1.1.2 空间向量的数量积运算-【新课程学案】2026-2027学年高中选择性必修第一册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积运算，涵盖夹角、定义、性质、投影及垂直判断、距离计算等核心内容。课前通过表格对比向量与直线夹角差异，自主落实基础，课堂以数量积计算、垂直证明、求模与夹角为梯度题型，构建从概念到应用的学习支架。 其亮点是梯度进阶式教学，课前微点助解和基础训练培养数学眼光，课堂题型示例与思维建模发展数学思维，如正四面体中向量数量积计算、正方体中垂直证明等实例，提升数学语言表达。助力学生提升空间观念与运算能力，为教师提供系统教学资源与分层训练方案。

1.1.2 空间向量的数量积运算 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学) 课时目标 1.了解空间向量的夹角.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义,会求向量的投影向量. 3.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用,掌握利用向量数量积求空间两点间的距离. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则________叫做向量a,b的夹角,记作________ 范围 _____________,a,b同向时,夹角为___,反向时,夹角为____ 向量垂直 如果<a,b>=____,那么向量a,b互相垂直,记作________ ∠AOB <a,b> 0≤<a,b>≤π 0 π a⊥b |微|点|助|解| 　　设表示两向量的有向线段所在直线的夹角为α,两向量的夹角为<a,b>, (1)区别:范围不同,0≤α≤,0≤<a,b>≤π. (2)联系:当两向量的夹角为锐角时,α=<a,b>;当两向量的夹角为直角时,两直线垂直,α=<a,b>=;当两向量的夹角为钝角时,α=π-<a,b>. 2.空间向量的数量积 (1)定义 已知两个非零向量a,b,则________________叫做a,b的数量积,记作a·b,即a·b=__________________.零向量与任意向量的数量积为0,即0·a=_____. (2)运算律 |a||b|cos<a,b> |a||b|cos<a,b> 0 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b=_________,λ∈R 交换律 a·b=_______ 分配律 (a+b)·c=_____________ λ(a·b) b·a a·c+b·c 3.空间向量的投影 (1)如图1,在空间,向量a向向量b投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c=________________, 向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地,可以将向量a向直线l投影(如图2). (2)如图3,向量a向平面β投影,就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',得到向量,向量称为向量a在平面β上的__________.这时,向量a,的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角. |a|cos<a,b> 投影向量 4.空间向量的数量积的性质 设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则 (1) a·e=e·a=___________ (2) a⊥b⇔_________ (3) 当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=_________ (4) 求模公式:a·a=|a|2或|a|=_________ (5) |a·b|≤_________ (当且仅当a,b共线时,等号成立) (6) 夹角公式:cos<a,b>=________ |a|cos θ a·b=0 -|a||b| 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)向量与的夹角不等于向量与的夹角. (　　) (2)对空间任意两个非零向量a,b,都有<-a,b>=<a,-b>=π-<a,b>. (　　) (3)若a·b=-|a||b|,则a∥b. (　　) (4)若a,b,c为非零向量,且a·c=b·c,则a∥b. (　　) (5)已知e1,e2是夹角为120°的两个单位向量,则e1在e2上的投影向量为-e2. (　　) √ √ √ × √ 2.若a,b是空间中夹角为60°的两个单位向量,则|a-b|= (　　) A.1 B. C. D.0 √ 解析:∵|a-b|2=(a-b)2=a2+b2-2a·b=1,∴|a-b|=1. 3.如图,正四面体OABC的棱长为1,则与的夹角为　　　　, ·=　　　　. 解析:因为在正四面体OABC中,||=||=||=||=1, <,>=<,>=60°,所以与的夹角为120°, ·=||||cos∠AOB=1×1×cos 60°=. 120° 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　空间向量的数量积 [例1]　如图,在三棱柱ABC⁃A1B1C1中,D,E分别为B1C1, AB的中点,设=a,=b,=c. (1)用a,b,c表示向量; 解:根据题意可得=++= -(+)-+=--=-b-c. (2)若||=||=||=1,∠A1AB=∠BAC=60°, ∠A1AC=90°,求·. 解:易知=-=b-a,且|a|=|b|=|c|=1, 显然<a,c>=∠A1AB=<a,b>=∠BAC=60°, <b,c>=∠A1AC=90°, 所以·=·=-b2+a·b-b·c+a·c =-+×1×1×-0+=. 　　|思|维|建|模| 在几何体中计算空间向量数量积的一般步骤 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. (2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积. (3)代入公式a·b=|a||b|cos<a,b>求解. 针对训练 1.如图,在三棱锥P⁃ABC中,AP,AB,AC两两垂直,AP=2, AB=AC=1,M为PC的中点,则·的值为(　　) A.1 B. C. D. 解析:由题意,得=+=+(+)=++.故·=·=·+·+ ·==. √ 2.如图,正方体ABCD⁃A'B'C'D'的棱长为1, 设=a,=b,=c,则a·(b+c)=　　　, a·(a+b+c)=　　　,(a+b)·(b+c)=　　　. 0 1 1 解析:依题意AB,AD,AA'两两互相垂直, 所以a·b=a·c=b·c=0.所以a·(b+c) =a·b+a·c=0,a·(a+b+c)=a·a+a·b+a·c =|a|2=1,(a+b)·(b+c)=a·b+b·b+a·c+b·c=|b|2=1. 题型(二)　利用数量积证明垂直问题 [例2]　如图,已知正方体ABCD⁃A'B'C'D', CD'与DC'相交于点O,连接AO,求证: (1)AO⊥CD'; 证明:因为=+=+(+) =(++2),=-,所以· =(++2)·(-)=(·-·+ ·-·+2·-2·)=(||2-||2)=0, 所以⊥,故AO⊥CD'. (2)AC'⊥平面B'CD'. 证明:设正方体的棱长为a,则· =(++)·(+) =·+·+·+· +·+·=0+0+0+a2-a2+0=0, 所以⊥,所以AC'⊥B'C.同理可证AC'⊥B'D'. 又B'C,B'D'⊂平面B'CD',B'C∩B'D'=B', 所以AC'⊥平面B'CD'. 　　|思|维|建|模| 用向量法证明垂直问题的方法 (1)由数量积性质a⊥b⇔a·b=0可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的向量a,b(a,b是非零向量),只要证明两个向量的数量积为零即可. (2)用向量法证明线面(面面)垂直,离不开线面(面面)垂直的判定定理,将线面(面面)垂直转化为线线垂直,然后利用向量法证明. 针对训练 3.如图,在四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD为平行四边形, ∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. 求证:PA⊥BD. 证明:设AD=a,则AB=2a. 因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥AB, 所以·=·=0, 所以·=(+)·(-)=·-·-+·=-||2+ ·=-a2+||||cos∠DAB=-a2+2a2×cos 60°=0,所以⊥, 故PA⊥BD. [例3]　如图,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60°. (1)求||; 题型(三)　利用数量积求模与夹角 解:||=||=||=6,·=·=·=6×6×cos 60°=18, ∵=++=++, 则=(++)2=+++2·+2·+ 2·=3×62+3×2×18=216.∴||=6. (2)求<,>的值. 解:∵=+=-,=-, 则=(-)2=-2·+ =36,即||=6,||=6,· =(-)·(-)=-·=18, ∴cos<,>===, 则<,>=60°. 本例条件不变,求直线BD1与AC所成角的余弦值. 变式拓展 解:∵=++=-++,=+,则=(-++)2 =++-2·-2·+2·=72,=+2·+ =108,即||=6,||=6. ·=(-++)·(+)=-++·+·=36. ∴cos<,>===,即直线BD1与AC所成角的余弦值为. |思|维|建|模| 1.求异面直线所成角的大小的一般步骤 取向量 根据题设条件分别取要求夹角的两异面直线的方向向量 转化角 将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题 求余弦 利用数量积求向量夹角的余弦值 定结果 异面直线所成的角的余弦值等于相应向量夹角余弦值的绝对值 2.求线段长度的步骤 (1)将线段用向量表示; (2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量; (3)利用|a|= 得所求长度. 4.如图,在四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,AD∥BC, AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD=,BB1=AD=2AB =2BC=2,E是线段B1D上的点,且=2. (1)求||的长; 针对训练 解:因为=2,所以=+=++, ||2==+++·+·+·=+×4+×4+×1×2×+×0+×2×2×=,故||=. (2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值. 解:因为=++=-,||= ==, 所以·=· =·+·+--·-· =0+×2×2×+×22-×12-×2×1×-0=1, 所以cos<,>===. 故异面直线AE与CD所成角的余弦值为. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.在正四面体ABCD中,点E,F分别是AC,AD的中点,则与的夹角为 (　　) A.30° B.60° C.120° D.150° √ 解析:由题意,可得=,所以<,>=<,>=180°-<,> =180°-60°=120°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知空间向量a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则cos<a,b>= (　　) A. B. C.- D. 解析:因为a+b+c=0,所以c=-(a+b),所以|c|=|a+b|, 所以|c|2=|a|2+2|a||b|cos<a,b>+|b|2, 所以16=4+12cos<a,b>+9,所以cos<a,b>=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.如图,已知正方体ABCD⁃A'B'C'D'的棱长为1,则·=(　　) A.1 B. C. D.-1 解析:因为=+=-+ =-+,且·=0,·=0, 所以·=·(-+) =·-·+=1.故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.在三棱锥S⁃ABC中,(++2)·(-)=0,则△ABC是(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 √ 解析:∵++2=+-2=(-)+(-)=+,- ==-,∴(++2)·(-)=(+)·(-)=- =0,∴||=||,即BC=BA,所以△ABC是等腰三角形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.在空间四边形ABCD中,∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD,则在上的投影向量为(　　) A. B. C. D. √ 解析:设AC=2,BD=1,由·=·=0,=++,则· =(++)·=||2,所以在上的投影向量为· =·=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.(多选)在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,下列命题是真命题的是 (　　) A.(++)2=3 B.·(-)=0 C.与的夹角为60° D.正方体的体积为||·(·) 解析:如图所示,(++)2=(++)2= =3,故A为真命题;·(-)=·=0,故B为真命题;连接CD1,易知与的夹角是与夹角的补角,而与的夹角为60°,故与的夹角为120°,故C为假命题;正方体的体积为||||||, 故D为假命题. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱, AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八个点,则集合{y|y=·,i=1,2,3,…,8}中的元素个数为(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 解析:由题意可知,=+,则·=·(+)=+·.因为棱长为1,AB⊥BPi,所以·=0,所以·=+·=1+0=1,故集合{y|y=·,i=1,2,3,…,8}中的元素个数为1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,如图所示,在鳖臑ABCD中,AB⊥ 平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=CD,M为AD的中点,则异面直线BM与CD所成角的余弦值为 (　　) A. B. C. D. 解析:设AB=BC=CD=1,由题意得=(+)=(++),所以||2 =(++)2=(++)=,·=(++)·==. 设异面直线BM与CD所成的角为θ,则cos θ===. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,<a,b>=135°,且m⊥n,则实数λ等于　　　　. 解析:∵m⊥n,∴m·n=(a+b)·(a+λb)=|a|2+λa·b+a·b+λ|b|2 =18+λ·3×4·cos 135°+3×4·cos 135°+λ·16=18-12λ-12+16λ =6+4λ=0,∴λ=-. - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)如图,两条异面直线a,b所成的角为30°,在直线a,b上分别取点A',E和点A,F,使AA'⊥a且AA'⊥b.已知A'E=2,AF=,EF=5,则线段AA'的长为______________. 解析:因为=++, 所以||2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·,由于AA'⊥a,AA'⊥b,则2·=0,2·=0.又因为两条异面直线a,b所成的角为30°,所以<,>=30°或<,>=150°,故52=22+||2+3+2×2× ×cos<,>,可得||=2或||=2. 2或2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)在正三棱柱ABC⁃A1B1C1中,底面边长为a,侧棱长为b,若B1C⊥A1B,则=　　　. 解析:如图,由题意||=||=a,||=b,且<,>=60°, ⊥,⊥,则=+=+, =-,又B1C⊥A1B,即⊥,所以·=0, 所以(-)·(+)=·+·--· =0+a·a·-b2-0=0,解得a=b,即=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)如图,在长方体ABCD⁃A'B'C'D'中, E是AA'的中点,AA'=AD=2,AB=4,求: (1)·;(5分) 解:∵是长方体,而且AA'=AD=2,∴<,>=∠B'BC'=45°, ||=AA'=1,||=BC'==2,因此,· =||||cos<,>=2×1×=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)·.(5分) 解:∵=++,==,∴·=(++)· =-+·+·. ∵⊥,⊥, ∴·=-=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)如图,在四棱锥P⁃ABCD中,四边形ABCD为矩形,且AB=2AD=2,PA=2,∠PAB=∠PAD=. (1)求线段PC的长度;(3分) 解:∵=+=++,∴=+++2·+2·+2·=4+4+1-2×2-2×1=3, ∴||=,∴线段PC的长度为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值;(4分) 解:∵·=(++)·(-)=·-· +·-·+·-·=-1×2×-2×2+1 ×1+2×2×+0-0=-2,||=, ∴cos<,>===-, 故异面直线PC与BD所成角的余弦值为. (3)若E为AB的中点,证明:PA⊥ED.(3分) 解:证明:∵E为AB的中点,∴AD=AE, ∵·=·(-)=·-·=2×1×-2×1×=0, ∴⊥,即PA⊥ED. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)如图,在六棱柱ABCDEF⁃A1B1C1D1E1F1中,底面ABCDEF是正六边形,设=a,=b,=c. (1)用a,b,c分别表示,.(5分) 解:如图,连接AD,因为六边形ABCDEF为正六边形, 所以+=,则=2a+2b, 所以=-=2a+2b-c,=+=- =2a+b-c. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若cos∠BAA1=cos∠FAA1=,AB=2,AA1=4,求: ①·;(5分) 解:因为六边形ABCDEF为正六边形,所以∠BAF=. 又cos∠BAA1=cos∠FAA1=,AB=2,AA1=4, 所以|a|=|b|=2,|c|=4,a·b=|a||b|cos=-2,a·c=b·c=|a||c|×=2. ①·=(2a+b-c)·(2a+2b-c)=4a2+2b2+c2+6a·b-3b·c-4a·c =16+8+16-12-6-8=14. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 ②||.(5分) 解:因为=++=-+ =2a+2b-a+c=a+2b+c, 所以||2=(a+2b+c)2 =a2+4b2+c2+4a·b+4b·c+2a·c =4+16+16-8+8+4=40,故||=2. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $