1.2 空间向量基本定理（第一课时）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理及基底、正交分解，通过复习平面向量基本定理和正交分解，结合“空间向量能否用两个不共线向量表示”的探究，引导学生从平面到空间的认知迁移，搭建学习支架。 其亮点是用对比表格梳理共线、平面、空间向量定理的联系，培养数学思维。通过基底表示向量、证明垂直等例题，强化数学语言表达。助力学生构建知识体系，培养空间观念，教师可借助清晰流程和典型例题提升教学效率。

.1.1 数系的扩充和复数 第一章 空间向量与立体几何 1.2 空间向量基本定理 第一课时 学习目标 1.了解空间向量基本定理及其意义. 2.会用基底表示空间向量. 3.掌握空间向量的正交分解. 4.掌握用基向量解决立体几何中简单问题的方法. 复习导入 2.平面向量的正交分解 1.平面向量的基本定理 不共线　 任一　 有且只有一对　 λ1e1＋λ2e2　 {e1，e2} 基底 j i O 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 如果e1，e2是同一平面内的两个_________向量，那么对于这一平面内的_______向量a，____________实数λ1，λ2，使a＝_____________. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 3 探究导入 探究： 我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定理）. 那空间任意一个向量，可以用什么来表示呢？ 至少需要三个向量 想一想：用两个不共线的向量能不能表示空间内所有向量？ 新知探究 思考1：任意一个空间向量可以用任意三个向量来表示吗？ ？ 情况一：共面 情况二：不共面 先研究空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 5 新知探究 思考2：如图，给定三个两两垂直的向量，显然它们是不共面的，对于给定的空间向量，如何用向量的线性组合来表示向量呢? 请尝试作图说明. i j k O p P 思考：表示为吗？ Q zk xi yj 我们称 xi，yj，zk 分别为向量 p 在 i，j，k 上的分向量． 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 6 新知探究 思考3：如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？ a b c p 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 7 新知探究 a b c p O P c C A B Q a b 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 8 新知探究 a b c p O P c C A B Q a b 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 9 新知探究 a b c p O P c C A B Q a b yb xa 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 10 新知探究 a b c p O P c C A B Q a b yb xa zc 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 11 敲黑板 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得. 若三个向量不共面，我们把叫做空间向量的一个基底，都叫做基向量。空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 空间的基底有无数个 特别地，我们常研究基向量两两垂直的情况 敲黑板 注意： （1）基底中不能有零向量.(因为零向量与任意向量共面,而基向量必须不共面). （2）空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底（基底不唯一）. （3）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示，不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同. （4）通常选择共起点不共面的三个向量作为空间向量的基底. 敲黑板 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 由空间向量基本定理知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，， ，使. 像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. O 敲黑板 填一填：由向量共线定理、平面向量基本定理及空间向量基本定理的一致性和连贯性，我们对比共线定理、平面向量基本定理和空间向量基本定理共同完成下表. 向量共线定理 平面向量基本定理 空间向量基本定理 表述形式 基向量个数 基向量要求 对于实数(对、组) 定理 分类 1 2 3 小试牛刀 只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底.（ ） (2)若是空间三个向量，则对空间任意向量，总存在唯一的有序数组 ，使.（ ） (3)若为空间一个基底，则也可以构成空间的一个基底.（ ） (4)对于三个不共面向量，，，不存在实数组使 .（ ） × × √ × 典例分析 例1：如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且用向量，，表示. 解： 选取这三个向量作为基底 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 17 典例分析 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 18 典例分析 立体几何直线平行问题： 1.用基底表示所给的向量；2.用＝λ ⇔. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 19 典例分析 立体几何夹角问题： 1.用基底表示所给的向量；2.用求夹角. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 20 当堂检测 1.若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个 基底的是( ) A、 , , B、, , C、 , , D、 , , B 解析： A、 , , 均与、 共面； B、 , 均不与共面； C、 , , 均与共面； D、 + ，所以共面 解析： A、 , , 均与、 共面； B、 , 均不与共面； C、 , , 均与共面； D、 + ，所以共面 解析： A、 , , 均与、 共面； B、 , 均不与共面； C、 , , 均与共面； D、 + ，所以共面 当堂检测 当堂检测 （2） 课堂小结 空间向量基本定理 基底 空间向量基本定理 单位正交基底 正交分解 不共面，则对，唯一有序实数组，使得 空间任意三个不共面的向量 反设共面，， 若有解，则共面，不能作为基底； 若无解，则不共面，能作为基底． 两两垂直，且长度都为1的基底 例2：如图1.2-3，在平行六面体中，，，，，，，，分别为，的中点． 求证： ． （1）证明：设， 所以， ． 所以．所以． 例3: 如图1.2-4，正方体的棱长为1，分别为，，的中点． （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值． （2）解：因为， ， 所以 所以与所成角的余弦值为． 例3: 如图1.2-4，正方体的棱长为1，分别为，，的中点． （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值． 2.在平行六面体中，设，，， 分别是的中点. (1)用向量表示；(2)若，求实数x，y，z的值. 解：（1）在平行六面体中， ， 由分别是的中点， 得. 2.在平行六面体中，设，，， 分别是的中点. (1)用向量表示；(2)若，求实数x，y，z的值. 而，且不共面， 所以. $