1.2空间向量基本定理课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件围绕空间向量基本定理展开，通过复习平面向量基本定理，结合教室墙角三个不共面向量的实例引入，构建从平面到空间的知识迁移支架，帮助学生理解基底表示空间向量的核心内容。 其亮点在于以特殊到一般的探究过程培养逻辑推理，通过典型例题用基底表示向量、证明垂直等问题，引导学生用数学思维解决立体几何问题。课堂检测分层设计，助力学生提升直观想象与应用能力，教师使用可高效落实教学目标。

讲课人： 日期： 1.2空间向量基本定理 学习目标 学习目标 核心素养 1.理解空间向量基本定理及其意义，会用基底表示空间向量. 直观想象 2.了解正交分解的意义，体会空间向量基本定理求解立体几何问题的方法. 逻辑推理 复习回顾 2.平面向量的正交分解 1.平面向量的基本定理 不共线　 任一　 有且只有一对　 λ1e1＋λ2e2　 {e1，e2} 基底 j i O 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 如果e1，e2是同一平面内的两个_________向量，那么对于这一平面内的_______向量a，____________实数λ1，λ2，使a＝_____________. 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任得到什么结论？ 新课引入 我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,那么用这三个向量能否表示空间中任意的向量呢？ 我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量来表示(平面向量基本定理). 类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量 来表示呢? 探索新知 我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论。 如图1.2-1，设是空间中三个两两垂直的向量，且 表示它们的有向线段有公共起点O。对于任意一个空间向量 ,设为所确定的平面上的投影向量，则 ，又向量，共线，因此存在唯一的实数 使得=z,从而z. O P Q 而在所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序 数对（）,使得 . 从而 探索新知 结论：如果是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组）,使得 我们称分别为向量在向量上的分向量。 探究：在空间中，如果用任意三个不共面的向量,b,c代替两两垂直的向量，你能得出类似的结论吗？ 提示：能。如图，平移向量使它们共起点，在向量方向作平行六面体，以为体对角线，通过空间向量的线性运算 可得 A D C B A1 B1 C1 D1 b c α O P Q 探索新知 {a, b, c} 基底 基向量 如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p= xa+ yb+zc，x,y,z∈R}．这个集合可看作由向量a,b,c生成的． 单位正交基底 对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi, yj, zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫作把空间向量进行正交分解. 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 三个基向量两两垂直 长度都为1 {i, j, k} 表示 探索新知 你能类比平面向量基本定理的表述，写出空间向量基本定理吗？ 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 空间向量基本定理 平面向量基本定理 如果三个向量 a，b，c 不共面， 那么对任意一个空间向量 p， 存在唯一的有序实数组 (x，y，z)， 使得 p＝xa＋yb＋zc． 空间向量的分解 启示：空间中的任意向量可以由三个不共面向量的线性运算来表示，且只要基底确定,则表示形式是唯一的. 空间向量间的运算 基向量间的运算 转化 探索新知 9 （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底. 特别提示：对于基底{ },除了应知道 不共面， 还应明确： （2）由于可视 为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都不是 . （3）一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关连的不同概念. (4)空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示. 探索新知 探索新知 2. 已知向量 是空间的一个基底，从 中选哪一个向量，一定可以与向量 构成空间的另一个基底? 探索新知 由向量共线定理、平面向量基本定理及空间向量基本定理的一致性和连贯性，下面我们来对比一下这三个定理： 向量共线定理 平面向量基本定理 空间向量基本定理 表述形式 基向量个数 基向量要求 对于实数(对、组) 定理 分类 1 2 3 典型例题 13 例1:如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且 用向量 表示 解： 分析: 是三个不共面的向量,它们构成空间的一个基底 可以用基底 表示出来. 探索新知 变式练习：如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为点M , , 则下列向量中与 相等的向量是(　　) C 典型例题 典型例题 典型例题 例3 如图，正方体的棱长为1，分别为的中点。 （1）求证：; (2)求与所成角的余弦值。 C A B D E F G （1）证明：设=,则{}构成空间的一个单位正交基底，所以 所以 所以 典型例题 （2）解 ：因为 , 所以与所成角的余弦值为 本题小结：用基向量解决立体几何夹角问题： 1.定基底 2.用基底表示所给的向量 3.用求夹角 C A B D E F G 所以 课堂小结 1.空间向量基本定理 2.基底与基向量 3.单位正交基底与正交分解 4.用空间向量基本定理解决立体几何问题 课堂检测 B A B A1 C1 B1 C 课堂检测 B 课堂检测 3、已知{e1，e2，e3}为空间一基底，且 能否以 作为空间的一个基底 即 解：假设 共面，根据向量共面的充要条件有： 此方程组无解, 可作为空间的一个基底. 不共面 课堂检测 4. 如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB = 2，AD = 2，AA' = 3，∠BAD =∠BAA' = ∠DAA' = 60°. 求BC'与CA'所成角的余弦值. A C D B C′ D′ B′ A′ 课后作业 课本第14页课后习题（15分钟） 分层作业基础练（20分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： 1：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．(　　) (2)若{a，b，c}为空间一个基底，则{－a，b，2c}也可构成空间一个基底．(　　) (3)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．(　　) 答案：　(1)×　(2)√　(3)√ $