1.1.2 空间向量的数量积运算（第一课时）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量的夹角、数量积及运算律、投影向量等核心知识点，通过复习平面向量的夹角和数量积导入，搭建从平面到空间的知识迁移支架，帮助学生逐步构建空间向量概念体系。 其亮点在于采用小组合作探究数量积性质与运算律，结合正方体、平行六面体等实例，运用数学思维（推理、运算）和数学语言（符号表达）解决问题，如总结证明线线垂直的四步步骤，培养学生空间观念和逻辑推理能力，为教师提供清晰教学流程与实例支持，提升教学效率。

.1.1 数系的扩充和复数 第一章 空间向量与立体几何 1.1.2 空间向量的数量积运算 （第一课时） 学习目标 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律. 3.了解空间向量投影的概念及投影向量的意义. 4. 能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题. 作者编号：32100 复习回顾 平面向量的夹角和数量积的定义： 作者编号：32100 新知探究 b a . O B α A 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 1.空间向量的夹角： 作者编号：32100 学以致用 解：如图，连接BD， 则在正方体ABCD-A'B'C'D'中，AC⊥BD， ∠BAC＝45°，AC＝AD'＝CD'， 所以＜ ， ＞＝＜ ， ＞＝45°， ＜ ， ＞＝180°－＜ ， ＞＝135°， ＜ ， ＞＝∠D'AC＝60°， ＜ ， ＞＝180°－＜ ， ＞＝180°－60°＝120°， ＜ ， ＞＝＜ ， ＞＝90°. 1. 如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求向量 分别与向量 ， ， ， ， 的夹角. 作者编号：32100 新知探究 2.空间向量的数量积 结果为数值 （2）特别地，零向量与任意向量的数量积为0. 注意：（1）向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab. （3）向数量积符号由cos的符号所决定： 已知两个向量和，则叫作，的数量积，记作. 即 . 作者编号：32100 新知探究 小组合作，完成下列向量数量积的性质及运算律的探究. 设 是非零向量，它们的夹角是θ， 是与 方向相同的单位向量，则： （判断向量垂直） （向量的模长公式） （向量的夹角公式） 注意：当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0. 作者编号：32100 新知探究 运算律 数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝_______，λ∈R 交换律 a·b＝____ 分配律 (a＋b)·c＝_________ λ(a·b) b·a a·c＋b·c 作者编号：32100 思考升华 问题1：“若，则”，这种说法正确吗？ 不正确，向量不能约分. 问题2：数量积的运算满足除法吗？ 数量积的运算不满足除法，即对于向量，，若，不能得到/m> （或<m></m>）；例：当非零向量<m></m>，<m></m>垂直时，<m></m>，但显然是没有意义的. 问题3：数量积的运算不满足结合律吗？ 向量的数量积的运算不满足结合律， 即不一定等于. 作者编号：32100 思考升华 解答下列关于数量积的计算、模的计算等问题. D' C' B' D A B C A' 问题： 作者编号：32100 学以致用 1 作者编号：32100 思考升华 问题：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点， 正方体的棱长为1.求证： ⊥ . 证明： ＝ ＋ ＝ － ＋ ， ＝ ＋ ＝－ （ ＋ ）， 所以 · ＝－ （ · ＋ · － － · ＋ · ＋ ） ＝－ ×（0＋0－1－0＋0＋1）＝0， 所以 ⊥ . 作者编号：32100 总结归纳 利用数量积证明垂直问题的步骤 （1）把几何问题转化为向量问题； （2）用已知向量表示所证向量； （3）结合数量积公式和运算律证明数量积为0； （4）将向量问题回归到几何问题. 作者编号：32100 新知探究 　如图，在平面向量中，我们学习了向量的投影向量，类似地，对于空间任意两个非零向量a，b，怎样得到向量a在向量b上的投影向量呢？ 作者编号：32100 新知探究 (1)向量a在向量b上的投影 先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图向量c称为向量a在向量b上的投影向量． α a b a c (2)向量a在直线l上的投影 如图，向量c称为向量a在直线l上的投影． α a a c l 作者编号：32100 新知探究 投影与投影向量： <m>·, ， 向量称为向量在向量上的投影向量. 作者编号：32100 新知探究 (3)向量a在平面β上的投影 如图分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，则向量(a′)称为向量a在平面β上的投影向量． (4)直线与平面所成的角 如图向量a与向量a′的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． β a a A A′ B′ a′ B 作者编号：32100 牛刀小试 4.已知向量a，b，｜a｜＝6，｜b｜＝8，＜a，b＞＝120°， 则a在b上的投影向量为 ，b在a上的投影向量为 ⁠. － b － a 投影向量中的两点注意： （1）在投影向量公式中， 是向量b的单位向量，不可以省去； （2）向量a在向量b上的投影向量也可以表示为 · . 作者编号：32100 课堂小结 本节课我们学到了哪些知识与方法？ 2.方法： （1）求空间向量的夹角、数量积及投影向量时常用到数形结合思想； （2）空间向量数量积的应用中注意转化与化归思想的应用. 1.知识点： （1）空间向量的夹角； （2）空间向量的数量积； （3）投影向量； （4）空间向量数量积的应用. 作者编号：32100 当堂检测 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45° 的是（　　） √ 作者编号：32100 $