2.1.1 有理数的加法（第1课时有理数的加法法则）（导学案）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学导学案聚焦有理数加法法则，通过温差计算、零花钱收支等实际问题导入，衔接小学加法与有理数概念，借助数轴上左右运动的情境支架，引导学生从具体到抽象归纳法则。 以“情境—抽象—归纳”探究过程培养推理意识，结合数轴、绝对值综合及实际应用题型，分层设计基础与拓展练习，助力学生理解法则形成，提升运算能力与应用意识，落实新课标核心素养。

2.1.1 有理数的加法 导学案 第1课时有理数的加法法则 1.理解有理数加法的意义，掌握有理数加法三条法则。 2.能熟练运用加法法则进行两个有理数的加法运算，做到“先定符号，再算绝对值”。 3.经历从运动情境到算式抽象、再到法则归纳的探究过程，体会数形结合思想。 学习重点：三条加法法则的正确表述。 学习难点：异号两数相加时结果符号的判定。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情景： 在第一章中，我们把数的范围扩大到了有理数．根据小学阶段学习数的经验，接下来就要研究有理数的运算． 在实际问题中，我们也会遇到有理数的运算问题． 例如： （1）北京冬季某一天的气温为−3∼3∘C，这一天北京的温差是多少？ （2）李明同学经常对家里的生活垃圾分类，并卖出积攒的可回收物，这样既保护了环境，又增加了零花钱． 下表是他这个月零花钱的部分收支情况． 日期 收入 /元 结余 /元 注释 2 日 3.5 18.5 卖可回收物 8 日 -6.5 12.0 买中性笔、记号笔 12 日 -15.2 -3.2 买科普书，同学代付 这里，“结余12.0”和“结余−3.2”是怎么得到的？ 要解决上面的问题，就要计算3−(−3)，18.5+(−6.5)，12.0+(−15.2)． 本章我们将在上一章以及小学已学的数的运算基础上，进一步学习有理数的运算，将数的运算推广到有理数范围内，从而初步感悟数系扩充的完整过程，并认识运算在数学中的价值及其在解决实际问题中的作用． 新知自研：自研课本第25--28页的内容． 【学法指导】 自研课本P25-28的内容，思考： ●探究一：同号两数相加 ◆1.思考探究 ①数的范围扩大到有理数后，就要研究有理数的运算。在小学，我们学过正数及 0 的加法运算，引入负数后，在有理数范围内怎样进行加法运算呢？ 结余12.0与结余﹣3.2是如何得到的？ 在本章引言中，把收入记作正数，支出记作负数，在求"结余"时，需要计算 18.5＋(﹣6.5)，12.0＋(﹣15.2)等。 ②小学学过的加法运算涉及正数与正数相加、正数与 0 相加以及 0 与 0 相加。引入负数后，在有理数范围内，加法有哪几种情况？ 引入负数后，在有理数范围内，加法还有以下情况： ①负数 + 负数 如：-5+（-3） ②正数 + 负数 如：18.5＋(－6.5) ③0+ 负数 如：0＋(－1.5) 结合已经学过的加法的其他情况，发现有理数的加法可以分为三大类： （1）同号两数相加（2）异号两数相加（3）一个数与 0 相加 下面我们借助具体情境和数轴来逐一讨论. ◆2.情景探究 一个物体沿着一条直线做左右方向的运动，我们规定向右为正，向左为负。例如，将向右运动 5 m 记作 5 m，向左运动 5 m 记作－5 m. ①如果物体先向右运动 5 m，再向右运动 3 m，那么两次运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？ 两次运动后，物体从起点向右运动了 8 m。即：5＋3＝8① ②如果物体先向左运动 5 m，再向左运动 3 m，那么两次运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？ 两次运动后，物体从起点向左运动了 8 m。 写成算式就是：(－5)＋(－3)＝－8② ◆3.讨论思考 结合上面两个例子，你能否总结同号两数相加的运算规律？ ★★总结归纳： 符号相同的两个数相加，和的符号不变，且和的绝对值等于加数的绝对值的和。 即：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 若 a>0,b>0，则 a+b=+(|a|+|b|)； 若 a<0,b<0，则 a+b=−(|a|+|b|)。 ◆4.新知巩固 计算： （1）(+8)+(+6)=______（______）=______； （2）(−5)+(−9)=______（______）=______． 【分析】同号两数相加，取加数的符号，并把绝对值相加． 解：（1）(+8)+(+6)=+(8+6)=14， 故答案为：+；8+6；14； （2）(−5)+(−9)=−(5+9)=−14， 故答案为：−；5+9；−14． ●探究二：异号两数相加 ◆1.探究思考 ①按照前面的规定，如果物体先向左运动 3 m，再向右运动 5 m，那么两次运动的最后结果是什么？如何用算式表示？ 从原点向左 3 m 到－3，再向右 5 m，经过原点后继续向右到 2. 即：(－3)＋5＝2③ ②如果物体先向右运动 3 m，再向左运动 5 m，那么两次运动的最后结果是什么？如何用算式表示？ 从原点向右 3 m 到 3，再向左 5 m，经过原点后继续向左到－2. 即：3＋(－5)＝－2④ ◆2.思考讨论 结合上面两个例子，你能否总结异号两数相加的运算规律？ ★★总结归纳： 绝对值不相等、符号相反的两个数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差。 若 a>0,b<0，且 |a|>|b|，则 a+b=+(|a|−|b|) 若 a<0,b>0，且 |a|>|b|，则 a+b=−(|a|−|b|) ◆3.新知探究 ①异号两数相加的本质是"方向相反的两次运动的叠加"，最终结果取决于哪个方向的运动距离更长. ②和的方向（符号）与距离更长（绝对值更大）的那次运动一致. ③和的距离（绝对值）是两次距离的"抵消"后的剩余量（较大绝对值减较小绝对值）. ◆4.新知巩固 计算：（1）(−5)+7； （2）(−)+(−2)； （3）(−3.51)+(+2.83)； 【分析】异号两数相加，和取绝对值较大加数的符号，大绝对值减去小绝对值. 解：（1）原式=7−5=6−5=1； （2）原式=−(+)=−； （3）原式=−(3.51−2.83)=−0.68； ●探究三：互为相反数相加与一个数同 0 相加 ◆1.探究思考 ①按照以上规则，如果物体先向右运动 5 m，再向左运动 5 m，那么两次运动的最后结果是什么？ 结果是物体仍在起点处。写成算式就是：5＋(－5)＝0⑤ 算式⑤表明，互为相反数的两个数相加，结果为 0。 ②如果物体第 1 s 向右运动 5 m，第 2 s 原地不动，那么 2 s后物体从起点向右运动了多少？ 物体最终向右运动了 5 m。写成算式就是：5＋0＝5 ⑥ 算式⑥表明，一个数与 0 相加，结果仍是这个数。 ◆2.讨论思考 从算式①～⑥可知，在有理数的加法运算中，既要考虑符号，又要考虑绝对值。综合以上探究，你能总结有理数加法法则吗？ ★★总结归纳： （1）同号两数相加：和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和． （2）异号两数相加：绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差． （3）互为相反数的两个数相加仍得 0． （4）一个数与 0 相加，仍得这个数． 注意：两个有理数相加，仍是有理数． ◆3.新知巩固 如果两数相加的和小于每一个加数，那么下列判断正确的是（   ） A．这两个加数一定有一个数是0 B．这两个加数一定都是负数 C．这两个加数一正一负 D．这两个加数的符号不能确定 【分析】根据负数的特点结合有理数加法法则即可得出答案. 解∶只有两个负数相加和才小于这两个加数．故选：B． ◆4.例题讲解 例 计算：（1）(−3)+(−9)； （2）(−8)+0； （3）12+(−8)； （4）(−4.7)+3.9； （5）(−)+(+). 【分析】依据有理数加法法则，先判断加数类型，再确定结果符号，最后计算绝对值． 解：（1）(−3)+(−9)=−(3+9)=−12； （2）(−8)+0=−8； （3）12+(−8)=+(12−8)=4； （4）(−4.7)+3.9=−(4.7−3.9)=−0.8； （5）(−)+(+)=0.（两个相反数相加，结果为0） ◆5.归纳总结 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A. 探讨有理数加法法则，区分同号相加、异号相加、与 0 相加三种类型运算要点； B. 交流例题的已知条件和所求问题，理清 “一看、二定、三算” 解题步骤，梳理运算易错点； C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.计算： (1)−5+5； (2)7.2+(−2.6)； (3)−10+3； (4)−8.75+(−3)； 【分析】同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 解：(1)−5+5=0； (2)7.2+(−2.6)=+(7.2−2.6)=4.6； (3)−10+3=−(10−3)=−7； (4)−8.75+(−3)=−(8.75+3.25)=−12； 2．下列各式运算正确的是（ ） A. (-3)+(+7)=-4 B.(−2)+(+2)=−4 C.(+6)+(-11)=-5 D. (-5)+(+3)=-8 解：选项A：∵(−3)+(+7)=4≠−4,A错误； 选项 B: ∵(−2)+(+2)=0≠−4,B 错误； 选项 C: ∵(+6)+(−11)=−5,C 正确； 选项 D:(−5)+(+3)=−2≠−8,D错误. 3.点P从数轴上表示2的点出发，先向左移动3个单位，再向右移动7个单位，则点P最终表示的数是（     ）． A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】根据数轴上的点左移减，右移加，可得答案． 解：点P从数轴上表示2的点出发，先向左移动3个单位，表示2−3=−1，再向右移动7个单位，表示为−1+7=6，即点P最终表示的数是6． 4.如图，数轴上有A，B两点，点A表示的数为−4，若AB=3，则点B表示的数为______． 解：由数轴可知，点B在点A的右侧， 已知点A表示的数是−4，AB=3， ∴点B表示的数：−4+3=−1． 5．x 的相反数是 2, |y|=3, 则x+y=（ ） A. -5或 1 B. 5 或-1 C. 1 D. −5 【分析】相反数与绝对值的定义.需先根据定义求出x、y的可能取值，再分情况计算x+y 的值，即可作答. 解：∵x的相反数是 2,|y|=3 ∴x=−2 , y=±3 , 则x+y=−2+(−3)=−5或x+y=−2+3=1, 故选：A 6.已知 |x−2|+|y+5|=0，求 x+y 的值 解：因为 |x−2|≥0，|y+5|≥0，且它们的和为 0， 所以 x−2=0 且 y+5=0， 解得 x=2，y=−5， 所以 x+y=2+(−5)=−3． 拓展提升 若|a−3|与|b+2|互为相反数，求a+b+5的值。 解：因为|a−3|与|b+2|互为相反数，所以|a−3|+|b+2|=0． 因为|a−3|≥0，|b+2|≥0，所以|a−3|=0，|b+2|=0． 故a−3=0，b+2=0． 所以a=3，b=−2． 所以a+b+5=3+(−2)+5=6． ▲1、有理数加法法则： （1）同号两数相加：和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和． （2）异号两数相加：绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差． （3）互为相反数的两个数相加仍得 0． （4）一个数与 0 相加，仍得这个数． 题型一：两个有理数相加 1．计算（﹣2）+（﹣4），结果等于（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6 【分析】根据有理数加法解答即可． 【解答】解：（﹣2）+（﹣4）＝﹣6， 故选：D． 【点评】此题考查有理数的加法，关键是根据有理数的加法法则解答． 2．下列各数中，与2024的和为0的是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【分析】根据相反数的定义、有理数的加法法则进行解题即可． 【解答】解：A、2024+2024＝4048，不符合题意； B、﹣2024+2024＝0，符合题意； C、2024≠0，不符合题意； D、2024≠0，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查有理数的加法、相反数，熟练掌握其定义是解题的关键． 3．计算：﹣2024+2023的结果是（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣4047 D．4047 【分析】根据负数加正数的计算规则即可求解． 【解答】解：﹣2024+2023＝﹣（2024﹣2023）＝﹣1， 故选：B． 【点评】本题考查有理数的加法，负数加正数的计算规则是：符号取绝对值较大的加数的符号，数值取“用较大的绝对值减去较小的绝对值”的所得值． 4．计算： （1）（－3）＋（－7） （2）0＋（＋5 ） （3）（﹣2.2）＋（＋3.8） （4） （5）|﹣7│+│﹣9 │ （6）﹣│-7│+│-9│ 【分析】根据有理数的加法法则计算即可求解. 【解答】（1）解：（﹣3）+（﹣7） =﹣（3+7） =﹣10 （2）解：0+（+5 ） =5 （3）解：（﹣2.2）+（+93.8） =＋（3.8﹣2.2） =1.6 （4）解： =﹣ = （5）解： = = 解:（6）﹣│-7│+│-9│ =﹣7+9 =2 【点评】本题主要考查有理数加法，掌握其运算法则是解题关键． 题型二：多个有理数相加 5．设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a+b+c等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】由a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，可得，a＝1，b＝﹣1， c＝0，则a+b+c＝1+（﹣1）+0＝0． 【解答】解：依题意得：a＝1，b＝﹣1，c＝0， ∴a+b+c＝1+（﹣1）+0＝0． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数加法，掌握正整数、负整数的概念和绝对值的性质是解题的关键． 6．下列运算中正确的是（　　） A．8+[14+（﹣9）]＝15 B．（﹣2.5）+[5+（﹣2.5）]＝5 C．[3（﹣3）]+（﹣2）＝﹣2 D．3.14+[（﹣8）+3.14]＝﹣8 【分析】根据有理数的加法运算法则即可求出答案． 【解答】解：A、原式＝8+5＝13，故A不符合题意． B、原式＝﹣2.5+2.5＝0，故B不符合题意． C、原式＝0+（﹣2）＝﹣2，故C符合题意． D、原式＝3.14+3.14+（﹣8）＝﹣1.72，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查有理数的加减运算法则，解题的关键是熟练运用有理数的加法运算法则，本题属于基础题型． 7．若a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，c是相反数等于它本身的数， d是到原点的距离等于2的负数，e是最大的负整数，则a+b+c+d+e的值为（　　） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【分析】先由题目条件分别得到a、b、c、d、e的值，然后计算a+b+c+d+e的值． 【解答】解：∵a是最小的正整数， ∴a=1， ∵b是绝对值最小的数， ∴b=0， ∵c是相反数等于它本身的数， ∴c=0， ∵d是到原点的距离等于2的负数， ∴d=-2， ∵e是最大的负整数， ∴e=-1， ∴a+b+c+d+e=1+0+0+（-2）+（-1）=-2． 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值的性质、负数的意义、数轴有关的知识，解题的关键是熟知相关的知识点． 8．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 题型三：数轴与有理数加法的综合 9．若两个数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相加所得的和（　　） A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定是0 D．以上都不对 【分析】根据数轴的性质即可求出答案． 【解答】解：由于两个有理数分布在原点两侧，故必为一正一负， 所以两个数相加所得的和可能是正数或负数或0， 故选：D． 【点评】本题考查有理数的运算，解题的关键是熟练运用有理数的运算，本题属于基础题型． 10．已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，且a+b＜0，有以下结论：①b＜0；②a﹣b＜0；③b＜﹣a＜a＜﹣b；④|a|＜|b|，其中结论正确的有 　 　（填序号）． 【分析】根据图示，可得：a＞0，然后根据a+b＜0，逐项判断即可． 【解答】解：∵a＞0，a+b＜0， ∴b＜0， ∴①符合题意； ∵a＞0，a+b＜0， ∴b＜0， ∴a﹣b＞0， ∴②不符合题意； ∵a＞0，a+b＜0， ∴b＜﹣a＜a＜﹣b， ∴③符合题意； ∵a＞0，a+b＜0， ∴|a|＜|b|， ∴④符合题意， ∴结论正确的有①③④． 故答案为：①③④． 【点评】此题主要考查了有理数加减法的运算方法，以及数轴的特征和应用，掌握有理数的加减运算法则是解答本题的关键． 11．如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q＝0，则m，n，p，q四个数中负数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先根据相反数的意义，确定原点，再根据各数在原点的位置确定数的正负． 【解答】解：∵n+q＝0 ∴n与q互为相反数． ∴原点为O． 则在原点左侧的数有三个． 即m，n，p，q四个数中负数有3个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了数轴和正负数，根据相反数的意义确定原点的位置是解决本题的关键． 12．如图，在数轴上，点O是原点，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点的位置（OA＞OB），下面式子结果为正数的是（　　） A．a+b B．a+c C．c+（﹣b） D．a+（﹣c） 【分析】根据点A、B、C所在数轴上的位置，判断各个数的大小及绝对值，从而得出判断即可． 【解答】解：由点A、B、C所在数轴上的位置可知， c＜a＜0＜b，且|c|＞|a|＞|b|， ∴a+b＜0，a+c＜0，c+（﹣b）＜0，a+（﹣c）＞0， 故选：D． 【点评】本题考查数轴，正数和负数，掌握数轴表示数的方法，理解符号和绝对值是确定有理数的必要 条件． 题型四：绝对值与有理数加法的综合 13．如果a+b+c＝0且|c|＞|b|＞|a|．则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c为正数 【分析】由题意得a，b，c三个数至少有一个正数，且至少有一个为负数，且|c|＝|b|+|a|，所以可能a，b为正数c为负数，也可能a，b为负数c为正数． 【解答】解：∵a+b+c＝0且|c|＞|b|＞|a|． ∴a，b，c三个数至少有一个正数，且至少有一个为负数，且|c|＝|b|+|a|， ∴可能a，b为正数c为负数，也可能a，b为负数c为正数， 故选：A． 【点评】此题考查了有理数的加法和绝对值的意义的综合运用能力，关键是能准确理解并运用有理数的加法法则． 14．若有理数x、y满足，，且，则（　　） A．8 B．2 C．2或8 D．或 【分析】本题主要考查绝对值的意义、有理数的加法运算及代数式的值，熟练掌握绝对值的意义、有理数的加法运算及代数式的值是解题的关键；由可知，再结合，，筛选出满足的情况，即可得到的值． 【解答】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴ ， ∴， ∴ 当时，， 当时，； 故选C． 15．的相反数与的绝对值的和是 　 　． 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：||． 故答案为：． 【点评】此题考查了有理数的加法，相反数，以及绝对值，列出正确的算式是解本题的关键． 16．探索研究： (1)比较下列各式的大小（用“ ”、“”、“”连接） ①______；        ②______； ③______；        ④______． (2)通过（1）中的大小比较，猜想并归纳出与的大小关系，并说明a，b满足什么关系时，成立？ (3)根据（2）中得出的结论，当时，则x的取值范围是______． 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加法法则，有理数的大小比较等知识，属于基础知识的归纳探究题型，难度一般．解题的关键是熟知相关知识，学会寻找规律． （1）先分别计算再比较大小即可； （2）根据绝对值的性质结合有理数的加法法则即可判断大小； （3）根据（2）的结论，即可确定答案． 【解答】（1）解：①； ∴ ； ②； ∴ ③；   ∴ ④； ∴ ； 故答案为：；；；； （2）解：根据题意得：与的大小关系：； 当、同号或、至少有一个为时，成立； （3）解：由（2）可知非负数时，成立； 故答案为：． 题型五：有理数加法实际应用 17．王大爷把今年收获的土豆装在大小相同的袋子里，一共装了10袋．每袋称重结果如下： 袋号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 质量/ 54 49 51 50 48 52 50 47 53 46 这10袋土豆的总质量是多少？你是怎么算的？ 【分析】以为标准，超过的质量记为正，不足的质量记为负，将各袋土豆的质量转化为与基准数的差值量，通过计算差值和以及10袋土豆的标准质量和即可得到答案． 【解答】解：这10袋土豆的总质量是，计算如下： 以为标准，超过的质量记为正，不足的质量记为负， 则这10袋土豆的质量（单位：）分别为：， ， ， ， ∴这10袋土豆的总质量是． 18．如图，一辆货车从超市出发，向东走了到达小彬家，继续走了到达小颖家，最后回到超市． (1)若以超市为原点，向东的方向为正方向，用1个单位长度表示画数轴，则小彬家和小颖家在数轴上的位置表示的有理数分别为___________和___________； (2)货车从超市出发到最后回到超市一共行驶了多少千米？ 【解答】（1）解：小彬家在数轴上的位置表示的有理数为， 小颖家在数轴上的位置表示的有理数为； （2）解：由题意得，（千米） 答：货车从超市出发到最后回到超市一共行驶了千米． 19．2025年9月23日是第八个中国农民丰收节，这天，重庆在忠县马灌镇举办了庆祝活动．忠旺同学在农民农耕赛事运动会现场的一条包括赛事运动起点O的东西向直道上服务，他规定向东为正，向西为负，他从赛事运动起点O出发，连续6次服务走过的各段路径依次记为（单位：米）：，，，，，． (1)说明忠旺同学在第6次服务后所处的位置； (2)忠旺同学6次服务共走了多长的路程？ 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数加法的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）通过计算所有数据的代数和确定最终位置； （2）通过计算所有路径的绝对值之和得到总路程． 【解答】（1）解：（米），由于向东为正，故在第6次服务后位于起点O的东边15米处， 答：忠旺同学在第6次服务后所处的位置在起点O的东边15米处； （2）解：（米）， 答：忠旺同学6次服务共走了43米的路程． 20．小伟是一个懂事的孩子，他每天都会从妈妈给的零花钱中存下一部分，他原计划每天存5元，下表是小伟在某一周实际各天存钱的情况（多存记为“+”，不足记为“﹣”）． 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 存钱（元） ﹣1 +2 0 ﹣3 +1 ﹣1 +3 （1）小伟在这一周中存钱最多的一天是星期 　 　，这一天存了 　 元． （2）请计算小伟这一周存了多少钱？ 【分析】（1）根据题意列出算式，算出每天存的钱数，通过比较，进行解答即可； （2）根据（1）中的计算结果，列出算式，求出答案即可． 【解答】解：（1）由题意可知： 星期一存钱为：﹣1+5＝4（元）； 星期二存钱为：2+5＝7（元）； 星期三存钱为：0+5＝5（元）； 星期四存钱为：﹣3+5＝2（元）； 星期五存钱为：1+5＝6（元）； 星期六存钱为：﹣1+5＝4（元）； 星期日存钱为：+3+5＝8（元）； ∴小伟在这一周中存钱最多的一天是星期日，这一天共存了8元钱， 故答案为：日，8； （2）小伟这一周存的钱数为： 4+7+5+2+6+4+8 ＝（4+6+2+8）+（7+5+4） ＝20+16 ＝36（元）． 【点评】本题主要考查了有理数的加减运算，解题关键是理解题意列出算式． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.1 有理数的加法 导学案 第1课时有理数的加法法则 1.理解有理数加法的意义，掌握有理数加法三条法则。 2.能熟练运用加法法则进行两个有理数的加法运算，做到“先定符号，再算绝对值”。 3.经历从运动情境到算式抽象、再到法则归纳的探究过程，体会数形结合思想。 学习重点：三条加法法则的正确表述。 学习难点：异号两数相加时结果符号的判定。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情景： 在第一章中，我们把数的范围扩大到了有理数．根据小学阶段学习数的经验，接下来就要研究有理数的运算． 在实际问题中，我们也会遇到有理数的运算问题． 例如： （1）北京冬季某一天的气温为−3∼3∘C，这一天北京的温差是多少？ （2）李明同学经常对家里的生活垃圾分类，并卖出积攒的可回收物，这样既保护了环境，又增加了零花钱． 下表是他这个月零花钱的部分收支情况． 日期 收入 /元 结余 /元 注释 2 日 3.5 18.5 卖可回收物 8 日 -6.5 12.0 买中性笔、记号笔 12 日 -15.2 -3.2 买科普书，同学代付 这里，“结余12.0”和“结余−3.2”是怎么得到的？ 要解决上面的问题，就要计算3−(−3)，18.5+(−6.5)，12.0+(−15.2)． 本章我们将在上一章以及小学已学的数的运算基础上，进一步学习有理数的运算，将数的运算推广到有理数范围内，从而初步感悟数系扩充的完整过程，并认识运算在数学中的价值及其在解决实际问题中的作用． 新知自研：自研课本第25--28页的内容． 【学法指导】 自研课本P25-28的内容，思考： ●探究一：同号两数相加 ◆1.思考探究 ①数的范围扩大到有理数后，就要研究有理数的运算。在小学，我们学过正数及 0 的加法运算，引入负数后，在有理数范围内怎样进行加法运算呢？ 结余12.0与结余﹣3.2是如何得到的？ 在本章引言中，把收入记作正数，支出记作负数，在求"结余"时，需要计算 18.5＋(﹣6.5)，12.0＋(﹣15.2)等。 ②小学学过的加法运算涉及正数与正数相加、正数与 0 相加以及 0 与 0 相加。引入负数后，在有理数范围内，加法有哪几种情况？ 引入负数后，在有理数范围内，加法还有以下情况： ①负数 + 如：-5+（-3） ② + 负数 如：18.5＋(－6.5) ③0+ 如：0＋(－1.5) 结合已经学过的加法的其他情况，发现有理数的加法可以分为三大类： （1） 两数相加（2） 两数相加（3）一个数与 相加 下面我们借助具体情境和数轴来逐一讨论. ◆2.情景探究 一个物体沿着一条直线做左右方向的运动，我们规定向右为正，向左为负。例如，将向右运动 5 m 记作 5 m，向左运动 5 m 记作－5 m. ①如果物体先向右运动 5 m，再向右运动 3 m，那么两次运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？ 两次运动后，物体从起点向 运动了 m。即： ＝ ① ②如果物体先向左运动 5 m，再向左运动 3 m，那么两次运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？ 两次运动后，物体从起点向 运动了 m。 写成算式就是： ＝ ② ◆3.讨论思考 结合上面两个例子，你能否总结同号两数相加的运算规律？ ★★总结归纳： 符号相同的两个数相加，和的 不变，且和的绝对值等于加数的绝对值的 。 即：同号两数相加，取 的符号，并把绝对值 。 若 a>0,b>0，则 a+b= (|a|+|b|)； 若 a<0,b<0，则 a+b= (|a|+|b|)。 ◆4.新知巩固 计算： （1）(+8)+(+6)=______（______）=______； （2）(−5)+(−9)=______（______）=______． ●探究二：异号两数相加 ◆1.探究思考 ①按照前面的规定，如果物体先向左运动 3 m，再向右运动 5 m，那么两次运动的最后结果是什么？如何用算式表示？ 从原点向左 3 m 到－3，再向右 5 m，经过原点后继续向_____到_____. 即： ＝_____③ ②如果物体先向右运动 3 m，再向左运动 5 m，那么两次运动的最后结果是什么？如何用算式表示？ 从原点向右 3 m 到 3，再向左 5 m，经过原点后继续向 到 . 即： ＝ ④ ◆2.思考讨论 结合上面两个例子，你能否总结异号两数相加的运算规律？ ★★总结归纳： 绝对值不相等、 相反的两个数相加，和的符号与绝对值 的加数的符号相同，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的 。 若 a>0,b<0，且 |a|>|b|，则 a+b= (|a|−|b|) 若 a<0,b>0，且 |a|>|b|，则 a+b= (|a|−|b|) ◆3.新知探究 ①异号两数相加的本质是"方向 的两次运动的叠加"，最终结果取决于哪个方向的运动距离更长. ②和的方向（符号）与距离更长（绝对值 ）的那次运动一致. ③和的距离（绝对值）是两次距离的"抵消"后的剩余量（较大绝对值 较小绝对值）. ◆4.新知巩固 计算：（1）(−5)+7； （2）(−)+(−2)； （3）(−3.51)+(+2.83)； 【分析】异号两数相加，和取绝对值较大加数的符号，大绝对值减去小绝对值. 【解答】 ●探究三：互为相反数相加与一个数同 0 相加 ◆1.探究思考 ①按照以上规则，如果物体先向右运动 5 m，再向左运动 5 m，那么两次运动的最后结果是什么？ 结果是物体仍在起点处。写成算式就是： ⑤ 算式⑤表明，互为相反数的两个数相加，结果为 。 ②如果物体第 1 s 向右运动 5 m，第 2 s 原地不动，那么 2 s后物体从起点向右运动了多少？ 物体最终向右运动了 5 m。写成算式就是： ⑥ 算式⑥表明，一个数与 0 相加，结果仍是 。 ◆2.讨论思考 从算式①～⑥可知，在有理数的加法运算中，既要考虑符号，又要考虑绝对值。综合以上探究，你能总结有理数加法法则吗？ ★★总结归纳： （1）同号两数相加：和取 的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的 ． （2）异号两数相加：绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值 的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的 ． （3）互为 的两个数相加仍得 0． （4）一个数与 0 相加，仍得 ． 注意：两个有理数相加，仍是 ． ◆3.新知巩固 如果两数相加的和小于每一个加数，那么下列判断正确的是（   ） A．这两个加数一定有一个数是0 B．这两个加数一定都是负数 C．这两个加数一正一负 D．这两个加数的符号不能确定 ◆4.例题讲解 例 计算：（1）(−3)+(−9)； （2）(−8)+0； （3）12+(−8)； （4）(−4.7)+3.9； （5）(−)+(+). 【分析】依据有理数加法法则，先判断加数类型，再确定结果 ，最后计算 ． 【解答】 ◆5.归纳总结 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A. 探讨有理数加法法则，区分同号相加、异号相加、与 0 相加三种类型运算要点； B. 交流例题的已知条件和所求问题，理清 “一看、二定、三算” 解题步骤，梳理运算易错点； C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.计算： (1)−5+5； (2)7.2+(−2.6)； (3)−10+3； (4)−8.75+(−3)； 2．下列各式运算正确的是（ ） A. (-3)+(+7)=-4 B.(−2)+(+2)=−4 C.(+6)+(-11)=-5 D. (-5)+(+3)=-8 3.点P从数轴上表示2的点出发，先向左移动3个单位，再向右移动7个单位，则点P最终表示的数是（     ）． A．2 B．4 C．6 D．8 4.如图，数轴上有A，B两点，点A表示的数为−4，若AB=3，则点B表示的数为______． 5．x 的相反数是 2, |y|=3, 则x+y=（ ） A. -5或 1 B. 5 或-1 C. 1 D. −5 6.已知 |x−2|+|y+5|=0，求 x+y 的值 拓展提升 若|a−3|与|b+2|互为相反数，求a+b+5的值。 ▲1、有理数加法法则： （1）同号两数相加：和取 的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的 ． （2）异号两数相加：绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值 的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的 ． （3）互为 的两个数相加仍得 0． （4）一个数与 0 相加，仍得 ． 题型一：两个有理数相加 1．计算（﹣2）+（﹣4），结果等于（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6 2．下列各数中，与2024的和为0的是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 3．计算：﹣2024+2023的结果是（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣4047 D．4047 4．计算： （1）（－3）＋（－7） （2）0＋（＋5 ） （3）（﹣2.2）＋（＋3.8） （4） （5）|﹣7│+│﹣9 │ （6）﹣│-7│+│-9│ 题型二：多个有理数相加 5．设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a+b+c等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 6．下列运算中正确的是（　　） A．8+[14+（﹣9）]＝15 B．（﹣2.5）+[5+（﹣2.5）]＝5 C．[3（﹣3）]+（﹣2）＝﹣2 D．3.14+[（﹣8）+3.14]＝﹣8 7．若a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，c是相反数等于它本身的数， d是到原点的距离等于2的负数，e是最大的负整数，则a+b+c+d+e的值为（　　） A．1 B．2 C．-1 D．-2 8．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 题型三：数轴与有理数加法的综合 9．若两个数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相加所得的和（　　） A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定是0 D．以上都不对 10．已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，且a+b＜0，有以下结论：①b＜0；②a﹣b＜0；③b＜﹣a＜a＜﹣b；④|a|＜|b|，其中结论正确的有 　 　（填序号）． 11．如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q＝0，则m，n，p，q四个数中负数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图，在数轴上，点O是原点，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点的位置（OA＞OB），下面式子结果为正数的是（　　） A．a+b B．a+c C．c+（﹣b） D．a+（﹣c） 题型四：绝对值与有理数加法的综合 13．如果a+b+c＝0且|c|＞|b|＞|a|．则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c为正数 14．若有理数x、y满足，，且，则（　　） A．8 B．2 C．2或8 D．或 15．的相反数与的绝对值的和是 　 　． 16．探索研究： (1)比较下列各式的大小（用“ ”、“”、“”连接） ①______；        ②______； ③______；        ④______． (2)通过（1）中的大小比较，猜想并归纳出与的大小关系，并说明a，b满足什么关系时，成立？ (3)根据（2）中得出的结论，当时，则x的取值范围是______． 题型五：有理数加法实际应用 17．王大爷把今年收获的土豆装在大小相同的袋子里，一共装了10袋．每袋称重结果如下： 袋号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 质量/ 54 49 51 50 48 52 50 47 53 46 这10袋土豆的总质量是多少？你是怎么算的？ 18．如图，一辆货车从超市出发，向东走了到达小彬家，继续走了到达小颖家，最后回到超市． (1)若以超市为原点，向东的方向为正方向，用1个单位长度表示画数轴，则小彬家和小颖家在数轴上的位置表示的有理数分别为___________和___________； (2)货车从超市出发到最后回到超市一共行驶了多少千米？ 19．2025年9月23日是第八个中国农民丰收节，这天，重庆在忠县马灌镇举办了庆祝活动．忠旺同学在农民农耕赛事运动会现场的一条包括赛事运动起点O的东西向直道上服务，他规定向东为正，向西为负，他从赛事运动起点O出发，连续6次服务走过的各段路径依次记为（单位：米）：，，，，，． (1)说明忠旺同学在第6次服务后所处的位置； (2)忠旺同学6次服务共走了多长的路程？ 20．小伟是一个懂事的孩子，他每天都会从妈妈给的零花钱中存下一部分，他原计划每天存5元，下表是小伟在某一周实际各天存钱的情况（多存记为“+”，不足记为“﹣”）． 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 存钱（元） ﹣1 +2 0 ﹣3 +1 ﹣1 +3 （1）小伟在这一周中存钱最多的一天是星期 　 　，这一天存了 　 元． （2）请计算小伟这一周存了多少钱？ 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $