11.2乘法公式（讲义，2大知识点&7大题型&刷好题）数学新教材沪教版五四制七年级上册

本初中数学讲义聚焦“乘法公式”核心知识点，系统梳理平方差公式与完全平方公式的推导过程，结合多项式乘法法则揭示内在联系，通过几何图形验证公式意义，构建从公式结构特征辨析到变形应用的学习支架。 该资料以数形结合思想为亮点，通过正方形剪拼等几何直观培养数学眼光，设计多维度公式变形训练提升推理能力，分层题型覆盖基础运算到综合应用，助力课中教学效率提升，课后学生可通过典型例题与变式练习查漏补缺，强化运算能力与模型意识。

第十一章 整式的乘除 11.2 乘法公式 课标要点 1.能够推导平方差公式与完全平方公式，知道公式的几何背景，会运用公式开展简单的整式乘法运算. 2.理解乘法公式和多项式乘法法则的内在联系. 3.识别两个公式的结构特征，正确辨析公式，规避典型运算错误. 4.感受数形结合思想，提高整式化简代数运算的能力. 学习重难点 重点： 1.熟记两个乘法公式： ，掌握公式文字含义. 2.识别题型结构，直接套用公式完成整式计算. 3.利用公式做简便数值运算，处理公式参与的整式混合运算. 4.分清两个公式形式，牢记完全平方公式里的两倍交叉项. 难点： 1.准确定位公式中的与，a、b可以是单项式，也可以是多项式. 2.区分平方差完全平方公式结构，避免混淆，防止漏掉完全平方的项. 3.混合运算中，先套用乘法公式，再进行整式加减，理清运算顺序. 4.结合几何背景理解公式，体会数形结合思想. 知识点 平方差公式 1.平方差公式 a+b.即两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方的差. (1)仅仅是一个符号，它们可以表示数，也可以表示式子(单项式、多项式等)，只是它们的和与差的积，一定等于它们的平方差； (2)有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式，如 a+b； (3)当公式中的和不是单个数字或字母时，运用公式计算时要加括号. 2.平方差公式的特点 (1)左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数； (2)右边是完全相同项的平方减去符号相反项的平方. 3.平方差公式的几何意义 图1所示是长为，宽为的长方形，则阴影长方形的面积a+b； 从图1中剪下一个长为，宽为的小长方形，拼成如图2所示的图形， 则图2中阴影部分的面积. 从而得a+b. 平方差公式的应用一般有下面几种变形 (1)项的位置变化：a+b； (2)符号变化：； (3)系数变化：； (4)指数变化：； (5)增项变化：a+b； (6)连用公式变化：a+b； (7)逆用公式变化：a+b. 随学随练 （25-26七年级上·上海期末）下列各式中能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（   ） A． B． C． D． 知识点 完全平方公式 1.完全平方公式的推导 a+b，，即两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方的和，加上(或减去)这两个数的积的两倍. (1)在完全平方公式中，字母既能表示正数、负数和零，还能表示整式及其他我们没有学习过的代数式. (2)公式右边中间项勿忘记乘，并注意中间项的符号与公式左边末项的符号保持一致. 2.完全平方公式的特点 在公式中，左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式.其中有两项是左边括号内二项式中每一项的平方，中间一项为左边二项式中两项乘积的倍，其符号由左边括号内的符号决定.本公式可用语言叙述为：首平方、尾平方，积的二倍在中央. 3.完全平方公式的几何意义 图1是边长为的正方形，它的面积为a+b.它由部分组成，即个边长为的正方形，个边长为的正方形，个长为、宽为的长方形.部分的面积和为，即a+b. 图2是边长为的正方形，它的面积是，它由部分组成，即个边长为的正方形，个长为、宽为的长方形，个边长为的正方形.部分的面积和为 即，则. 4.完全平方公式常见变形 (1)a+b，a+b； (2)a+b； (3)； (4)a+b； (5)a+b； (6)a+b； (7)a+b； (8)； (9)a+b； (10)a+b； (11). 随学随练 （25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）计算：_____． （25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）若，，则________． 若二次三项式是一个完全平方式，则的值是___________． 题型一 运用平方差公式进行运算 ▌例1（25-26七年级上·上海·期末）下列各式中，能运用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知，，则__________． ▌对点练1-2（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算：_______． ▌对点练1-3（25-26七年级上·上海青浦·期中）简便计算：． ▌对点练1-4（25-26七年级上·上海杨浦·期末）计算：． 题型二 平方差公式与几何图形 ▌例2如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　） A． B． C． D． ▌对点练2-1从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． ▌对点练2-2（24-25七年级上·上海·期中）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（   ） A． B． C． D． ▌对点练2-3（25-26七年级上·上海崇明·期中）如图，在边长为m正方形纸片中剪去一个边长为小正方形纸片（），把剩余的部分拼成一个长方形纸片．通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式（       ） A． B． C． D． ▌对点练2-4（25-26七年级上·上海·期中）如图，正方形与正方形的面积差是5，则阴影部分的面积是________． ▌对点练2-5（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）如图1所示，有一块边长为的正方形物料，其中心是边长为的正方形空白．为避免浪费，在图1沿虚线将该物料切割成四个完全相同的图形，并将切割后的物料拼成一个平行四边形重新利用，如图2所示． (1)结合图1、图2的面积关系，你认为可以验证哪一个乘法公式？ (2)若分米，分米，求该物料的面积． ▌对点练2-6（25-26七年级上·上海松江·阶段检测）将边长分别为x，y的小正方形和大正方形按如图所示摆放，若，求图中阴影部分的总面积． 题型三 运用完全平方公式进行运算 ▌例3（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：__________． ▌对点练3-1（25-26七年级上·上海·期中）计算：________________． ▌对点练3-2（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算：__________． ▌对点练3-3（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知，那么__________． ▌对点练3-4用简便方法计算： (1)10 (2) ▌对点练3-5（25-26七年级上·上海·期末）先化简，再求值：，其中． ▌对点练3-6（25-26七年级上·上海浦东新·期末）计算：． 题型四 通过对完全平方公式变形求值 ▌例4（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知，那么的值是_______． ▌对点练4-1（25-26七年级上·上海闵行·期末）已知，，那么的值为______． ▌对点练4-2（25-26七年级上·上海·期中）已知，，，则的值______． ▌对点练4-3（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知，，则的值为______． ▌对点练4-4（24-25七年级上·上海·阶段检测）已知，则_______． 题型五 完全平方公式在几何图形中的应用 ▌例5（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）有两个正方形A，B，将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造一个大正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和45，则图2中大正方形的面积为___________． ▌对点练5-1（24-25七年级上·上海·期中）如图，点D是线段上一点，以为边向两边作正方形，面积分别是和，设，两个正方形的面积之和，则的面积为_______． ▌对点练5-2（24-25八年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，正方形与正方形的边长分别为a，b，若的面积为4，阴影部分的面积为38，则______． ▌对点练5-3（25-26七年级上·上海·期末）如图，在长方形中，，点是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，则图中阴影部分的面积和为_____．(用含的代数式表示) ▌对点练5-4（25-26七年级上·上海·阶段检测）如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为18，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2、图3中正方形纸片均无重叠部分），则图3阴影部分面积为______． ▌对点练5-5（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图①，将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为4和18，则图②所示的大正方形的面积为___________． 题型六 求完全平方式中的字母系数 ▌例6若是一个完全平方式，则的值是___________． ▌对点练6-1（25-26七年级上·上海虹口·期末）如果能用完全平方公式因式分解，那么的值是_____． ▌对点练6-2（25-26七年级上·上海·期中）如果是完全平方式，则m的值是________________． ▌对点练6-3（25-26七年级上·上海·期末）如果关于x的整式是某个关于x的整式的平方，那么常数_______． ▌对点练6-4（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则k的值是______． ▌对点练6-5（25-26七年级上·上海·期中）关于的整式是个完全平方式，则______． 题型七 乘法公式综合运用 ▌例7计算： ▌对点练7-1计算： ▌对点练7-2先化简，再求值：，其中． ▌对点练7-3（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）先化简，再求值：，其中． ▌对点练7-4（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 基础通关 （25-26七年级上·上海·期中）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． （25-26七年级上·上海杨浦·期中）如果，那么下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． （25-26七年级上·上海·期中）如果是一个完全平方式，那么可以等于（   ） A． B．2 C． D． （25-26七年级上·上海普陀·期中）计算：________． （25-26七年级上·上海·期中）计算：_______． （25-26七年级上·上海金山·期末）如果，那么_____． （25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算：______． （25-26七年级上·上海·期中）若、互为相反数，且，则____，_____． （25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：． （25-26七年级上·上海普陀·期中）运用乘法公式计算：． （25-26七年级上·上海宝山·期末）计算：． 素养提升 汽油的价格是不断变化的（如图），但由国家统一调控，在今年的月日与日油价均有下调（如图）．小丁与小李在月日与日都给各自的汽车加油．已知小丁每次加升的油，小李每次加元的油，则（     ） A．小丁的加油方式更划算 B．小李的加油方式更划算 C．两人的加油方式一样划算 D．因为油价下降幅度未知，所以无法比较 （25-26七年级上·上海普陀·期中）新定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，有一种新的运算：如果，那么________． （25-26七年级上·上海宝山·期末）计算：___． （25-26七年级上·上海·期中）请完成以下题目： (1)如图，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积．方法①________；方法②_______由此可以验证的乘法公式是_____． (2)类似地，在棱长为a的正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积．方法①_______；方法②_______．由此可以得某个多项式因式分解的等式是______，并用所学过的知识说明这个等式成立． (3)结合并使用（2）得到的等式分解因式：． 已知，则_____________． （25-26七年级上·上海·期中）若x满足，则的值为________． （24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值： (1) (2) （25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，求的值． 迁移创新 （25-26七年级上·上海闵行·期中）阅读下列材料：计算：． 解：原式 ． 运用上述方法计算：． 数形结合是一种重要的数学思想方法，通过建立数与形的联系，探索解决问题的思路． [回归教材] (1)如图1，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，可以得到一个等式为 ； 【灵活运用】 (2)若k满足，求的值； 【探究迁移】 (3)在正方形中，将两张边长分别为10和的正方形纸片，按图2，图3方式放置，图2中阴影部分为长方形，面积为，图3中阴影部分为正方形面积为，图3中四边形为正方形面积为；若，图3中的长方形周长为30，求的值． 试卷第1页，共3页 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 整式的乘除 11.2 乘法公式 课标要点 1.能够推导平方差公式与完全平方公式，知道公式的几何背景，会运用公式开展简单的整式乘法运算. 2.理解乘法公式和多项式乘法法则的内在联系. 3.识别两个公式的结构特征，正确辨析公式，规避典型运算错误. 4.感受数形结合思想，提高整式化简代数运算的能力. 学习重难点 重点： 1.熟记两个乘法公式： ，掌握公式文字含义. 2.识别题型结构，直接套用公式完成整式计算. 3.利用公式做简便数值运算，处理公式参与的整式混合运算. 4.分清两个公式形式，牢记完全平方公式里的两倍交叉项. 难点： 1.准确定位公式中的与，a、b可以是单项式，也可以是多项式. 2.区分平方差完全平方公式结构，避免混淆，防止漏掉完全平方的项. 3.混合运算中，先套用乘法公式，再进行整式加减，理清运算顺序. 4.结合几何背景理解公式，体会数形结合思想. 知识点 平方差公式 1.平方差公式 a+b.即两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方的差. (1)仅仅是一个符号，它们可以表示数，也可以表示式子(单项式、多项式等)，只是它们的和与差的积，一定等于它们的平方差； (2)有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式，如 a+b； (3)当公式中的和不是单个数字或字母时，运用公式计算时要加括号. 2.平方差公式的特点 (1)左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数； (2)右边是完全相同项的平方减去符号相反项的平方. 3.平方差公式的几何意义 图1所示是长为，宽为的长方形，则阴影长方形的面积a+b； 从图1中剪下一个长为，宽为的小长方形，拼成如图2所示的图形， 则图2中阴影部分的面积. 从而得a+b. 平方差公式的应用一般有下面几种变形 (1)项的位置变化：a+b； (2)符号变化：； (3)系数变化：； (4)指数变化：； (5)增项变化：a+b； (6)连用公式变化：a+b； (7)逆用公式变化：a+b. 随学随练 （25-26七年级上·上海期末）下列各式中能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，平方差公式为，需找出可表示为两数和与两数差相乘的选项． 【详解】解：A、不能用平方差公式计算，不符合题意； B、符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，符合题意； C、不能用平方差公式计算，不符合题意； D、不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：B． 从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．根据图1可得剩余部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，根据图2可得剩余部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，由此即可得． 【详解】解：由图1可知，剩余部分的面积为， 由图2可知，拼成的矩形的长为，宽为，则剩余部分的面积为， 所以能验证的等式是， 故选：B． 知识点 完全平方公式 1.完全平方公式的推导 a+b，，即两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方的和，加上(或减去)这两个数的积的两倍. (1)在完全平方公式中，字母既能表示正数、负数和零，还能表示整式及其他我们没有学习过的代数式. (2)公式右边中间项勿忘记乘，并注意中间项的符号与公式左边末项的符号保持一致. 2.完全平方公式的特点 在公式中，左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式.其中有两项是左边括号内二项式中每一项的平方，中间一项为左边二项式中两项乘积的倍，其符号由左边括号内的符号决定.本公式可用语言叙述为：首平方、尾平方，积的二倍在中央. 3.完全平方公式的几何意义 图1是边长为的正方形，它的面积为a+b.它由部分组成，即个边长为的正方形，个边长为的正方形，个长为、宽为的长方形.部分的面积和为，即a+b. 图2是边长为的正方形，它的面积是，它由部分组成，即个边长为的正方形，个长为、宽为的长方形，个边长为的正方形.部分的面积和为 即，则. 4.完全平方公式常见变形 (1)a+b，a+b； (2)a+b； (3)； (4)a+b； (5)a+b； (6)a+b； (7)a+b； (8)； (9)a+b； (10)a+b； (11). 随学随练 （25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式．利用完全平方公式计算，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． （25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）若，，则________． 【答案】50 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用．将和根据完全平方公式展开，得到与，然后把这两个式子相加，通过合并同类项消去项，从而求出的值． 【详解】解：∵，， ∴①，②， 由①+②得：， ∴， 故答案为：50． 若二次三项式是一个完全平方式，则的值是___________． 【答案】6或 【分析】直接利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即或． 【点睛】掌握完全平方公式是解题的关键． 题型一 运用平方差公式进行运算 ▌例1（25-26七年级上·上海·期末）下列各式中，能运用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式，平方差公式适用于形式为的表达式，其中a和b是数或代数式．逐项判断是否符合此形式即可． 【详解】解：A．∵ ，不符合平方差公式，故此选项不符合题意； B．∵ ，不符合平方差公式，故此选项不符合题意； C．∵ ，令，，则原式 ，符合平方差公式，故此选项符合题意； D．∵ ，不符合平方差公式，故此选项不符合题意； 故选：C． ▌对点练1-1（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知，，则__________． 【答案】 【分析】根据平方差公式变形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ▌对点练1-2（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算：_______． 【答案】1 【分析】将2024变形为，2026变形为，再利用平方差公式展开化简计算即可得到结果． 【详解】解： ． ▌对点练1-3（25-26七年级上·上海青浦·期中）简便计算：． 【答案】 【分析】先把带分数拆成整数与分数的差或和，再利用平方差公式简化运算． 【详解】解：原式 ． ▌对点练1-4（25-26七年级上·上海杨浦·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用平方差公式进行计算即可得出结果，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解： ． 题型二 平方差公式与几何图形 ▌例2如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，由图1中大正方形的面积小正方形的面积图2长方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由题意，； 故选D． ▌对点练2-1从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分是由四个相同的等腰梯形拼成的平行四边形，根据平行四边形面积公式：平行四边形面积=底高，观察图形可知，该平行四边形的底为大正方形边长与小正方形边长之和，即，高为大正方形边长与小正方形边长之差，即，得阴影部分的面积为， ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等， ∴， ∴可以验证成立的公式为． 故选：C． ▌对点练2-2（24-25七年级上·上海·期中）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用两种方法表示出图形的面积，即可得解． 【详解】解：在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形， ∴第一个图形中剩余的面积为：， 由第一个图形可知，大平行四边形的高为：, ∴第二个图形的大平行四边形的面积为， ∴； 故选：C． ▌对点练2-3（25-26七年级上·上海崇明·期中）如图，在边长为m正方形纸片中剪去一个边长为小正方形纸片（），把剩余的部分拼成一个长方形纸片．通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的图解，关键是通过几何图形之间的数量关系推出平方差公式． 根据题中的两个图形分别表示出阴影部分的面积，再根据阴影部分的面积相等即可得到相应的等式，据此即可作答． 【详解】解：根据第一个图可知：阴影部分的面积为：； 根据第二个图可知：阴影部分的面积为：； ∴， 故选C． ▌对点练2-4（25-26七年级上·上海·期中）如图，正方形与正方形的面积差是5，则阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式在几何图形中的应用，解题的关键是用含、的代数式表示出阴影部分的面积．设正方形与正方形的边长分别为和，根据两者面积差为5，可得．利用含、的代数式表示出阴影部分的面积，将整体代入即可求解． 【详解】解：设正方形与正方形的边长分别为和， 由题意得：． 由图形可得： ． 故阴影部分的面积为2.5． 故答案为：． ▌对点练2-5（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）如图1所示，有一块边长为的正方形物料，其中心是边长为的正方形空白．为避免浪费，在图1沿虚线将该物料切割成四个完全相同的图形，并将切割后的物料拼成一个平行四边形重新利用，如图2所示． (1)结合图1、图2的面积关系，你认为可以验证哪一个乘法公式？ (2)若分米，分米，求该物料的面积． 【答案】(1) (2)28平方分米 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，解题的关键是： （1）图①中阴影部分的面积可以表示为大正方形的面积与小正方形面积的差；图②中平行四边形的底为，高为，面积等于；由此可解． （2）把a、b 的值代入计算即可， 【详解】（1）解：∵图1中阴影部分的面积为；图②的面积可以表示为， ∴； （2）解：当，时， ， 即该物料的面积为28平方分米． ▌对点练2-6（25-26七年级上·上海松江·阶段检测）将边长分别为x，y的小正方形和大正方形按如图所示摆放，若，求图中阴影部分的总面积． 【答案】 【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，解题的关键是线段的和差问题，再利用面积公式计算．利用图形可得到两个阴影部分面积的高，求出面积的表达式，用面积公式计算即可． 【详解】解：由题意得大三角形的高为： ，小三角形的高为：， 图中阴影部分的总面积为： ， ， ，即：， 图中阴影部分的总面积为． 题型三 运用完全平方公式进行运算 ▌例3（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：__________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：． ▌对点练3-1（25-26七年级上·上海·期中）计算：________________． 【答案】 【详解】解： ． ▌对点练3-2（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式平方公式的应用，熟练掌握多项式平方公式计算是解题的关键．注意细心计算．使用多项式平方公式展开计算． 【详解】根据多项式平方公式，其中，，， 代入公式： ． 故答案为：． ▌对点练3-3（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知，那么__________． 【答案】10 【分析】首先将两边除以x得到，然后两边同时平方得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ▌对点练3-4用简便方法计算： (1)10 (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式进行简便运算． （2）应完全平方公式进行简便运算． 【详解】（1）解：． （2）解： ． ▌对点练3-5（25-26七年级上·上海·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式 ． ▌对点练3-6（25-26七年级上·上海浦东新·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则． 先根据完全平方公式和多项式乘以多项式法则计算，再去括号，合并同类项即可． 【详解】解： 题型四 通过对完全平方公式变形求值 ▌例4（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知，那么的值是_______． 【答案】 【分析】该题考查了完全平方公式，通过将原方程分组并配成完全平方形式，得到两个非负式之和等于零，从而求出和的值，再计算． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴，， 解得：，． 因此． 故答案为：． ▌对点练4-1（25-26七年级上·上海闵行·期末）已知，，那么的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式的变形，通过计算与的差得到，进而求出的值，即可作答． 【详解】解：，． 将两式相减，得， 即， ∴． 故答案为：． ▌对点练4-2（25-26七年级上·上海·期中）已知，，，则的值______． 【答案】 12 【分析】本题主要考查了运用完全平方公式求值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．根据，然后将代入求解即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ▌对点练4-3（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知，，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查的是利用完全平方公式的变形求解代数式的值，利用完全平方公式求出和的值，再代入所求表达式计算． 【详解】解：∵，． ∴， ∴， ∴． 将两式相减，得：， ∴， ∴． ∴． 故答案为： ▌对点练4-4（24-25七年级上·上海·阶段检测）已知，则_______． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式的变形运算，先利用完全平方公式求出的值，进而求解即可，掌握完全平方公式的变形运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 题型五 完全平方公式在几何图形中的应用 ▌例5（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）有两个正方形A，B，将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造一个大正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和45，则图2中大正方形的面积为___________． 【答案】95 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，设两个正方形的边长分别为，图1和图2中阴影部分的面积分别为和，进而求出，则，即可得解． 【详解】解：设两个正方形的边长分别为， 由图1可得：， ， 由图2可得：， ， ， ， 图2中大正方形的面积为， 故答案为：95． ▌对点练5-1（24-25七年级上·上海·期中）如图，点D是线段上一点，以为边向两边作正方形，面积分别是和，设，两个正方形的面积之和，则的面积为_______． 【答案】7 【分析】本题考查完全平方公式的几何应用，找到边与边关系是解答的关键．设，，根据题意得到，，利用完全平方公式求得，进而利用三角形的面积公式可求解． 【详解】解：设，， ∵，两个正方形的面积之和， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴， 故答案为：7． ▌对点练5-2（24-25八年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，正方形与正方形的边长分别为a，b，若的面积为4，阴影部分的面积为38，则______． 【答案】10 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先根据三角形的面积得出，再根据阴影部分的面积为​，求出，根据完全平方公式变形为，求出，进而可得出答案． 【详解】解：∵正方形与正方形的边长分别为a，b，的面积为4， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为​， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：10． ▌对点练5-3（25-26七年级上·上海·期末）如图，在长方形中，，点是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，则图中阴影部分的面积和为_____．(用含的代数式表示) 【答案】/ 【分析】本题考查完全平方公式的应用，关键是通过设未知数表示出相关线段长度，利用完全平方公式将两个正方形的面积和转化为含的代数式．设，先根据长方形的边长性质和已知条件表示出和的长度，结合长方形的面积得到，再利用完全平方公式，将两个正方形的面积和转化为含的式子，代入计算即可得出结果． 【详解】解：设， ∵四边形是长方形，，， ∴，，． ∵长方形的面积为， ∴． ， 根据完全平方公式：， 令，，则， ∴． 故答案为：． ▌对点练5-4（25-26七年级上·上海·阶段检测）如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为18，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2、图3中正方形纸片均无重叠部分），则图3阴影部分面积为______． 【答案】38 【分析】此题考查完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解图形的构成，正确掌握完全平方公式是解题的关键．由图1可知，阴影部分面积，图2可知，阴影部分面积，进而得到，由图3可知，阴影部分面积，进而即可求解． 【详解】解：设A卡片的边长为a，B卡片的边长为b，则A卡片的面积为，B卡片的面积为， 图1中阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，， 图2阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，， 图3阴影部分的面积可以表示为 ， 故答案为：． ▌对点练5-5（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图①，将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为4和18，则图②所示的大正方形的面积为___________． 【答案】40 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由面积得，，整理得，，即可求解；掌握、、三者之间的关系是解题的关键． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 由图①得：， ， ， 由图②得：， ， ， ， ∴图②所示的大正方形的面积： ， 故答案为：40． 题型六 求完全平方式中的字母系数 ▌例6若是一个完全平方式，则的值是___________． 【答案】 【分析】利用完全平方式的结构特征列式计算，即可确定出的值． 【详解】解：是一个完全平方式，且， 或 ， 解得或， ▌对点练6-1（25-26七年级上·上海虹口·期末）如果能用完全平方公式因式分解，那么的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据式子的二次项系数和常数项的值推出一次项系数，使得它能够构成完全平方式． 【详解】解：表达式需匹配完全平方公式的形式， 令，， 则， 因此， 解得， 故答案为：． ▌对点练6-2（25-26七年级上·上海·期中）如果是完全平方式，则m的值是________________． 【答案】5或1 【分析】根据完全平方式的结构特征，可判断首末两项是和的平方，中间项应为加上或减去与乘积的倍，据此列方程求解． 【详解】解：是完全平方式， ， 当时，等式两边同除以得，解得， 当时，等式两边同除以得，解得． ▌对点练6-3（25-26七年级上·上海·期末）如果关于x的整式是某个关于x的整式的平方，那么常数_______． 【答案】1或 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式，即可求得一次项系数． 【详解】解：整式是完全平方式，且， ． 故答案为：1或． ▌对点练6-4（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则k的值是______． 【答案】或6 【分析】此题考查完全平方式，熟知完全平方式的特征是解答的关键． 根据整式为完全平方式，比较系数求解即可． 【详解】解：∵关于x的整式是某个关于x的整式的平方， ∴， ∴， ∴，解得或． 故答案为：或6． ▌对点练6-5（25-26七年级上·上海·期中）关于的整式是个完全平方式，则______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据完全平方公式，将整式与的形式比较系数，求出与的关系，进而得到的值，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：由整式是一个完全平方式， 设， ∴比较系数得，即，，即，又， ∴，即或， 当时，，当时，， 故答案为：或． 题型七 乘法公式综合运用 ▌例7计算： 【答案】 【分析】利用平方差公式和完全平方公式展开各项，再去括号合并同类项即可得到结果． 【详解】解：原式 ． ▌对点练7-1计算： 【答案】 【分析】先将原式变形为平方差公式的标准形式，再利用平方差公式和完全平方公式展开化简． 【详解】解：原式 ． ▌对点练7-2先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算整式的乘法，再合并同类项得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． ▌对点练7-3（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】，8 【详解】解： ， ∵ ∴原式． ▌对点练7-4（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】利用完全平方公式、平方差公式和多项式乘多项式法则展开，再合并同类项，最后代入已知值计算即可． 【详解】解：原式 ， 把代入得： 原式 ． 基础通关 （25-26七年级上·上海·期中）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式乘法，熟练掌握完全平方公式，平方差公式以及多项式乘以多项式的法则是解题的关键． 根据整式乘法的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A. ，计算正确，不符合题意； B. ，计算正确，不符合题意； C. ，计算正确，不符合题意； D. ，计算错误，符合题意； 故选：D． （25-26七年级上·上海杨浦·期中）如果，那么下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，易错点是符号的变化规律，以及偶次方和奇次方的性质．通过计算每个等式的左右两边，发现选项A、B、D在时均不成立，而选项C恒成立． 【详解】解：A、，故本选项错误，不合题意； B、，故本选项错误，不合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不合题意； 故选：C． （25-26七年级上·上海·期中）如果是一个完全平方式，那么可以等于（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键．根据完全平方式的结构特征解答即可． 【详解】解：是一个完全平方式， ， ． 故选：D． （25-26七年级上·上海普陀·期中）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式特征是解答的关键． 根据完全平方公式直接计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． （25-26七年级上·上海·期中）计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，单项式乘多项式和合并同类项，根据平方差公式以及单项式乘多项式的计算方法进行计算即可，掌握平方差公式的结构特征以及单项式乘多项式的计算方法是解题的关键． 【详解】原式 = 解：原式 故答案为：. （25-26七年级上·上海金山·期末）如果，那么_____． 【答案】4 【分析】此题考查了完全平方公式，代数式求值， 首先由得到，然后将所求代数式通过完全平方公式变形，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：4． （25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式的应用，准确计算是解题的关键． 通过观察表达式，将项重新组合，使其符合平方差公式的形式，然后利用公式化简并展开． 【详解】 ， 故答案为 ． （25-26七年级上·上海·期中）若、互为相反数，且，则____，_____． 【答案】 1 【分析】本题考查了平方差公式，相反数的性质，解二元一次方程组；根据平方差公式将方程变形，利用与互为相反数的条件得到，进而求解方程组． 【详解】解：与互为相反数，． 方程，应用平方差公式得： ， 即． 代入，得， 两边除以，得， 即． 联立方程组： ， 解得： 故答案为：，． （25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用平方差公式和完全平方公式计算即可得出结果，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解： ． （25-26七年级上·上海普陀·期中）运用乘法公式计算：． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，将原式变形为平方差公式的形式计算即可． 【详解】解： ． （25-26七年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式、完全平方公式，再计算整式的加减即可得． 【详解】解：原式 ． 素养提升 汽油的价格是不断变化的（如图），但由国家统一调控，在今年的月日与日油价均有下调（如图）．小丁与小李在月日与日都给各自的汽车加油．已知小丁每次加升的油，小李每次加元的油，则（     ） A．小丁的加油方式更划算 B．小李的加油方式更划算 C．两人的加油方式一样划算 D．因为油价下降幅度未知，所以无法比较 【答案】B 【分析】先设两次油价分别为，分别根据两人固定加油升数、固定加油金额的方式，求出小丁、小李各自的平均油价代数式，再用作差法将两个平均油价相减，通分化简得到完全平方形式，结合已知条件判断差值大于，得出小丁平均油价更高，小李加油方式更划算． 【详解】解：设月日油价为元/升，月日油价为元/升，由于油价连续下调，因此， 小丁每次加升，两次总花费为，总油量为升，因此平均油价： 小李每次加元，两次总花费为元，总油量为，因此平均油价： 由于， 因此，且分母， 可得，即， 即小李的加油方式更划算． （25-26七年级上·上海普陀·期中）新定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，有一种新的运算：如果，那么________． 【答案】4 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据定义的新运算，结合完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． （25-26七年级上·上海宝山·期末）计算：___． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，掌握公式特点并灵活运用是关键； 观察到1002025、1002026和1002027是三个连续整数，设，则，，原式，利用平方差公式简化计算． 【详解】解：设，则，， 原式， ， 故答案为． （25-26七年级上·上海·期中）请完成以下题目： (1)如图，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积．方法①________；方法②_______由此可以验证的乘法公式是_____． (2)类似地，在棱长为a的正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积．方法①_______；方法②_______．由此可以得某个多项式因式分解的等式是______，并用所学过的知识说明这个等式成立． (3)结合并使用（2）得到的等式分解因式：． 【答案】(1)；；； (2)；；，证明见解析； (3) 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，弄清楚图中阴影部分面积的求法是解题的关键． （1）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （2）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （3）可将看作，进而根据计算即可． 【详解】（1）解：方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：右边左边 ； 故答案为：；；； （2）解：方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：右边 左边 ； 故答案为：；；； （3）解： ． 已知，则_____________． 【答案】 【分析】将原式通过配方法变形为三个完全平方式的和，利用非负数的性质求出x，y，z的值，再计算的值即可． 【详解】对原方程配方变形：， 即， ∵平方数都具有非负性，即任意实数的平方都大于等于0，三个非负数的和为0，则每个非负数都为0， ∴，，， 解得：，，， ∴． （25-26七年级上·上海·期中）若x满足，则的值为________． 【答案】2019 【分析】本题考查利用完全平方公式变形求值，设，，则已知 ，且．利用完全平方公式 ，代入已知值求解即可． 【详解】解：设，，则，； ∵， ∴，即 ∴ ∴ 故； 故答案为：2019． （24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)41 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形求值，即可求解． （2）根据完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 当，时，． （2）解：因为， 所以， 当，时，． （25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了偶次方的非负性，整式混合运算的化简求值等知识点，能灵活运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 先根据完全平方公式将原式变形为，求出，，然后代入计算即可． 【详解】解： ， ∴， ， 所以， 解得， ∴． 迁移创新 （25-26七年级上·上海闵行·期中）阅读下列材料：计算：． 解：原式 ． 运用上述方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 依据材料将算式变形为，然后根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解：   ． 数形结合是一种重要的数学思想方法，通过建立数与形的联系，探索解决问题的思路． [回归教材] (1)如图1，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，可以得到一个等式为 ； 【灵活运用】 (2)若k满足，求的值； 【探究迁移】 (3)在正方形中，将两张边长分别为10和的正方形纸片，按图2，图3方式放置，图2中阴影部分为长方形，面积为，图3中阴影部分为正方形面积为，图3中四边形为正方形面积为；若，图3中的长方形周长为30，求的值． 【答案】(1) (2)13 (3)59 【分析】（1）图1中阴影部分是一个边长为的正方形，图1中阴影部分的面积等于最大的正方形的面积减去1个边长为的正方形面积，再减去2个长为，宽为的长方形面积，据此分别表示出图1中阴影部分 的面积即可得到答案； （2）设，则，，再根据求解即可； （3）设，则，根据，得到；根据图3中的长方形周长为30，得到，则可得到，据此可得；可求出，据此可得答案． 【详解】（1）解：图1中阴影部分是一个边长为的正方形，其面积为， 图1中阴影部分的面积等于最大的正方形的面积减去1个边长为的正方形面积，再减去2个长为，宽为的长方形面积，即为， ∴； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得； ∴， ∴ ； （3）解：设，则， ∵， ∴， ∵图3中的长方形周长为30， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 试卷第1页，共3页 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $