专题03 与圆有关的最值问题14种常见考法归类（题型专练）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以14类圆的最值考法为核心，构建“原理-步骤-易错”三维方法体系，实现从几何直观到代数转化的递进式逻辑训练。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |14类题型|每题型1例+3变式|核心逻辑（如圆心距与半径关系）、解题步骤（如“求心距-算最值”）、易错提醒（如直线与圆相交时距离最小值为0）|从基础距离（点/线/两圆）到代数化（斜率/截距/数量积），再到特殊模型（阿氏圆/三角换元），形成“几何直观→代数转化→综合应用”的递进链条|

专题03 与圆有关的最值问题14种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 圆上的点到定点的距离的最值问题 题型 02 两圆上的动点的距离最值 题型 03 圆上的点到直线的距离最值 题型 04 圆的切线长最值问题 题型 05 过圆内定点的弦长最值 题型 06 斜率型最值问题 题型 07 截距型最值问题 题型 08 距离型最值问题 题型 09 数量积型最值问题 题型 10 角度型最值问题 题型 11 面积型最值问题 题型 12 利用对称性求最值 题型 13 阿波罗尼斯圆的逆用 题型 14 利用三角换元求最值 ▌题型01 圆上的点到定点的距离的最值问题 1.核心逻辑 定点，圆半径。连接定点与圆心，连线与圆的两个交点就是取到最大、最小值的位置。 最大值：定点到圆心距离加上半径；最小值：定点到圆心距离减去半径（定点在圆内时为）。 2.解题步骤 ①求出圆心、半径； ②计算定点到圆心距离； ③最大值，最小值； ④若求距离平方的最值，将最大、最小值分别平方。 3.易错提醒 定点在圆内时，最小值不是，要取；不要直接拿半径当做最值。 【例1】（26-27高二·全国·课后作业）已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（2026高二·云南曲靖·期末）设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 【变式1-2】（2026·湖南永州·模拟预测）已知点，点，点M满足，则线段长的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】【多选】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知点，，M为圆O：上一点，则（   ） A．点B在圆O外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 ▌题型02 两圆上的动点的距离最值 1.核心逻辑 两圆圆心，半径，圆心距。两圆上各取一动点，两点距离最值由两圆心连线决定。 最大值：；最小值：（内含时为）。 2.解题步骤 ①分别写出两个圆的圆心、半径； ②计算两圆圆心之间距离； ③直接套用公式写出距离的最大值、最小值； ④写出取值范围。 3.易错提醒 分不清两圆位置关系（相离、相交、内含），直接套用同一套公式。 【例2】（2026·江西·模拟预测）已知，，则的最小值为（     ） A．1 B．4 C．8 D．16 【变式2-1】（2026高二·安徽合肥·期末）已知点分别为圆与圆的任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026高二·安徽滁州·开学考试）已知两定点，，如果动点满足，点是圆上的动点，则的最大值为__________． 【变式2-3】（2026高三·山东枣庄·期末）已知直线与直线相交于点A，点B是圆上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． ▌题型03 圆上的点到直线的距离最值 1.核心逻辑 先求圆心到定直线距离。 圆上点到直线距离最大值，最小值； 若直线穿过圆内部（），则最小值为。 2.解题步骤 ①求圆心坐标、半径； ②用点到直线距离公式，计算圆心到直线距离； ③最大值；最小值； ④若，直线与圆相交，圆上存在点落在直线上，最小值为。 3.易错提醒 直线和圆相交时，仍然写作为最小值，忽略最小值可以取0。 【例3】（26-27高三·黑龙江辽宁·开学考试）已知直线，圆，P，Q分别为直线l与圆O上的动点，则的最小值为__________． 【变式3-1】（26-27高二·全国·课后作业）已知点在圆上，点，，则点到直线的距离的最大值为__________；当最小时，的长度为__________． 【变式3-2】（26-27高三·北京·开学考试）已知直线和圆，点在直线上，点在圆上，则最小值为（     ） A．1 B．3 C．6 D．9 【变式3-3】（26-27高三·上海·开学考试）已知直线: 和直线:，则曲线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值为__________． ▌题型04 圆的切线长最值问题 1.核心逻辑 圆外一点引圆切线，切点，由勾股定理：。 切线长大小由点到圆心距离决定：越小，切线长越小；越大，切线长越大。 若动点在某条直线上，则最小值就是圆心到这条直线的垂线段长。 2.解题步骤 ①确定圆心、半径； ②找到动点所在轨迹（直线/圆），求的最值； ③代入勾股公式，算出切线长最值。 3.易错提醒 忘记勾股关系，直接把点到圆心距离当作切线长；开根号前忘记平方运算。 【例4】（26-27高三·全国·一轮复习）由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【变式4-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆，直线，过直线上的点作圆的切线（为切点），则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 【变式4-2】（2026·江苏·模拟预测）已知圆，是直线上一点，以为直径的圆与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【变式4-3】（2026高三·天津·专题练习）若，圆，则过作圆的切线，切点为，则的最小值为___________. ▌题型05 过圆内定点的弦长最值 1.核心逻辑 定点在圆内部。垂径定理，是圆心到弦的距离。 最长弦：过该定点的直径，弦长等于直径； 最短弦：过定点且与圆心‑定点连线垂直的弦；。 2.解题步骤 ①判断定点在圆内； ②最长弦直接取直径； ③计算圆心到定点距离； ④最短弦长； ⑤最短弦所在直线：与垂直，过定点。 3.易错提醒 定点在圆外部，不存在最短弦；混淆最长、最短弦条件；忽略斜率不存在的情况。 【例5】（2026高一·北京延庆·期末）已知点，圆. (1)设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程. 【变式5-1】（2026高二·福建福州·期末）若以点为圆心的圆A与直线相切，直线． (1)求圆A的标准方程； (2)求直线被圆A截得的最短弦长及此时直线的方程． 【变式5-2】（2026·湖北荆门·模拟预测）圆被直线所截得的最短弦长为______． 【变式5-3】【多选】（2026高二·重庆·阶段检测）已知直线和圆，则（   ） A．存在使得直线与直线垂直 B．直线恒过定点 C．直线与圆可能相切 D．直线被圆截得的最短弦长为 ▌题型06 斜率型最值问题 1.核心逻辑 目标，几何含义：圆上动点与定点连线的斜率。 临界状态：直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径，解出斜率的边界。 2.解题步骤 ①设，整理直线方程； ②利用圆心到直线距离等于半径列方程； ③解出，得到斜率最大值、最小值； ④注意：存在竖直切线时，某一侧斜率无界。 3.易错提醒 漏掉竖直直线斜率不存在的情况；定点在圆内，所有斜率都存在，没有切线限制。 【例6】（26-27高二·河南焦作·开学考试）已知实数满足方程，求的最大值和最小值（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】【多选】（2026高二·广西南宁·期末）已知斜率的直线过定点，圆：，为圆上的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为 【变式6-2】（2026高三·全国·专题练习）已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 【变式6-3】（2026高二·全国·专题练习）已知实数，满足方程．求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； ▌题型07 截距型最值问题 1.核心逻辑 目标，变形；是直线纵截距。 的变化等价于一组平行直线上下平移，临界位置为直线与圆相切。 2.解题步骤 ①令，整理为； ②圆心到直线距离等于半径：； ③解出两个解，即为的最大值、最小值。 3.易错提醒 时不能看成纵截距，直接按距离公式计算；不要混淆截距和目标。 【例7】（2026高一·全国·专题练习）已知圆：，为圆上任意一点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【变式7-1】已知实数满足方程.求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； (3)的最大值和最小值． 【变式7-2】（2026高二·河南新乡·阶段检测）实数x，y满足． (1)求的最小值； (2)求的最大值． 【变式7-3】（2026高三·广东清远·期中）已知实数、满足方程．求： (1)的最大值和最小值； (2)的最小值； (3)的最大值和最小值． ▌题型08 距离型最值问题 1.核心逻辑 包括圆上点到定点距离、距离的平方；圆上点到直线距离。 距离平方：先求距离最值，再平方；不要直接把圆心距离平方代替。 2.解题步骤 ①分清：动点是圆上点；目标是距离还是距离平方； ②几何法：利用圆心、定点、半径求距离最值； ③求距离平方：将距离最值整体平方； ④也可以用三角换元，转化三角函数求值域。 3.易错提醒 求距离平方时，直接计算，忘记加减半径；混淆点在圆内、圆外。 【例8】（2026高二·北京顺义·期中）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的直线与圆相交于、两点.且. (1)求圆的标准方程； (2)求直线的方程； (3)为圆上任意一点，求的最小值. 【变式8-1】（2026高二·天津·期中）已知以点为圆心的圆与直线相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆相交与，两点，当时，求直线方程： (3)已知实数，满足圆的方程，求的取值范围. 【变式8-2】（2026高三·北京顺义·期中）在平面直角坐标系中，圆，直线和点. (1)求圆心到直线的距离； (2)动点在圆上， ①求的最大值与最小值； ②求的取值范围.（直接写出答案） 【变式8-3】（【必夺分】突破点36几何法研究直线与圆）点在曲线上，求的取值范围. ▌题型09 数量积型最值问题 1.核心逻辑 圆上动点，。 方法一：坐标法，设圆上点，展开数量积转化为表达式，用几何意义或三角换元； 方法二：向量极化恒等式，（是中点），转化为圆上点到定点距离的最值。 2.解题步骤 ①找中点，用极化恒等式转化为的最值； ②求圆上点到定点距离的最大、最小值； ③代回式子算出数量积最值。 3.易错提醒 极化恒等式记错公式；展开坐标运算计算出错。 【例9】（2026高三·山东·阶段检测）直线与圆交于，两点，且的面积为2，已知是圆上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2026·山东青岛·模拟预测）已知点是圆：上一点，点，，的最大值为（     ） A． B．4 C． D．2 【变式9-2】（2026高一·北京·期末）在中，，，，点为所在平面内的一个动点，且，则的最大值是（   ）. A． B． C． D． 【变式9-3】（26-27高三·安徽蚌埠·开学考试）如图，边长为2的正方形内接于圆，是劣弧（包括端点）上一点，则的取值范围为______. ▌题型10 角度型最值问题 1.核心逻辑 圆上动点产生角；两类模型： ①在圆外：过作两条切线，切线时张角最大；离圆越远，张角越小。 ②定线段，圆上动点使得为定值：利用圆周角定理，找辅助圆，两圆有公共点求参数。 2.解题步骤 ①判断动点位置，分清角是张角还是圆周角； ②切线模型：切线位置取最大角，利用直角三角形三角函数求角度； ③定值角模型：构造辅助圆，两圆有交点，利用圆与圆位置关系列不等式。 3.易错提醒 分不清什么时候取最大角；忽略角度为钝角、直角的边界条件。 【例10】（2026高三·北京·开学考试）若点 是圆 上的任一点，直线 与轴，轴分别相交于 两点，则最小值为_____． 【变式10-1】（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2026高二·全国·专题练习）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式10-3】（2026高二·广东深圳·期中）已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为_____________. ▌题型11 面积型最值问题 1.核心逻辑 三角形、四边形面积。常见两类： ①底边固定，面积最值等价于动点到底边的高的最值；高用圆上点到直线距离； ②切线相关四边形：拆成直角三角形，利用切线长求面积。 2.解题步骤 ①固定底边：求圆上动点到底边所在直线距离的最大、最小值； ②，代入高的最值得到面积最值； ③切线四边形：拆为两个全等直角三角形，用切线长计算面积。 3.易错提醒 高的最值没有结合圆的半径；忘记面积公式系数。 【例11】（26-27高三·湖南衡阳·开学考试）直线分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆上,则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2026·重庆渝中·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【变式11-2】（2026高二·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 【变式11-3】（2026高二·湖北武汉·阶段检测）阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，当P，A，B不共线时，面积的最大值是______． ▌题型12 利用对称性求最值 1.核心逻辑 动点分布在直线、圆上，求折线段最值；将军饮马思想：做定点关于直线的对称点，折线段拉直成两点之间线段。 2.解题步骤 ①识别哪一个点在定直线上运动； ②作出定点关于该直线的对称点； ③将折线段转化为两点距离，再结合圆上点距离公式（）求最值； ④取等条件：各点共线。 3.易错提醒 对称点计算坐标出错；忘记再加减圆半径。 【例12】（26-27高三·湖南衡阳·开学考试）已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______. 【变式12-1】（2026·江苏无锡·模拟预测）已知圆：，圆：，M，N分别是圆，上的动点，P是轴上的动点，则的最小值为___________. 【变式12-2】（2026高二·福建厦门·阶段检测）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式12-3】（2026高二·浙江温州·期末）已知直线与直线相交于点A，点B是直线的动点，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． ▌题型13 阿波罗尼斯圆的逆用 1.核心逻辑 到两定点距离之比，动点轨迹是圆（阿氏圆）； 逆用：已知动点在阿氏圆上，把转化成另一段线段，实现“系数归一”，求的最值。 2.解题步骤 ①根据比值条件，求出阿氏圆的圆心与半径； ②找到圆内对应的定点（反演点），实现等价替换； ③把原式转化为两条线段相加，用两点之间线段最短求最值； ④结合圆上点距离公式得到结果。 3.易错提醒 反演定点找错；时轨迹是中垂线，不是圆。 【例13】（2026高一·湖南邵阳·阶段检测）已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（    ） A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上不存在点，使得 D．上的点到直线的最小距离为1 【变式13-1】（2026高三·全国·专题练习）已知点A，B分别为x，y轴上的两个动点，且满足，点为线段AB的中点，已知，，则的最小值为_________． 【变式13-2】【多选】（2026高二·江苏镇江·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值且的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（   ） A．曲线C与圆有且仅有三条公切线 B．曲线C关于直线对称的曲线方程为 C．若点在曲线C上，则的取值范围是 D．在x轴上存在异于A，B的两点E，F，使得 【变式13-3】（2026高二·湖北荆州·开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为_______． ▌题型14 利用三角换元求最值 1.核心逻辑 圆，设参数： · 将全部替换为三角函数，转化三角函数求值域。适合：斜率、截距、数量积、距离平方等复杂代数目标。 2.解题步骤 ①写出圆的参数方程； ②代入目标表达式，整理成； ③辅助角公式； ④三角函数值域，得到最值。 3.易错提醒 参数方程写错，圆心坐标漏掉；辅助角公式计算出错；忽略的取值范围。 【例14】（2026·河北·模拟预测）如图，在直角梯形中，，点M在以为直径的半圆上，且满足，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式14-1】（2026高三·河南开封·阶段检测）已知点，点为圆上一动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】【多选】（2026高二·广东珠海·期中）已知点，，，且点是圆：上的一个动点，则的值可以是（    ） A．66 B．79 C．86 D．89 【变式14-3】（2026高二·上海·阶段检测）已知实数满足，则的最大值和最小值之和为__________. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 与圆有关的最值问题14种常见考法归类 ▌题型01 圆上的点到定点的距离的最值问题 【例1】【答案】B 【分析】求得动圆圆心轨迹方程，根据圆上点到直线距离最值计算公式计算求解. 【详解】半径为3的圆经过点，可得该圆的圆心轨迹是以为圆心，3为半径的圆，，， 所以圆心到原点距离的最小值是． 【变式1-1】【答案】C 【详解】因为，所以点在圆外，又, 故的最大值为. 【变式1-2】【答案】C 【分析】由题可知点M的轨迹是以为圆心，半径的圆，则，代入数值求解. 【详解】由题可知，点M的轨迹是以为圆心，半径的圆. 则， 所以. 【变式1-3】【答案】ABD 【分析】由点与圆心间的距离与圆的半径比较，确定点与圆的位置关系，判断A；求出圆上的点到定点的距离的最大值为定点到圆心的距离加上圆半径，判断B；设，表示出，得其关系，即可判断C；求得，即可得其最大值，判断D. 【详解】对于A，，所以B在圆O外，故A正确； 对于B，由图知，当且仅当点为圆与轴的左交点时取等，故B正确； 对于C，D，设，则， 故， ， 则，故C错误； 所以由B项可得，，当且仅当时取等，故D正确． ▌题型02 两圆上的动点的距离最值 【例2】【答案】A 【分析】根据圆的标准方程结合两点间距离得出圆的位置关系计算求解即可. 【详解】点在以为圆心，1为半径的圆上，点在以为圆心，7为半径的圆上， 两圆心距，则两圆内含， ，， 则． 【变式2-1】【答案】B 【分析】先判定两圆的位置关系为相离的关系，然后利用几何方法得到的取值范围. 【详解】的圆心为,半径， 的圆心为,半径， 圆心距， ∴两圆相离， ∴， 故选：B. 【变式2-2】【答案】/ 【分析】由已知条件可求得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，则的最大值为两圆圆心距加两圆半径. 【详解】设点坐标，，， ，即，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又点是圆上的动点，如图， 由图可知，的最大值为两圆圆心距加两圆半径，即． 故答案为：． 【变式2-3】【答案】C 【解析】求出点的轨迹方程，确定点轨迹，然后通过几何意义求得最大值． 【详解】由，消去参数得， 所以在以为圆心，为半径的圆上， 又点B是圆上的动点，此圆圆心为，半径为， ， ∴的最大值为． 故选：C. 【点睛】本题考查交轨法求轨迹方程，考查两点间的距离公式．由圆的性质知某点到圆上的点间距离的最大值可以转化为到圆心的距离与半径的和． ▌题型03 圆上的点到直线的距离最值 【例3】【答案】1 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此直线与圆相离，所以的最小值为. 【变式3-1】【答案】 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，利用几何性质，结合点到直线距离公式求出最大值，再作出图形，确定角最小时直线的位置求解. 【详解】依题意，直线的直线方程为，即，圆的圆心，半径为4， 圆心到直线的距离为，因此点到直线的距离的最大值为； 如图：当最小时，直线与圆相切，又，，所以. 【变式3-2】【答案】B 【详解】圆心到直线的距离为：， 所以直线上的点与圆上的点的距离的最小值为： . 【变式3-3】【答案】 【分析】利用三角换元，把动点到直线和直线的距离之和表示为的函数，然后通过求解该函数的最小值即可求解. 【详解】图形如下所示，设，， 则到直线和直线的距离之和为 由辅助角公式， 所以当，即时有最小值. ▌题型04 圆的切线长最值问题 【例4】【答案】C 【详解】圆即为，可知圆心为，半径， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A，连接CA， 在中，．要使最小，则应最小． 又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为． 故的最小值为． 【变式4-1】【答案】C 【详解】直线圆心到直线的距离为． 又为切线长，而， 当取最小值时，的值最小， 故． 【变式4-2】【答案】C 【详解】在以为直径的圆上，， 故， ，． 【变式4-3】【答案】 【分析】利用，用含的表达式表示，用代数的方法求出其最小值即可. 【详解】由题意，圆的半径， 由直线与圆相切，故连接,有， 即，当时取等号， 故. ▌题型05 过圆内定点的弦长最值 【例5】【答案】(1)或. (2)最短长度为，此时的方程为. 【分析】（1）直线过点，要求的方程，只需求的斜率，对斜率的存在性进行讨论之后，结合点在圆之外，设出直线的方程，由圆半径、弦长、弦心距之间的关系求出直线斜率即可； （2）直线过点，要求的方程，只需求的斜率，由圆的几何性质和相互垂直直线的斜率关系即可求出的斜率，进而求出的方程. 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系即可求出此时最短弦的长度. 【详解】（1） 由圆可知，圆心为，半径为， 由可知，， 因为，所以点在圆之外， 显然，当直线的斜率不存在时，与圆相离，不符合题意， 所以直线的斜率存在，设为， 设直线的方程为，即， 所以，圆心到直线的距离，即弦心距， 不妨设直线被圆截得的弦为， 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系可得， ，即， 所以，解得或， 所以直线的方程为或，即或， 综上，直线的方程为或. （2） 由可知，， 因为，所以点在圆之内， 不妨设直线被圆截得的弦为， 当时，最短，此时弦心距， 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系， 则， 因为直线的斜率，且， 所以直线的斜率为，代入点斜式可得， 直线的方程为，即， 综上，被圆截得的线段的最短长度为， 此时的方程为. 【变式5-1】【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）利用切线的性质求出半径即得圆的方程； （2）先求出直线所过的定点的坐标，判断该点与圆的位置，利用圆的性质及弦长公式求解. 【详解】（1）依题意，点到直线：的距离即为圆A的半径， 所以圆A的标准方程为； （2）由可得， 因是任意实数，则有，解得， 所以直线过定点，又由（1）知，点在圆内， 当直线时，直线被圆A截得的弦长最短，最短弦长为， 因直线的斜率，则直线的斜率为2，方程为，即. 【变式5-2】【答案】 【分析】求解直线经过的定点，即可根据垂直求解最短弦长. 【详解】直线l的方程可化为，联立解得． 所以直线恒过定点． 当直线时，直线被圆截得的弦长最短， C到直线l的距离为，所以最短弦长是． 故答案为： 【变式5-3】【答案】AB 【分析】对于A，由两条直线的位置关系中垂直关系即可判断；对于B，利用直线系方程求得直线过定点即可判断；对于C，由直线所过的定点在圆内部即可判断；对于D，由垂径定理求弦长可以判断. 【详解】对于A，若直线，斜率为，与直线，斜率为，垂直，则，存在，故选项A正确； 对于B，直线，即，则直线恒过定点，故选项B正确； 对于C，直线恒过的定点在圆的内部，直线与圆相交，故选项C错误； 对于D，当时，弦长最短，此时，则直线斜率不存在， 此时圆心到直线的距离， 则弦长为， 而直线，斜率是存在的，所以最小值取不到，故D错误. 故选：AB ▌题型06 斜率型最值问题 【例6】【答案】C 【分析】根据题意，把转化为圆上一点与原点连线的斜率，设，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由方程，可化为， 表示以为圆心坐标､为半径的圆， 由的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设，即， 如图所示，当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值， 此时，解得，所以的最大值为，最小值为. 【变式6-1】【答案】BC 【分析】先将圆方程化为标准式确定圆心和半径，再结合几何意义、直线与圆的位置关系、点到直线距离公式逐一分析选项． 【详解】由圆：，得圆心，半径， 对于A，表示点到原点的距离的平方，原点到圆心的距离为， 所以到原点的最大距离为，的最大值为，A错误； 对于B，是直线的斜率，当直线与圆相切时斜率取最值， 由圆心到直线距离等于半径得，解得， 所以最大值为，B正确； 对于C，直线的方程为， 相切时圆心到直线的距离等于半径，即，解得，C正确； 对于D，直线过定点，，但距离取时直线为，斜率不存在， 不符合题干“存在斜率”的要求，故距离的最大值小于，D错误． 【变式6-2】【答案】(1) (2) (3)最小值为，最大值为． 【分析】（1）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （2）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （3）解法一：通过的几何意义即可求解；解法二：令，，，通过三角函数求解的最值即可. 【详解】（1）已知原式可化为，它表示以为圆心，以为半径的圆，    设，则，直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时，解得或（舍去）， 所以的最大值为． （2）设，即直线，为直线在轴上的截距， 由图可知，当直线与圆切于点时，有最小值，此时圆心到直线的距离为半径， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为． （3）解法一：记，则，其中为圆上任一动点．易求， 由图可知，当点位于点时，最大；当点位于点时，最小． 因此所求的最大值为，最小值为， 即的最大值为，最小值为. 解法二：设为圆上任一动点，令，，， 则，其中， 由于，所以，所以， 即的最大值为，最小值为. 【变式6-3】【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值是，最小值是 【分析】（1）根据圆心坐标和半径可知表示圆上的点与原点连线的斜率，再由直线与圆相切即可得出结果； （2）将目标式看作圆上动点 到定点 距离的平方，利用圆心到定点距离与半径的关系确定距离范围，从而得到平方的最值． 【详解】（1）方程表示以点为圆心，以为半径的圆． 可理解为圆上一点与原点间的斜率， 设，即，当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 此时，解得． 或． 的最大值为，最小值为． （2）， 可理解为圆上的一点与点距离的平方， 又圆心到点的距离为， 所以的最大值是， 最小值是． ▌题型07 截距型最值问题 【例7】【答案】(1)最大值为，最小值为． (2)最大值为，的最小值为． (3)最大值为，最小值为． 【分析】（1）将转化为圆上点与定点连线的斜率，利用圆心到切线的距离等于半径，求出斜率的最值； （2）将转化为直线在轴截距的线性函数，利用圆心到直线的距离等于半径，求出截距的最值，进而得到所求； （3）将转化为圆上点到定点的距离的平方，利用定点到圆心的距离与半径的和、差，求出距离平方的最值. 【详解】（1）表示圆上的点与点连线的斜率， 设为，圆心，则过点的圆的切线方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，求得， 故的最大值为，最小值为． （2）令，即，表示斜率为、在轴上的截距为的直线， 故当此直线和圆相切时，取最值． 圆心到直线的距离为半径， 可得，求得，或， 故的最大值为，的最小值为． （3）与的距离为， 所以的最大值为，最小值为． 【变式7-1】【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据圆心坐标和半径可知表示圆上的点与原点连线的斜率，再由直线与圆相切即可得出结果； （2）令，可知其几何意义表示直线在轴上的截距，由点到直线距离计算可得结果； （3）易知表示圆上的点与原点距离的平方，又圆心到原点的距离为2，得出圆上的点到原点距离的最大值和最小值，再平方即可. 【详解】（1）原方程表示以点为圆心，为半径的圆． 设，即，则当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 此时，解得， 故的最大值为，最小值为. （2）设，即， 则当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值， 此时，解得， 故的最大值为，最小值为. （3）易知表示圆上的点与原点距离的平方． 由平面几何知识知，它在原点与圆心所在的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为2， 故，. 【变式7-2】【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，利用直线与圆有公共点可得，求解即可； （2）利用，结合两式的几何意义，作出示意图，数形结合可求解. 【详解】（1）由得，令， 则直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离为，解得， 所以的最小值为． （2）， 可以看作点到直线的距离与它到距离比值的2倍， 设过点的直线与圆相切于点，此时取到最大值； 设直线方程为， 由，得， ，解得，结合图形可知， 把代入联立后的方程可得切点， 代入可得的最大值为.    【变式7-3】【答案】(1)最大值为，最小值为 (2) (3)最大值为，最小值为 【分析】1）设，即，则直线与圆有公共点，利用直线与圆的位置关系求出的取值范围，即可得出结论； （2）设，即，则直线与圆有公共点，利用直线与圆的位置关系求出的取值范围，即可得出结论； （3）是圆上点与原点的距离的平方，数形结合可得出的最大值和最小值. 【详解】（1）如图，方程表示以点为圆心，为半径的圆． 设，即， 由题意可知，直线与圆有公共点， 所以，即，解得， 故的最大值为，最小值为. （2）设，即， 由题意可知，直线与圆有公共点， 所以，解得， 故的最小值为. （3）是圆上点与原点的距离的平方， 设圆与轴相交于点和（点在点左侧）， 且，， 则，． 故的最大值为，最小值为. ▌题型08 距离型最值问题 【例8】【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）计算出圆的半径，可得出圆的标准方程； （2）利用勾股定理计算出圆心到直线的距离为，然后对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线轴时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程； （3）记点，则，分析可知当为线段与圆的交点时，取最小值，求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）因为以点为圆心的圆与直线相切， 所以圆的半径， 因此圆的标准方程为. （2）由题意可知，圆心到直线的距离. ①当直线轴时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （3）记点，则， ，所以点在圆外，如下图所示：    由图可知，当为线段与圆的交点时，取最小值，且， 因此，的最小值为. 【变式8-1】【答案】(1) (2)或. (3). 【分析】（1）由题意知到直线的距离为圆C的半径，由点到直线的距离公式即可求解； （2）求得圆心到直线的距离，分斜率是否存在两种情况计算可得结论； （3）利用目标式的几何意义，求出圆上的点与定点距离的最值即可求出范围. 【详解】（1）由题意知点到直线的距离为圆C的半径， 由点到直线的距离公式可得， 所以圆的方程为. （2）因为直线与圆相交与，两点，且， 利用垂径定理和勾股定理，可得圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为1，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由题意可得，解得， 所以直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或. （3）表示点到点的距离的平方， 又圆心C到点的距离为， 所以点到点的距离的最小值为， 最大值为， 所以的最小值为9，最大值为49， 即的取值范围是. 【变式8-2】【答案】(1)； (2)①最大值8，最小值2；②. 【分析】（1）将圆方程化为标准式得圆心坐标，用点到直线距离公式求距离； （2）①计算点到圆心的距离，结合圆的半径得的最值； ②设目标式为，转化为直线与圆有交点的问题，利用圆心到直线的距离不超过半径求范围. 【详解】（1）圆的方程配方得，圆心，半径. 圆心到直线的距离. （2）①点到圆心的距离. 的最大值为，最小值为. ②设，直线与圆有交点， 圆心到直线的距离不超过半径，即. 解得，即的取值范围为. 【变式8-3】【答案】 【分析】的取值范围转化为点到直线距离的5倍，结合点到直线的距离公式，数形结合即可求解. 【详解】如图， 曲线为圆的上半圆，圆心，半径为2，， 表示点到直线距离的5倍， 点A到直线的距离， 即直线与圆相离， 点B到直线的距离， 故的最小值为，的最大值为， 则的取值范围为. ▌题型09 数量积型最值问题 【例9】【答案】D 【分析】根据圆的方程求出圆心坐标和半径，根据的面积可判断的形状，进而可求得圆心到直线的距离即弦长，根据向量的线性运算可将的最大值转化为圆上的点到弦中点距离的最大值问题. 【详解】由圆，即得 圆的圆心为，半径，取的中点D，则，如图： 因为的面积为2， 所以，解得， 所以， 所以为等腰直角三角形，所以， 所以， 所以当取得最大值时，取得最大值，， 所以的最大值为. 【变式9-1】【答案】C 【分析】依题意设，根据数量积的坐标表示，辅助角公式，及正弦函数的性质即可求解． 【详解】依题意设，则，， 则 ，其中， 又，则， 所以的最大值为． 【变式9-2】【答案】A 【分析】由余弦定理求出，建立平面直角坐标系，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，，先求出的最大值，进而求出的最大值. 【详解】因为，，， 所以由余弦定理可得：，所以， 又因为，所以， 所以建立如图所示的平面直角坐标系，， 因为点为所在平面内的一个动点，且， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 取的中点，则， 而， 所以. 【变式9-3】【答案】 【分析】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，根据数量积的坐标运算，结合圆的方程，即可求得的取值范围. 【详解】如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，， 所以圆的方程为. 设，则. 由点是劣弧（包括端点）上一点，且在圆上，得，解得， 所以，即的取值范围为. ▌题型10 角度型最值问题 【例10】【答案】 【分析】根据题意作出几何图形，结合几何图形分析出和圆相切时，最小，利用几何关系求出，进而得解. 【详解】 如图，当过的直线和圆相切于如图所示的情形时，最小， 由题知，圆心，，则， 连接，由切线的性质，是直角三角形， 于是，则， 由于斜率为，结合图形可知，， 则 【变式10-1】【答案】D 【分析】先求得的最大值，再由二倍角公式得出的最小值． 【详解】圆的圆心C的坐标为，半径为1． 因为PA，PB为圆C的切线，切点分别为A，B， 所以，，，， 所以，． 当时，取最小值，，此时取最大值， 又，函数在上单调递增，即取最大值，此时取最大值， 又，所以． 【变式10-2】【答案】D 【详解】根据条件，将问题转化成圆与圆C有公共点，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果. 【分析】由，可得点P在以线段为直径的圆上，其方程为上， 又点P在圆C上，所以两圆有公共点， 因为圆的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为，半径为2， 所以，因， 故得， 解得，所以a的最小值为3. 【变式10-3】【答案】 【分析】设圆，在圆上存在点，使得为钝角，意味着点在圆内，等价于圆与圆相交，内切或内含，利用圆与圆的位置关系，列方程可得答案. 【详解】如图，设圆，当圆上存在一点在圆内时，为钝角， 所以点 在圆内，等价于圆与圆 相交，内切或内含， ，得. 所以的取值范围为.    ▌题型11 面积型最值问题 【例11】【答案】C 【详解】对于,当时,,当时,,所以,, 所以.圆的圆心为,半径, 圆心到直线的距离为, 即直线与圆相离,所以点P到直线的距离的最大值为, 点P到直线的距离的最小值为, 所以面积的最大值为,最小值为, 所以面积的取值范围是. 【变式11-1】【答案】B 【详解】圆，得圆，圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 四边形的面积， 要使其最小，需取最小值，而，此时. 【变式11-2】【答案】C 【分析】点在圆上，分析可得，要使四边形面积取到最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【详解】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 【变式11-3】【答案】 【详解】建立平面直角坐标系，如图： 设，，， 则，化简得， 以为底，高为点P到轴的距离， 所以当取最大值时，的面积取得最大值． 显然当时，取得最大值， 此时. 所以面积的最大值是． ▌题型12 利用对称性求最值 【例12】【答案】12 【分析】求点关于直线对称的点为，根据圆的性质结合图形分析求解即可. 【详解】如图， 设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 由得，其圆心为，半径， 则， 当且仅当P，M均在线段AC上时，取得最小值12. 【变式12-1】【答案】/ 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标与半径，再求出圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即为的最小值. 【详解】作出图形，如图所示： 圆关于轴的对称圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为， 由图象可知当三点共线时，取得最小值，同时取得最小值， 所以的最小值为. 【变式12-2】【答案】B 【分析】先利用对称性将转化为（为原点关于直线的对称点），从而将问题转化为，求圆上动点到定点的最短距离，再由圆心到定点的距离减去半径即可得到最小值． 【详解】圆的方程为，圆心，半径， 原点关于直线的对称点为，设， 则：，解得，所以， 由对称性，， 所以， 当为线与直线的交点时取等号， 所以问题转化为求圆上的动点到定点距离的最小值， 因为圆心到的距离为， 所以圆上点到 的最小距离为． 所以的最小值为． 【变式12-3】【答案】D 【解析】由题意可知点为圆上的点，由于两点在直线的同侧，所以求出点关于直线的对称点为，则，然后利用两点间线段最短可得答案 【详解】解：由，得，由，得， 所以，化简得， 所以点为圆上的点， 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即 因为，所以当点共线，且过点时，取最小值， 所以的最小值为 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的应用，考查距离问题，解题的关键是求出点关于直线的对称点为，将的最小值转化为的最小值，属于中档题 ▌题型13 阿波罗尼斯圆的逆用 【例13】【答案】D 【分析】对于A，根据两点间距离公式代入整理化简即可；对于B，求出点到圆上点距离的范围，判断即可；对于C，设，利用两点间距离公式得到方程和联立，求得，，无实数解，判断即可；对于D，求出的圆心到直线的距离，即可求出上的点到直线的最小距离. 【详解】对于A，由题意可设点， 由，，，得， 整理得，即，故A正确； 对于B，点到圆心的距离为， 所以圆上的点到点的距离范围为，因为，故B正确； 对于C，设，由，得，即. 又，联立整理得，此时，无实数解， 故不存在点，使得，C正确； 对于D，的圆心到直线的距离为， 所以上的点到直线的最小距离为，故D错误. 【变式13-1】【答案】 【分析】由阿波罗尼斯圆的性质，转化为，利用三角形两边之和大于第三边的思想求折线最小值. 【详解】点A，B分别为x，y轴上的两个动点，且满足，点为线段AB的中点， 则点M的轨迹为圆，如图所示， 为使圆成为比例常数为的阿波罗尼斯圆，设点与点为反演点， 则有，所以，， 则圆上的点M满足： 所以. 【变式13-2】【答案】ACD 【分析】设点，由，得，即曲线为圆心为，半径为2的圆，再结合选项依次判断即可． 【详解】设点，因为，所以， 整理得，， 即曲线为圆心为，半径为2的圆， 对于A，圆，即， 该圆的圆心为，半径为3， 两圆的圆心距为：， 所以两圆外切，故两圆有且仅有三条公切线，故A正确； 对于B，曲线C的圆心关于直线对称的点为， 所以曲线C关于直线对称的曲线方程为：，故B错误； 对于C，设，即， 由图知当直线与圆相切时，t取得最大值或最小值， 此时圆心到直线的距离为2， 由，解得或， 所以的取值范围是：，故C正确； 对于D，设， 则， 化简得，， 依题意，需使， 解得，或（因点E，F异于A，B，应舍去） 所在存在满足题意，故D正确． 故选：ACD. 【变式13-3】【答案】 【分析】由已知可得，则点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，得到的轨迹方程为， 由阿氏圆性质找到点，将转化为，问题转化为求解到两定点距离之和最小即可. 【详解】 当时，，此时交点为， 当时，由直线，斜率为k； 由直线，斜率为，， 又，所以直线恒过点， ，所以直线恒过， 若M为，的交点，则， 所以点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，E点, 综合以上两种情况，点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故M的轨迹方程为，即， 又,易知在该圆内，又由题意可知圆C上一点 满足，取，则，满足.下面证明任意一点都满足，即， 因为， 又,所以, 所以， 又，， 如图,当且仅当三点共线,且M位于N,D之间时,等号成立,即的最小值为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：利用阿氏圆的定义取点D，构造，转化线段和结合三角形三边关系计算即可. ▌题型14 利用三角换元求最值 【例14】【答案】D 【分析】建立直角坐标系，求出以为直径的圆的方程，借助三角函数设出，由求出，表示出，进而由辅助角公式结合三角函数的最值求解即可. 【详解】 如图，以为原点建立直角坐标系，设中点为，易得，则中点，， 故以为直径的圆的方程为，过作轴平行线交轴于，交半圆于，则，设， 则，又， 故，则，其中， 显然当时，取最大值. 故选：D. 【变式14-1】【答案】A 【分析】设，可求出的表达式，利用换元法，结合三角函数辅助角公式以及三角函数性质即可求得答案. 【详解】因为点为圆上一动点，故设， 则， 令，则， 即，则， 其中为辅助角，， 则，整理得， 故的最大值为， 故选：A 【变式14-2】【答案】BC 【分析】利用三角方法设出点的坐标，利用两点间的距离表示出，进而根据三角函数的有界性即可得到答案． 【详解】依题意，设， 则， ， ， ， 又，，则 故选：BC． 【变式14-3】【答案】4 【分析】应用三角换元，令，，且，结合三角恒等变换有，即可求. 【详解】由题设，令，，且， 所以，且， 所以的最大、最小值分别为、，故它们的和为4. 故答案为：4. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 与圆有关的最值问题14种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 圆上的点到定点的距离的最值问题 题型 02 两圆上的动点的距离最值 题型 03 圆上的点到直线的距离最值 题型 04 圆的切线长最值问题 题型 05 过圆内定点的弦长最值 题型 06 斜率型最值问题 题型 07 截距型最值问题 题型 08 距离型最值问题 题型 09 数量积型最值问题 题型 10 角度型最值问题 题型 11 面积型最值问题 题型 12 利用对称性求最值 题型 13 阿波罗尼斯圆的逆用 题型 14 利用三角换元求最值 ▌题型01 圆上的点到定点的距离的最值问题 1.核心逻辑 定点，圆半径。连接定点与圆心，连线与圆的两个交点就是取到最大、最小值的位置。 最大值：定点到圆心距离加上半径；最小值：定点到圆心距离减去半径（定点在圆内时为）。 2.解题步骤 ①求出圆心、半径； ②计算定点到圆心距离； ③最大值，最小值； ④若求距离平方的最值，将最大、最小值分别平方。 3.易错提醒 定点在圆内时，最小值不是，要取；不要直接拿半径当做最值。 【例1】（26-27高二·全国·课后作业）已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求得动圆圆心轨迹方程，根据圆上点到直线距离最值计算公式计算求解. 【详解】半径为3的圆经过点，可得该圆的圆心轨迹是以为圆心，3为半径的圆，，， 所以圆心到原点距离的最小值是． 【变式1-1】（2026高二·云南曲靖·期末）设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【详解】因为，所以点在圆外，又, 故的最大值为. 【变式1-2】（2026·湖南永州·模拟预测）已知点，点，点M满足，则线段长的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题可知点M的轨迹是以为圆心，半径的圆，则，代入数值求解. 【详解】由题可知，点M的轨迹是以为圆心，半径的圆. 则， 所以. 【变式1-3】【多选】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知点，，M为圆O：上一点，则（   ） A．点B在圆O外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 【答案】ABD 【分析】由点与圆心间的距离与圆的半径比较，确定点与圆的位置关系，判断A；求出圆上的点到定点的距离的最大值为定点到圆心的距离加上圆半径，判断B；设，表示出，得其关系，即可判断C；求得，即可得其最大值，判断D. 【详解】对于A，，所以B在圆O外，故A正确； 对于B，由图知，当且仅当点为圆与轴的左交点时取等，故B正确； 对于C，D，设，则， 故， ， 则，故C错误； 所以由B项可得，，当且仅当时取等，故D正确． ▌题型02 两圆上的动点的距离最值 1.核心逻辑 两圆圆心，半径，圆心距。两圆上各取一动点，两点距离最值由两圆心连线决定。 最大值：；最小值：（内含时为）。 2.解题步骤 ①分别写出两个圆的圆心、半径； ②计算两圆圆心之间距离； ③直接套用公式写出距离的最大值、最小值； ④写出取值范围。 3.易错提醒 分不清两圆位置关系（相离、相交、内含），直接套用同一套公式。 【例2】（2026·江西·模拟预测）已知，，则的最小值为（     ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程结合两点间距离得出圆的位置关系计算求解即可. 【详解】点在以为圆心，1为半径的圆上，点在以为圆心，7为半径的圆上， 两圆心距，则两圆内含， ，， 则． 【变式2-1】（2026高二·安徽合肥·期末）已知点分别为圆与圆的任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判定两圆的位置关系为相离的关系，然后利用几何方法得到的取值范围. 【详解】的圆心为,半径， 的圆心为,半径， 圆心距， ∴两圆相离， ∴， 故选：B. 【变式2-2】（2026高二·安徽滁州·开学考试）已知两定点，，如果动点满足，点是圆上的动点，则的最大值为__________． 【答案】/ 【分析】由已知条件可求得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，则的最大值为两圆圆心距加两圆半径. 【详解】设点坐标，，， ，即，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又点是圆上的动点，如图， 由图可知，的最大值为两圆圆心距加两圆半径，即． 故答案为：． 【变式2-3】（2026高三·山东枣庄·期末）已知直线与直线相交于点A，点B是圆上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】求出点的轨迹方程，确定点轨迹，然后通过几何意义求得最大值． 【详解】由，消去参数得， 所以在以为圆心，为半径的圆上， 又点B是圆上的动点，此圆圆心为，半径为， ， ∴的最大值为． 故选：C. 【点睛】本题考查交轨法求轨迹方程，考查两点间的距离公式．由圆的性质知某点到圆上的点间距离的最大值可以转化为到圆心的距离与半径的和． ▌题型03 圆上的点到直线的距离最值 1.核心逻辑 先求圆心到定直线距离。 圆上点到直线距离最大值，最小值； 若直线穿过圆内部（），则最小值为。 2.解题步骤 ①求圆心坐标、半径； ②用点到直线距离公式，计算圆心到直线距离； ③最大值；最小值； ④若，直线与圆相交，圆上存在点落在直线上，最小值为。 3.易错提醒 直线和圆相交时，仍然写作为最小值，忽略最小值可以取0。 【例3】（26-27高三·黑龙江辽宁·开学考试）已知直线，圆，P，Q分别为直线l与圆O上的动点，则的最小值为__________． 【答案】1 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此直线与圆相离，所以的最小值为. 【变式3-1】（26-27高二·全国·课后作业）已知点在圆上，点，，则点到直线的距离的最大值为__________；当最小时，的长度为__________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，利用几何性质，结合点到直线距离公式求出最大值，再作出图形，确定角最小时直线的位置求解. 【详解】依题意，直线的直线方程为，即，圆的圆心，半径为4， 圆心到直线的距离为，因此点到直线的距离的最大值为； 如图：当最小时，直线与圆相切，又，，所以. 【变式3-2】（26-27高三·北京·开学考试）已知直线和圆，点在直线上，点在圆上，则最小值为（     ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【详解】圆心到直线的距离为：， 所以直线上的点与圆上的点的距离的最小值为： . 【变式3-3】（26-27高三·上海·开学考试）已知直线: 和直线:，则曲线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值为__________． 【答案】 【分析】利用三角换元，把动点到直线和直线的距离之和表示为的函数，然后通过求解该函数的最小值即可求解. 【详解】图形如下所示，设，， 则到直线和直线的距离之和为 由辅助角公式， 所以当，即时有最小值. ▌题型04 圆的切线长最值问题 1.核心逻辑 圆外一点引圆切线，切点，由勾股定理：。 切线长大小由点到圆心距离决定：越小，切线长越小；越大，切线长越大。 若动点在某条直线上，则最小值就是圆心到这条直线的垂线段长。 2.解题步骤 ①确定圆心、半径； ②找到动点所在轨迹（直线/圆），求的最值； ③代入勾股公式，算出切线长最值。 3.易错提醒 忘记勾股关系，直接把点到圆心距离当作切线长；开根号前忘记平方运算。 【例4】（26-27高三·全国·一轮复习）由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【详解】圆即为，可知圆心为，半径， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A，连接CA， 在中，．要使最小，则应最小． 又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为． 故的最小值为． 【变式4-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆，直线，过直线上的点作圆的切线 （为切点），则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】直线圆心到直线的距离为． 又为切线长，而， 当取最小值时，的值最小， 故． 【变式4-2】（2026·江苏·模拟预测）已知圆，是直线上一点，以为直径的圆与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【详解】在以为直径的圆上，， 故， ，． 【变式4-3】（2026高三·天津·专题练习）若，圆，则过作圆的切线，切点为，则的最小值为___________. 【答案】 【分析】利用，用含的表达式表示，用代数的方法求出其最小值即可. 【详解】由题意，圆的半径， 由直线与圆相切，故连接,有， 即，当时取等号， 故. ▌题型05 过圆内定点的弦长最值 1.核心逻辑 定点在圆内部。垂径定理，是圆心到弦的距离。 最长弦：过该定点的直径，弦长等于直径； 最短弦：过定点且与圆心‑定点连线垂直的弦；。 2.解题步骤 ①判断定点在圆内； ②最长弦直接取直径； ③计算圆心到定点距离； ④最短弦长； ⑤最短弦所在直线：与垂直，过定点。 3.易错提醒 定点在圆外部，不存在最短弦；混淆最长、最短弦条件；忽略斜率不存在的情况。 【例5】（2026高一·北京延庆·期末）已知点，圆. (1)设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程. 【答案】(1)或. (2)最短长度为，此时的方程为. 【分析】（1）直线过点，要求的方程，只需求的斜率，对斜率的存在性进行讨论之后，结合点在圆之外，设出直线的方程，由圆半径、弦长、弦心距之间的关系求出直线斜率即可； （2）直线过点，要求的方程，只需求的斜率，由圆的几何性质和相互垂直直线的斜率关系即可求出的斜率，进而求出的方程. 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系即可求出此时最短弦的长度. 【详解】（1） 由圆可知，圆心为，半径为， 由可知，， 因为，所以点在圆之外， 显然，当直线的斜率不存在时，与圆相离，不符合题意， 所以直线的斜率存在，设为， 设直线的方程为，即， 所以，圆心到直线的距离，即弦心距， 不妨设直线被圆截得的弦为， 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系可得， ，即， 所以，解得或， 所以直线的方程为或，即或， 综上，直线的方程为或. （2） 由可知，， 因为，所以点在圆之内， 不妨设直线被圆截得的弦为， 当时，最短，此时弦心距， 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系， 则， 因为直线的斜率，且， 所以直线的斜率为，代入点斜式可得， 直线的方程为，即， 综上，被圆截得的线段的最短长度为， 此时的方程为. 【变式5-1】（2026高二·福建福州·期末）若以点为圆心的圆A与直线相切，直线． (1)求圆A的标准方程； (2)求直线被圆A截得的最短弦长及此时直线的方程． 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）利用切线的性质求出半径即得圆的方程； （2）先求出直线所过的定点的坐标，判断该点与圆的位置，利用圆的性质及弦长公式求解. 【详解】（1）依题意，点到直线：的距离即为圆A的半径， 所以圆A的标准方程为； （2）由可得， 因是任意实数，则有，解得， 所以直线过定点，又由（1）知，点在圆内， 当直线时，直线被圆A截得的弦长最短，最短弦长为， 因直线的斜率，则直线的斜率为2，方程为，即. 【变式5-2】（2026·湖北荆门·模拟预测）圆被直线所截得的最短弦长为______． 【答案】 【分析】求解直线经过的定点，即可根据垂直求解最短弦长. 【详解】直线l的方程可化为，联立解得． 所以直线恒过定点． 当直线时，直线被圆截得的弦长最短， C到直线l的距离为，所以最短弦长是． 故答案为： 【变式5-3】【多选】（2026高二·重庆·阶段检测）已知直线和圆，则（   ） A．存在使得直线与直线垂直 B．直线恒过定点 C．直线与圆可能相切 D．直线被圆截得的最短弦长为 【答案】AB 【分析】对于A，由两条直线的位置关系中垂直关系即可判断；对于B，利用直线系方程求得直线过定点即可判断；对于C，由直线所过的定点在圆内部即可判断；对于D，由垂径定理求弦长可以判断. 【详解】对于A，若直线，斜率为，与直线，斜率为，垂直，则，存在，故选项A正确； 对于B，直线，即，则直线恒过定点，故选项B正确； 对于C，直线恒过的定点在圆的内部，直线与圆相交，故选项C错误； 对于D，当时，弦长最短，此时，则直线斜率不存在， 此时圆心到直线的距离， 则弦长为， 而直线，斜率是存在的，所以最小值取不到，故D错误. 故选：AB ▌题型06 斜率型最值问题 1.核心逻辑 目标，几何含义：圆上动点与定点连线的斜率。 临界状态：直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径，解出斜率的边界。 2.解题步骤 ①设，整理直线方程； ②利用圆心到直线距离等于半径列方程； ③解出，得到斜率最大值、最小值； ④注意：存在竖直切线时，某一侧斜率无界。 3.易错提醒 漏掉竖直直线斜率不存在的情况；定点在圆内，所有斜率都存在，没有切线限制。 【例6】（26-27高二·河南焦作·开学考试）已知实数满足方程，求的最大值和最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，把转化为圆上一点与原点连线的斜率，设，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由方程，可化为， 表示以为圆心坐标､为半径的圆， 由的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设，即， 如图所示，当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值， 此时，解得，所以的最大值为，最小值为. 【变式6-1】【多选】（2026高二·广西南宁·期末）已知斜率的直线过定点，圆：，为圆上的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为 【答案】BC 【分析】先将圆方程化为标准式确定圆心和半径，再结合几何意义、直线与圆的位置关系、点到直线距离公式逐一分析选项． 【详解】由圆：，得圆心，半径， 对于A，表示点到原点的距离的平方，原点到圆心的距离为， 所以到原点的最大距离为，的最大值为，A错误； 对于B，是直线的斜率，当直线与圆相切时斜率取最值， 由圆心到直线距离等于半径得，解得， 所以最大值为，B正确； 对于C，直线的方程为， 相切时圆心到直线的距离等于半径，即，解得，C正确； 对于D，直线过定点，，但距离取时直线为，斜率不存在， 不符合题干“存在斜率”的要求，故距离的最大值小于，D错误． 【变式6-2】（2026高三·全国·专题练习）已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 【答案】(1) (2) (3)最小值为，最大值为． 【分析】（1）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （2）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （3）解法一：通过的几何意义即可求解；解法二：令，，，通过三角函数求解的最值即可. 【详解】（1）已知原式可化为，它表示以为圆心，以为半径的圆，    设，则，直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时，解得或（舍去）， 所以的最大值为． （2）设，即直线，为直线在轴上的截距， 由图可知，当直线与圆切于点时，有最小值，此时圆心到直线的距离为半径， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为． （3）解法一：记，则，其中为圆上任一动点．易求， 由图可知，当点位于点时，最大；当点位于点时，最小． 因此所求的最大值为，最小值为， 即的最大值为，最小值为. 解法二：设为圆上任一动点，令，，， 则，其中， 由于，所以，所以， 即的最大值为，最小值为. 【变式6-3】（2026高二·全国·专题练习）已知实数，满足方程．求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值是，最小值是 【分析】（1）根据圆心坐标和半径可知表示圆上的点与原点连线的斜率，再由直线与圆相切即可得出结果； （2）将目标式看作圆上动点 到定点 距离的平方，利用圆心到定点距离与半径的关系确定距离范围，从而得到平方的最值． 【详解】（1）方程表示以点为圆心，以为半径的圆． 可理解为圆上一点与原点间的斜率， 设，即，当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 此时，解得． 或． 的最大值为，最小值为． （2）， 可理解为圆上的一点与点距离的平方， 又圆心到点的距离为， 所以的最大值是， 最小值是． ▌题型07 截距型最值问题 1.核心逻辑 目标，变形；是直线纵截距。 的变化等价于一组平行直线上下平移，临界位置为直线与圆相切。 2.解题步骤 ①令，整理为； ②圆心到直线距离等于半径：； ③解出两个解，即为的最大值、最小值。 3.易错提醒 时不能看成纵截距，直接按距离公式计算；不要混淆截距和目标。 【例7】（2026高一·全国·专题练习）已知圆：，为圆上任意一点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为． (2)最大值为，的最小值为． (3)最大值为，最小值为． 【分析】（1）将转化为圆上点与定点连线的斜率，利用圆心到切线的距离等于半径，求出斜率的最值； （2）将转化为直线在轴截距的线性函数，利用圆心到直线的距离等于半径，求出截距的最值，进而得到所求； （3）将转化为圆上点到定点的距离的平方，利用定点到圆心的距离与半径的和、差，求出距离平方的最值. 【详解】（1）表示圆上的点与点连线的斜率， 设为，圆心，则过点的圆的切线方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，求得， 故的最大值为，最小值为． （2）令，即，表示斜率为、在轴上的截距为的直线， 故当此直线和圆相切时，取最值． 圆心到直线的距离为半径， 可得，求得，或， 故的最大值为，的最小值为． （3）与的距离为， 所以的最大值为，最小值为． 【变式7-1】已知实数满足方程.求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； (3)的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据圆心坐标和半径可知表示圆上的点与原点连线的斜率，再由直线与圆相切即可得出结果； （2）令，可知其几何意义表示直线在轴上的截距，由点到直线距离计算可得结果； （3）易知表示圆上的点与原点距离的平方，又圆心到原点的距离为2，得出圆上的点到原点距离的最大值和最小值，再平方即可. 【详解】（1）原方程表示以点为圆心，为半径的圆． 设，即，则当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 此时，解得， 故的最大值为，最小值为. （2）设，即， 则当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值， 此时，解得， 故的最大值为，最小值为. （3）易知表示圆上的点与原点距离的平方． 由平面几何知识知，它在原点与圆心所在的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为2， 故，. 【变式7-2】（2026高二·河南新乡·阶段检测）实数x，y满足． (1)求的最小值； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，利用直线与圆有公共点可得，求解即可； （2）利用，结合两式的几何意义，作出示意图，数形结合可求解. 【详解】（1）由得，令， 则直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离为，解得， 所以的最小值为． （2）， 可以看作点到直线的距离与它到距离比值的2倍， 设过点的直线与圆相切于点，此时取到最大值； 设直线方程为， 由，得， ，解得，结合图形可知， 把代入联立后的方程可得切点， 代入可得的最大值为.    【变式7-3】（2026高三·广东清远·期中）已知实数、满足方程．求： (1)的最大值和最小值； (2)的最小值； (3)的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2) (3)最大值为，最小值为 【分析】1）设，即，则直线与圆有公共点，利用直线与圆的位置关系求出的取值范围，即可得出结论； （2）设，即，则直线与圆有公共点，利用直线与圆的位置关系求出的取值范围，即可得出结论； （3）是圆上点与原点的距离的平方，数形结合可得出的最大值和最小值. 【详解】（1）如图，方程表示以点为圆心，为半径的圆． 设，即， 由题意可知，直线与圆有公共点， 所以，即，解得， 故的最大值为，最小值为. （2）设，即， 由题意可知，直线与圆有公共点， 所以，解得， 故的最小值为. （3）是圆上点与原点的距离的平方， 设圆与轴相交于点和（点在点左侧）， 且，， 则，． 故的最大值为，最小值为. ▌题型08 距离型最值问题 1.核心逻辑 包括圆上点到定点距离、距离的平方；圆上点到直线距离。 距离平方：先求距离最值，再平方；不要直接把圆心距离平方代替。 2.解题步骤 ①分清：动点是圆上点；目标是距离还是距离平方； ②几何法：利用圆心、定点、半径求距离最值； ③求距离平方：将距离最值整体平方； ④也可以用三角换元，转化三角函数求值域。 3.易错提醒 求距离平方时，直接计算，忘记加减半径；混淆点在圆内、圆外。 【例8】（2026高二·北京顺义·期中）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的直线与圆相交于、两点.且. (1)求圆的标准方程； (2)求直线的方程； (3)为圆上任意一点，求的最小值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）计算出圆的半径，可得出圆的标准方程； （2）利用勾股定理计算出圆心到直线的距离为，然后对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线轴时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程； （3）记点，则，分析可知当为线段与圆的交点时，取最小值，求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）因为以点为圆心的圆与直线相切， 所以圆的半径， 因此圆的标准方程为. （2）由题意可知，圆心到直线的距离. ①当直线轴时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （3）记点，则， ，所以点在圆外，如下图所示：    由图可知，当为线段与圆的交点时，取最小值，且， 因此，的最小值为. 【变式8-1】（2026高二·天津·期中）已知以点为圆心的圆与直线相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆相交与，两点，当时，求直线方程： (3)已知实数，满足圆的方程，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或. (3). 【分析】（1）由题意知到直线的距离为圆C的半径，由点到直线的距离公式即可求解； （2）求得圆心到直线的距离，分斜率是否存在两种情况计算可得结论； （3）利用目标式的几何意义，求出圆上的点与定点距离的最值即可求出范围. 【详解】（1）由题意知点到直线的距离为圆C的半径， 由点到直线的距离公式可得， 所以圆的方程为. （2）因为直线与圆相交与，两点，且， 利用垂径定理和勾股定理，可得圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为1，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由题意可得，解得， 所以直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或. （3）表示点到点的距离的平方， 又圆心C到点的距离为， 所以点到点的距离的最小值为， 最大值为， 所以的最小值为9，最大值为49， 即的取值范围是. 【变式8-2】（2026高三·北京顺义·期中）在平面直角坐标系中，圆，直线和点. (1)求圆心到直线的距离； (2)动点在圆上， ①求的最大值与最小值； ②求的取值范围.（直接写出答案） 【答案】(1)； (2)①最大值8，最小值2；②. 【分析】（1）将圆方程化为标准式得圆心坐标，用点到直线距离公式求距离； （2）①计算点到圆心的距离，结合圆的半径得的最值； ②设目标式为，转化为直线与圆有交点的问题，利用圆心到直线的距离不超过半径求范围. 【详解】（1）圆的方程配方得，圆心，半径. 圆心到直线的距离. （2）①点到圆心的距离. 的最大值为，最小值为. ②设，直线与圆有交点， 圆心到直线的距离不超过半径，即. 解得，即的取值范围为. 【变式8-3】（【必夺分】突破点36几何法研究直线与圆）点在曲线上，求的取值范围. 【答案】 【分析】的取值范围转化为点到直线距离的5倍，结合点到直线的距离公式，数形结合即可求解. 【详解】如图， 曲线为圆的上半圆，圆心，半径为2，， 表示点到直线距离的5倍， 点A到直线的距离， 即直线与圆相离， 点B到直线的距离， 故的最小值为，的最大值为， 则的取值范围为. ▌题型09 数量积型最值问题 1.核心逻辑 圆上动点，。 方法一：坐标法，设圆上点，展开数量积转化为表达式，用几何意义或三角换元； 方法二：向量极化恒等式，（是中点），转化为圆上点到定点距离的最值。 2.解题步骤 ①找中点，用极化恒等式转化为的最值； ②求圆上点到定点距离的最大、最小值； ③代回式子算出数量积最值。 3.易错提醒 极化恒等式记错公式；展开坐标运算计算出错。 【例9】（2026高三·山东·阶段检测）直线与圆交于，两点，且的面积为2，已知是圆上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的方程求出圆心坐标和半径，根据的面积可判断的形状，进而可求得圆心到直线的距离即弦长，根据向量的线性运算可将的最大值转化为圆上的点到弦中点距离的最大值问题. 【详解】由圆，即得 圆的圆心为，半径，取的中点D，则，如图： 因为的面积为2， 所以，解得， 所以， 所以为等腰直角三角形，所以， 所以， 所以当取得最大值时，取得最大值，， 所以的最大值为. 【变式9-1】（2026·山东青岛·模拟预测）已知点是圆：上一点，点，，的最大值为（     ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】依题意设，根据数量积的坐标表示，辅助角公式，及正弦函数的性质即可求解． 【详解】依题意设，则，， 则 ，其中， 又，则， 所以的最大值为． 【变式9-2】（2026高一·北京·期末）在中，，，，点为所在平面内的一个动点，且，则的最大值是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理求出，建立平面直角坐标系，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，，先求出的最大值，进而求出的最大值. 【详解】因为，，， 所以由余弦定理可得：，所以， 又因为，所以， 所以建立如图所示的平面直角坐标系，， 因为点为所在平面内的一个动点，且， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 取的中点，则， 而， 所以. 【变式9-3】（26-27高三·安徽蚌埠·开学考试）如图，边长为2的正方形内接于圆，是劣弧（包括端点）上一点，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，根据数量积的坐标运算，结合圆的方程，即可求得的取值范围. 【详解】如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，， 所以圆的方程为. 设，则. 由点是劣弧（包括端点）上一点，且在圆上，得，解得， 所以，即的取值范围为. ▌题型10 角度型最值问题 1.核心逻辑 圆上动点产生角；两类模型： ①在圆外：过作两条切线，切线时张角最大；离圆越远，张角越小。 ②定线段，圆上动点使得为定值：利用圆周角定理，找辅助圆，两圆有公共点求参数。 2.解题步骤 ①判断动点位置，分清角是张角还是圆周角； ②切线模型：切线位置取最大角，利用直角三角形三角函数求角度； ③定值角模型：构造辅助圆，两圆有交点，利用圆与圆位置关系列不等式。 3.易错提醒 分不清什么时候取最大角；忽略角度为钝角、直角的边界条件。 【例10】（2026高三·北京·开学考试）若点 是圆 上的任一点，直线 与轴，轴分别相交于 两点，则最小值为_____． 【答案】 【分析】根据题意作出几何图形，结合几何图形分析出和圆相切时，最小，利用几何关系求出，进而得解. 【详解】 如图，当过的直线和圆相切于如图所示的情形时，最小， 由题知，圆心，，则， 连接，由切线的性质，是直角三角形， 于是，则， 由于斜率为，结合图形可知，， 则 【变式10-1】（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得的最大值，再由二倍角公式得出的最小值． 【详解】圆的圆心C的坐标为，半径为1． 因为PA，PB为圆C的切线，切点分别为A，B， 所以，，，， 所以，． 当时，取最小值，，此时取最大值， 又，函数在上单调递增，即取最大值，此时取最大值， 又，所以． 【变式10-2】（2026高二·全国·专题练习）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】根据条件，将问题转化成圆与圆C有公共点，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果. 【分析】由，可得点P在以线段为直径的圆上，其方程为上， 又点P在圆C上，所以两圆有公共点， 因为圆的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为，半径为2， 所以，因， 故得， 解得，所以a的最小值为3. 【变式10-3】（2026高二·广东深圳·期中）已知圆，点，在圆上存在点，使得为钝角，则的取值范围为_____________. 【答案】 【分析】设圆，在圆上存在点，使得为钝角，意味着点在圆内，等价于圆与圆相交，内切或内含，利用圆与圆的位置关系，列方程可得答案. 【详解】如图，设圆，当圆上存在一点在圆内时，为钝角， 所以点 在圆内，等价于圆与圆 相交，内切或内含， ，得. 所以的取值范围为.    ▌题型11 面积型最值问题 1.核心逻辑 三角形、四边形面积。常见两类： ①底边固定，面积最值等价于动点到底边的高的最值；高用圆上点到直线距离； ②切线相关四边形：拆成直角三角形，利用切线长求面积。 2.解题步骤 ①固定底边：求圆上动点到底边所在直线距离的最大、最小值； ②，代入高的最值得到面积最值； ③切线四边形：拆为两个全等直角三角形，用切线长计算面积。 3.易错提醒 高的最值没有结合圆的半径；忘记面积公式系数。 【例11】（26-27高三·湖南衡阳·开学考试）直线分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆上,则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于,当时,,当时,,所以,, 所以.圆的圆心为,半径, 圆心到直线的距离为, 即直线与圆相离,所以点P到直线的距离的最大值为, 点P到直线的距离的最小值为, 所以面积的最大值为,最小值为, 所以面积的取值范围是. 【变式11-1】（2026·重庆渝中·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】圆，得圆，圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 四边形的面积， 要使其最小，需取最小值，而，此时. 【变式11-2】（2026高二·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点在圆上，分析可得，要使四边形面积取到最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【详解】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 【变式11-3】（2026高二·湖北武汉·阶段检测）阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，当P，A，B不共线时，面积的最大值是______． 【答案】 【详解】建立平面直角坐标系，如图： 设，，， 则，化简得， 以为底，高为点P到轴的距离， 所以当取最大值时，的面积取得最大值． 显然当时，取得最大值， 此时. 所以面积的最大值是． ▌题型12 利用对称性求最值 1.核心逻辑 动点分布在直线、圆上，求折线段最值；将军饮马思想：做定点关于直线的对称点，折线段拉直成两点之间线段。 2.解题步骤 ①识别哪一个点在定直线上运动； ②作出定点关于该直线的对称点； ③将折线段转化为两点距离，再结合圆上点距离公式（）求最值； ④取等条件：各点共线。 3.易错提醒 对称点计算坐标出错；忘记再加减圆半径。 【例12】（26-27高三·湖南衡阳·开学考试）已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______. 【答案】12 【分析】求点关于直线对称的点为，根据圆的性质结合图形分析求解即可. 【详解】如图， 设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 由得，其圆心为，半径， 则， 当且仅当P，M均在线段AC上时，取得最小值12. 【变式12-1】（2026·江苏无锡·模拟预测）已知圆：，圆：，M，N分别是圆，上的动点，P是轴上的动点，则的最小值为___________. 【答案】/ 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标与半径，再求出圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即为的最小值. 【详解】作出图形，如图所示： 圆关于轴的对称圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为， 由图象可知当三点共线时，取得最小值，同时取得最小值， 所以的最小值为. 【变式12-2】（2026高二·福建厦门·阶段检测）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】先利用对称性将转化为（为原点关于直线的对称点），从而将问题转化为，求圆上动点到定点的最短距离，再由圆心到定点的距离减去半径即可得到最小值． 【详解】圆的方程为，圆心，半径， 原点关于直线的对称点为，设， 则：，解得，所以， 由对称性，， 所以， 当为线与直线的交点时取等号， 所以问题转化为求圆上的动点到定点距离的最小值， 因为圆心到的距离为， 所以圆上点到 的最小距离为． 所以的最小值为． 【变式12-3】（2026高二·浙江温州·期末）已知直线与直线相交于点A，点B是直线的动点，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知点为圆上的点，由于两点在直线的同侧，所以求出点关于直线的对称点为，则，然后利用两点间线段最短可得答案 【详解】解：由，得，由，得， 所以，化简得， 所以点为圆上的点， 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即 因为，所以当点共线，且过点时，取最小值， 所以的最小值为 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的应用，考查距离问题，解题的关键是求出点关于直线的对称点为，将的最小值转化为的最小值，属于中档题 ▌题型13 阿波罗尼斯圆的逆用 1.核心逻辑 到两定点距离之比，动点轨迹是圆（阿氏圆）； 逆用：已知动点在阿氏圆上，把转化成另一段线段，实现“系数归一”，求的最值。 2.解题步骤 ①根据比值条件，求出阿氏圆的圆心与半径； ②找到圆内对应的定点（反演点），实现等价替换； ③把原式转化为两条线段相加，用两点之间线段最短求最值； ④结合圆上点距离公式得到结果。 3.易错提醒 反演定点找错；时轨迹是中垂线，不是圆。 【例13】（2026高一·湖南邵阳·阶段检测）已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（    ） A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上不存在点，使得 D．上的点到直线的最小距离为1 【答案】D 【分析】对于A，根据两点间距离公式代入整理化简即可；对于B，求出点到圆上点距离的范围，判断即可；对于C，设，利用两点间距离公式得到方程和联立，求得，，无实数解，判断即可；对于D，求出的圆心到直线的距离，即可求出上的点到直线的最小距离. 【详解】对于A，由题意可设点， 由，，，得， 整理得，即，故A正确； 对于B，点到圆心的距离为， 所以圆上的点到点的距离范围为，因为，故B正确； 对于C，设，由，得，即. 又，联立整理得，此时，无实数解， 故不存在点，使得，C正确； 对于D，的圆心到直线的距离为， 所以上的点到直线的最小距离为，故D错误. 【变式13-1】（2026高三·全国·专题练习）已知点A，B分别为x，y轴上的两个动点，且满足，点为线段AB的中点，已知，，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】由阿波罗尼斯圆的性质，转化为，利用三角形两边之和大于第三边的思想求折线最小值. 【详解】点A，B分别为x，y轴上的两个动点，且满足，点为线段AB的中点， 则点M的轨迹为圆，如图所示， 为使圆成为比例常数为的阿波罗尼斯圆，设点与点为反演点， 则有，所以，， 则圆上的点M满足： 所以. 【变式13-2】【多选】（2026高二·江苏镇江·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值且的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（   ） A．曲线C与圆有且仅有三条公切线 B．曲线C关于直线对称的曲线方程为 C．若点在曲线C上，则的取值范围是 D．在x轴上存在异于A，B的两点E，F，使得 【答案】ACD 【分析】设点，由，得，即曲线为圆心为，半径为2的圆，再结合选项依次判断即可． 【详解】设点，因为，所以， 整理得，， 即曲线为圆心为，半径为2的圆， 对于A，圆，即， 该圆的圆心为，半径为3， 两圆的圆心距为：， 所以两圆外切，故两圆有且仅有三条公切线，故A正确； 对于B，曲线C的圆心关于直线对称的点为， 所以曲线C关于直线对称的曲线方程为：，故B错误； 对于C，设，即， 由图知当直线与圆相切时，t取得最大值或最小值， 此时圆心到直线的距离为2， 由，解得或， 所以的取值范围是：，故C正确； 对于D，设， 则， 化简得，， 依题意，需使， 解得，或（因点E，F异于A，B，应舍去） 所在存在满足题意，故D正确． 故选：ACD. 【变式13-3】（2026高二·湖北荆州·开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】由已知可得，则点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，得到的轨迹方程为， 由阿氏圆性质找到点，将转化为，问题转化为求解到两定点距离之和最小即可. 【详解】 当时，，此时交点为， 当时，由直线，斜率为k； 由直线，斜率为，， 又，所以直线恒过点， ，所以直线恒过， 若M为，的交点，则， 所以点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，E点, 综合以上两种情况，点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故M的轨迹方程为，即， 又,易知在该圆内，又由题意可知圆C上一点 满足，取，则，满足.下面证明任意一点都满足，即， 因为， 又,所以, 所以， 又，， 如图,当且仅当三点共线,且M位于N,D之间时,等号成立,即的最小值为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：利用阿氏圆的定义取点D，构造，转化线段和结合三角形三边关系计算即可. ▌题型14 利用三角换元求最值 1.核心逻辑 圆，设参数： · 将全部替换为三角函数，转化三角函数求值域。适合：斜率、截距、数量积、距离平方等复杂代数目标。 2.解题步骤 ①写出圆的参数方程； ②代入目标表达式，整理成； ③辅助角公式； ④三角函数值域，得到最值。 3.易错提醒 参数方程写错，圆心坐标漏掉；辅助角公式计算出错；忽略的取值范围。 【例14】（2026·河北·模拟预测）如图，在直角梯形中，，点M在以为直径的半圆上，且满足，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】建立直角坐标系，求出以为直径的圆的方程，借助三角函数设出，由求出，表示出，进而由辅助角公式结合三角函数的最值求解即可. 【详解】 如图，以为原点建立直角坐标系，设中点为，易得，则中点，， 故以为直径的圆的方程为，过作轴平行线交轴于，交半圆于，则，设， 则，又， 故，则，其中， 显然当时，取最大值. 故选：D. 【变式14-1】（2026高三·河南开封·阶段检测）已知点，点为圆上一动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，可求出的表达式，利用换元法，结合三角函数辅助角公式以及三角函数性质即可求得答案. 【详解】因为点为圆上一动点，故设， 则， 令，则， 即，则， 其中为辅助角，， 则，整理得， 故的最大值为， 故选：A 【变式14-2】【多选】（2026高二·广东珠海·期中）已知点，，，且点是圆：上的一个动点，则的值可以是（    ） A．66 B．79 C．86 D．89 【答案】BC 【分析】利用三角方法设出点的坐标，利用两点间的距离表示出，进而根据三角函数的有界性即可得到答案． 【详解】依题意，设， 则， ， ， ， 又，，则 故选：BC． 【变式14-3】（2026高二·上海·阶段检测）已知实数满足，则的最大值和最小值之和为__________. 【答案】4 【分析】应用三角换元，令，，且，结合三角恒等变换有，即可求. 【详解】由题设，令，，且， 所以，且， 所以的最大、最小值分别为、，故它们的和为4. 故答案为：4. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $