项B不符合题意； ，故选项C符合题意； 不能因式分解，故选项D不符合题意， 故选：C． 10．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题可利用平方差公式对原式进行因式分解，需要先将原式变形为平方差的形式，再逐步分解．本题主要考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式的形式以及多次运用公式的方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．（2024七年级上·上海·专题练习）分解因式：． 【答案】． 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查公式法分解因式．根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ． 题型五、完全平方公式分解因式 12．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列多项式：（1）；（2）；（3）；（4）其中能用完全平方公式进行因式分解的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟知完全平方公式是解题的关键：． 【详解】解：（1），符合题意； （2）不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； （3）不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； （4），符合题意； 故选：B． 13．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）已知正方形的面积是，则正方形的边长为 ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及完全平方和公式因式分解，设正方形的边长为，由题意列出等式，因式分解求解即可得到答案．熟练掌握完全平方和公式因式分解是解决问题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， 由正方形的面积是可得，， ， ，则正方形的边长， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题可先根据多项式乘法法则将原式展开，然后利用完全平方公式进行因式分解．本题主要考查了因式分解中完全平方公式的应用，熟练掌握多项式乘法法则和完全平方公式的结构特征是解题的关键． 【详解】解： ． 题型六、综合运用公式法分解因式 15．对于： ①； ②； ③； ④． 其中因式分解正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：①，此项错误； ②，此项正确； ③，此项错误； ④，此项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 16．（24-25七年级上·上海·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查了实数范围内因式分解，利用完全平方公式与平方差公式是解题的关键；先把前两项凑成完全平方式，再利用平方差公式分解，再对每一个因式继续利用平方差公式分解；把一个二次根式表示成一个实数的平方是解题的关键． 【详解】解： ． 17．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）分解因式： 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，先分组，然后根据完全平方公式与平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解： 题型七、综合提公因式和公式法分解因式 18．（23-24七年级上·上海·单元测试）将多项式分解因式得（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了平方差公式因式分解的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平方差公式因式分解即可选出． 【详解】解：∵， ∴根据平方差公式因式分解可得， 故选A． 19．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了提取公因式法，公式法分解因式，掌握提取公因式公式法是关键． 根据题意，先提取公因式，再运用平方差公式计算即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 20．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提取公因式4，再利用平方差公式进行分解，然后利用完全平方公式继续分解即可得答案． 【详解】解： ． 题型八、因式分解在有理数简算中的应用 21与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】此题考查完全平方公式进行因式分解，根据完全平方公式因式分解即可得答案． 【详解】解：， 故选：C． 22．计算： ． 【答案】/ 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】接利用平方差公式把每一个算式因式分解，再进一步发现规律计算即可． 【详解】解：原式= ， 故答案为：． 【点睛】此题考查因式分解的应用，解题关键在于利用公式进行计算． 23．（22-23七年级上·上海青浦·期末）计算： 【答案】80 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】提公因式，再利用平方差公式分解，进行简便计算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了利用因式分解简便计算，掌握因式分解的方法是解题的关键． 题型九、十字相乘法 24．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）若能分解成两个一次因式的积，且为整数，那么不可能是（    ） A．10 B．17 C．15 D．8 【答案】C 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式．把16分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和． 【详解】解：， 所以或或或或或． ∴整数k的值是或或， 观察四个选项，C选项符合题意． 故选：C． 25．（24-25七年级上·上海·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据十字相乘法可进行分解因式． 【详解】解：原式； 故答案为． 26．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）因式分解：． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查了十字相乘法分解因式，直接利用十字相乘法分解因式得出答案 【详解】解： ． 题型十、分组分解法 27．用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分组分解法 【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键． 28．（22-23七年级上·上海青浦·期中） 多项式的因式（填“是”或“不是”） 【答案】是 【知识点】分组分解法 【分析】假设是多项式的因式，则只需将多项式进行分组，可写成，此时两两一组分解因式即可得到结果． 【详解】， ， ， ， ∴是多项式的因式． 故答案为：是 【点睛】本题主要考查因式分解的应用，掌握分组分解法是解题的关键． 29．（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解：． 【答案】 【知识点】分组分解法 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．用分组分解法分解即可． 【详解】解： ． 题型十一、因式分解的应用 30．已知，，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用平方差公式把变形为，然后把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选B． 31．（24-25七年级上·上海·阶段练习）（ ）． 【答案】 【知识点】因式分解的应用 【分析】此题考查了立方差公式．由即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 32．（2024七年级上·上海·专题练习）已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由． 【答案】等腰三角形，理由见解析 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，能够灵活运用分组分解法进行因式分解是解题的关键,运用分组分解法判断出，进而得到结论． 【详解】解：， ， ， ， 或， ，，是的三边， ， 为等腰三角形． 分层强化 一、单选题 1．若，则m的值为（    ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】B 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式得到，即可得出m的值． 【详解】解：， ， 故选：B． 2．原创题海海有一本密码本，他通过所学知识设置了密码：将“王、滕、岳、阳、阁、序、楼、记”分别对应“”．通过将因式分解就可得到密码，则密码本的密码可能是（   ） A．滕王阁序 B．岳阳楼记 C．滕王阁 D．岳阳楼 【答案】A 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，将给定的代数式因式分解，并根据对应关系确定密码. 【详解】解：原式为 提取公因式：，原式可改写为 提取公因式：两项均含 ，提取后得 进一步分解： 可分解为 ，因此原式最终分解为 对应“滕”， 对应“阁”， 对应“王”， 对应“序” 组合后为“滕王阁序”， 故答案为： A. 3．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．，选项从左到右的变形不正确，故本选项不符合题意； C．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； D．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 4．下列变形中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算、判断能否用公式法分解因式 【分析】根据乘法公式：分别进行判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不合题意； B、不能进行因式分解，故该选项不合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查用乘法公式进行化简和因式分解，解题关键是熟练掌握乘法公式． 二、填空题 5．因式分解： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 直接利用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 6．分解因式： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】直接提取公因式，进而分解因式得出答案． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 7．因式分解： . 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】根据提公因式因式分解即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 8．分解因式： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式y，然后根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，利用平方差公式是解题关键．根据平方差公式因式分解，可得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．若，，则 ． 【答案】2 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】根据平方差公式因式分解，即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了用平方差公式进行因式分解，熟练掌握和运用平方差公式是解决本题的关键． 11．因式分解（直接写出答案） （1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、十字相乘法、分组分解法 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）运用平方差公式进行因式分解； （2）运用完全平方公式进行因式分解； （3）先提公因式后，运用十字相乘法进行因式分解； （4）先分组运用完全平方公式分解后，再运用平方差公式金色因式分解． 【详解】解：（1）． 故答案为： （2）． 故答案为： （3）． 故答案为： （4）． 故答案为： 12．因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】先提取公因式，后采用公式法分解即可 【详解】∵ =-a = 故答案为: ． 【点睛】本题考查了因式分解，熟记先提取公因式，后套用公式法分解因式是解题的关键． 13．若实数x满足，则 ． 【答案】2022 【知识点】提公因式法分解因式、因式分解的应用 【分析】将x2＝2x+1，x2﹣2x＝1代入计算可求解． 【详解】解：∵x2﹣2x﹣1＝0， ∴x2＝2x+1，x2﹣2x＝1， ∴原式＝2x•x2﹣2x2﹣6x+2020 ＝2x（2x+1）﹣2x2﹣6x+2020 ＝4x2+2x﹣2x2﹣6x+2020 ＝2x2﹣4x+2020 ＝2（x2﹣2x）+2020 ＝2×1+2020 ＝2022． 故答案为：2022 【点睛】本题主要考查因式分解的应用，适当的进行因式分解，整体代入是解题的关键． 14．因式分解：x3﹣6x2+11x﹣6＝ ． 【答案】（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1） 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、十字相乘法、分组分解法、完全平方公式分解因式 【分析】首先将11x拆项，进而利用提取公因式法以及公式法分解因式进而得出答案． 【详解】解：x3﹣6x2+11x﹣6 ＝x3﹣6x2+9x+2x﹣6 ＝x（x2﹣6x+9）+2（x﹣3） ＝x（x﹣3）2+2（x﹣3） ＝（x﹣3）[x（x﹣3）+2] ＝（x﹣3）（x2﹣3x+2） ＝（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）． 故答案为：（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）． 【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键． 15．已知：，因式分解，结果为 ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】将提出一个，再将提出一个，继续提出一个，以此类推，直到原式变为，再化简即可． 【详解】解： … 故答案为： 【点睛】本题考查了提公因式法，一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成多项式与另一个因式的乘积的形式，在这种分解因式的方法叫做提公因式法． 三、解答题 16．把分解因式． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】是这两个式子的公因式，可以直接提出，由此可得结果． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键． 17．用提公因式法分解因式：． 【答案】． 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，正确地找出多项式各项的公因式是解题的关键． 根据提公因式法分解因式即可求解． 【详解】解： ． 18．因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】（1）先利用提公因式法，再利用公式法即可求解． （2）利用公式法即可求解． 【详解】（1）解： = =． （2）解： = =． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键． 19．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，正确找到公因式是解题的关键； （1）提取公因式，即可分解因式； （2）提取公因式，即可分解因式； （3）提取公因式，即可分解因式； （4）先把变形为，再提取公因式，即可分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20．分解因式： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可； （2）根据平方差公式计算，再根据完全平方公式分解因式即可； （3）根据完全平方公式计算，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题考查因式分解．掌握提公因式法和公式法分解因式是解题关键． 21．已知，，求下列各式的值： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2)10 【知识点】运用完全平方公式进行运算、提公因式法分解因式 【分析】（1）利用完全平方公式展开，然后相减即可求出； （2）利用完全平方公式展开，然后相加求出的值，进而可得答案． 【详解】（1）解：①， ②， 由得：， ∴； （2）解：①， ②， 由得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查利用完全平方公式求值，因式分解的应用，学生们熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 22．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：． 原式 ②若，利用配方法求M的最小值： ∵，， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______． (2)若，求M的最小值． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】因式分解的应用、完全平方公式分解因式 【分析】（1）根据完全平方公式的结构即可求解； （2）类比例题求M的最小值即可； （3）先根据完全平方公式因式分解，然后根据非负数之和为0，求得的值，继而即可求解． 【详解】（1）解：∵， 故答案为：． （2）解： ∵， ∴当时，有最小值为； （3）解： ， 即， ∴， 解得：， ∴ 【点睛】本题考查了完全平方公式，因式分解的应用及偶次方的非负性，掌握完全平方公式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $